趙維坤 侯正永

摘要：“做數(shù)學(xué)”是一種以“做”為支架的發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，其中既包含直觀體驗(yàn)性的“做”，也包括有意識(shí)的“用”?！白鰯?shù)學(xué)”能夠幫助學(xué)生透過(guò)實(shí)際現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而催化數(shù)學(xué)的實(shí)踐創(chuàng)新。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)調(diào)查推斷、測(cè)量計(jì)算、動(dòng)手制作等類(lèi)型的“做數(shù)學(xué)”主題活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)的實(shí)踐創(chuàng)新。

關(guān)鍵詞：做數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)調(diào)查;數(shù)學(xué)測(cè)量;數(shù)學(xué)制作

數(shù)學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)滲透到現(xiàn)代社會(huì)以及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)方面。數(shù)學(xué)教學(xué)要幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)方法，更要引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)的情境中調(diào)用已有的知識(shí)和方法，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題，完成數(shù)學(xué)的實(shí)踐創(chuàng)新，從而積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在社會(huì)生活諸多領(lǐng)域的作用（價(jià)值）， 激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與成就感，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，提高實(shí)踐創(chuàng)新能力。

在這一過(guò)程中，如何“撩開(kāi)”現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的“面紗”，抽取背后的數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵。而“做數(shù)學(xué)”是一種以“做”為支架的發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，其中既包含直觀體驗(yàn)性的“做”，也包括有意識(shí)的“用”。因此，“做數(shù)學(xué)”能夠幫助學(xué)生透過(guò)實(shí)際現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而催化數(shù)學(xué)的實(shí)踐創(chuàng)新。

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)多種類(lèi)型的“做數(shù)學(xué)”主題活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)的實(shí)踐創(chuàng)新。

一、在調(diào)查推斷類(lèi)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)中催化實(shí)踐創(chuàng)新

調(diào)查推斷類(lèi)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)是指，針對(duì)某個(gè)具有現(xiàn)實(shí)意義的主題（問(wèn)題）， 選取一定的樣本，收集有關(guān)的數(shù)據(jù)，通過(guò)數(shù)學(xué)推斷得到相應(yīng)的結(jié)果（結(jié)論）。它在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。

例如，教學(xué)三年級(jí)的“長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算”后，教師提出“學(xué)校實(shí)踐基地菜園大白菜的產(chǎn)量是多少？” 這一實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)調(diào)查活動(dòng)加以解決。

教師帶領(lǐng)學(xué)生來(lái)到學(xué)校實(shí)踐基地的菜園，學(xué)生看到其中有3塊并排的長(zhǎng)方形菜地。教師先讓學(xué)生小組討論解決問(wèn)題的方案，再讓小組代表匯報(bào)討論的結(jié)果。有小組代表說(shuō)：”把地里的大白菜全部拔出來(lái)稱(chēng)一下?！庇行〗M代表說(shuō)：“只要撥出其中1棵大白菜，稱(chēng)出其質(zhì)量，再數(shù)出大白菜的棵數(shù)，就行了?！边€有小組代表說(shuō)：“拔出幾平方米地里的大白菜稱(chēng)一下，算出1平方米地里的大白菜產(chǎn)量，再測(cè)出這片菜地的面積，就可以算出大白菜的總產(chǎn)量了?！?/p>

面對(duì)學(xué)生不同的想法，教師引導(dǎo)學(xué)生交流。考慮到工作量、破壞性以及一定程度的準(zhǔn)確性，學(xué)生的方案趨于一致：第一步，圈出1平方米的菜地;第二步，拔出其中的大白菜;第三步，稱(chēng)出這些大白菜的質(zhì)量;第四步，測(cè)量這片菜園的菜地有多少平方米;第五步，將1平方米菜地里大白菜的質(zhì)量與這片菜園中菜地的面積數(shù)相乘，就可以估算出這片菜園大白菜的產(chǎn)量了。教師指出：這就是數(shù)學(xué)中的調(diào)查方法，即調(diào)查部分的情況，推測(cè)整體的情況。然后，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)出表1，用于記錄。

接著，教師讓學(xué)生小組合作，各自圈出1平方米的菜地，拔出大白菜，稱(chēng)出質(zhì)量，然后匯報(bào)。匯報(bào)時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)小組稱(chēng)出的大白菜質(zhì)量不一樣。教師順勢(shì)引導(dǎo)：到底取哪個(gè)小組的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算呢？ 有的小組提出：取數(shù)據(jù)最大的好，可以使總產(chǎn)量高一些。有的小組提出：取數(shù)據(jù)最小的好，可以知道總產(chǎn)量最少是多少。還有的小組提出：取中間的數(shù)據(jù)好，這樣結(jié)果與實(shí)際差得不多。最后， 大家一致認(rèn)為：取平均數(shù)比較合理，這樣結(jié)果比較準(zhǔn)確。

于是，教師又讓學(xué)生小組合作，各自測(cè)量這片菜園中菜地的面積。有的小組發(fā)現(xiàn)，只要分別測(cè)出3塊長(zhǎng)方形菜地的長(zhǎng)和寬，算出面積，然后相加，就能得到總面積了。也有的小組發(fā)現(xiàn)，每塊長(zhǎng)方形菜地的長(zhǎng)相同，所以可以把3塊長(zhǎng)方形菜地整體看作一塊菜地，就是一個(gè)大長(zhǎng)方形，只要測(cè)出大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，將寬減去長(zhǎng)方形菜地之間的空隙，就能算出這片菜園中菜地的面積了。這樣， 學(xué)生在無(wú)意間發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）了四年級(jí)才會(huì)學(xué)到的乘法分配律。

“學(xué)校實(shí)踐基地菜園大白菜的產(chǎn)量是多少？” 這一實(shí)際問(wèn)題貼近學(xué)生生活。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已有知識(shí)和方法，打開(kāi)思維視角，進(jìn)行有條理、合邏輯的思考，最終選取一定的樣本，展開(kāi)調(diào)查推斷活動(dòng)，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中嘗試實(shí)踐創(chuàng)新。

二、在測(cè)量計(jì)算類(lèi)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)中催化實(shí)踐創(chuàng)新

測(cè)量計(jì)算類(lèi)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)是指，針對(duì)某個(gè)具043有現(xiàn)實(shí)意義的主題（問(wèn)題）， 確立具體的事物，量化有關(guān)的屬性，通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算得到相應(yīng)的結(jié)果（結(jié)論）。它在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)同樣有著廣泛的應(yīng)用。

例如，教學(xué)九年級(jí)的“圖形的相似”和“銳角三角函數(shù)”后，教師提出“學(xué)校旗桿的高度是多少？” 這一實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)測(cè)量活動(dòng)解決。期間，學(xué)生小組合作，經(jīng)歷了開(kāi)題（查閱資料、設(shè)計(jì)方案）、做題（準(zhǔn)備工具、實(shí)施測(cè)量）、結(jié)題（總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、吸取教訓(xùn)）、評(píng)價(jià)等過(guò)程。

（1）開(kāi)題。課前，學(xué)生小組合作，設(shè)計(jì)兩套以上測(cè)量方案。課上，學(xué)生小組代表匯報(bào)測(cè)量方案。有的小組提出：測(cè)量旗桿頂部的仰角，借助銳角三角函數(shù)知識(shí)計(jì)算旗桿的高度。教師提醒學(xué)生選擇實(shí)用的測(cè)量?jī)x器。有的小組提出：將平面鏡置于平地上，人后退至能從鏡中看到旗桿頂部的位置， 測(cè)量人與鏡子、鏡子與旗桿底部的距離，借助相似三角形知識(shí)計(jì)算旗桿的高度。教師提醒學(xué)生注意精確性。有的小組提出：在太陽(yáng)光下，測(cè)量旗桿和人的影長(zhǎng)，按照比例，利用人的身高計(jì)算旗桿的高度。教師提醒學(xué)生注意測(cè)量時(shí)間，以及旗桿和人的影長(zhǎng)是同時(shí)測(cè)量還是先后測(cè)量好。還有小組提出：用照相機(jī)拍一張旗桿和人的合影，按照比例， 利用人的身高計(jì)算旗桿的高度。教師提醒學(xué)生注意人站的位置，以及與旗桿的位置關(guān)系。通過(guò)匯報(bào)與交流，學(xué)生清楚了測(cè)量細(xì)節(jié)及計(jì)算模型，完善了測(cè)量方案。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)出表2，用于記錄。

（2）做題。教師安排特定時(shí)間， 帶學(xué)生來(lái)到操場(chǎng)，讓學(xué)生實(shí)施測(cè)量。期間，教師關(guān)注學(xué)生的態(tài)度，關(guān)注小組的分工合作，關(guān)注測(cè)量的過(guò)程、數(shù)據(jù)的記錄以及誤差的處理，提醒學(xué)生寫(xiě)好測(cè)量報(bào)告; 在學(xué)生遇到困難或出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)，啟發(fā)學(xué)生尋找原因，探求辦法。

（3）結(jié)題。課上， 教師遴選測(cè)量結(jié)果比較準(zhǔn)確、測(cè)量過(guò)程完整清晰、誤差處理比較合理、測(cè)量報(bào)告比較規(guī)范以及測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)明顯誤差的小組，通過(guò)照片、模型、PPT 等形式匯報(bào)成功的經(jīng)驗(yàn)和失敗的教訓(xùn)。不管用什么方法，其結(jié)果與實(shí)際值相比都會(huì)有一定的誤差，尤其是失敗的方法。教師重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生分析誤差產(chǎn)生的原因。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：自制的量角工具精確度不夠高，測(cè)量用的皮尺、標(biāo)桿不夠長(zhǎng)，步長(zhǎng)測(cè)量長(zhǎng)度，肉眼記錄位置，影子沒(méi)有全部落在一個(gè)平面上，用身高代替眼高等，都可能造成測(cè)量誤差;甚至畫(huà)圖不夠準(zhǔn)確，也會(huì)造成計(jì)算誤差。學(xué)生還對(duì)“用照相機(jī)拍出照片”的方法進(jìn)行了反思，認(rèn)為其原理是有問(wèn)題的。

（4）評(píng)價(jià)。課上， 教師引導(dǎo)學(xué)生評(píng)價(jià)活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)果。主要的評(píng)價(jià)點(diǎn)有：測(cè)量工具的合理性， 計(jì)算模型的有效性，測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性，測(cè)量方法的創(chuàng)造性，減少誤差的意識(shí)和做法，測(cè)量過(guò)程中工作的狀態(tài)，測(cè)量過(guò)程中解決困難的機(jī)智，成果匯報(bào)、討論中的表現(xiàn)等。

在測(cè)量學(xué)校旗桿這一底部可及的物體高度的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生測(cè)量城市電視塔這一底部不可及的物體的高度。

有的小組采用兩次觀察鏡面的方法：如下頁(yè)圖2所示，先確定人眼距離地面的高度h，再在對(duì)準(zhǔn)（經(jīng)過(guò)）電視塔底部的直線上選取間隔一定距離

“學(xué)校旗桿的高度是多少？” 這一實(shí)際問(wèn)題貼近學(xué)生生活。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已有知識(shí)和方法，打開(kāi)思維視角，進(jìn)行有條理、合邏輯的思考，最終確定適當(dāng)?shù)姆桨福归_(kāi)測(cè)量計(jì)算活動(dòng)， 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題。而“測(cè)量城市電視塔的高度”這一變式問(wèn)題，更是促進(jìn)了學(xué)生對(duì)剛剛獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的靈活遷移運(yùn)用， 提升了學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新。特別值得一提的是，“結(jié)題”環(huán)節(jié)中成功經(jīng)驗(yàn)和失敗教訓(xùn)的總結(jié)，尤其是誤差的分析，讓學(xué)生充分內(nèi)化了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受到紙“上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，真正理解了失“之毫厘，謬以千里”，深刻認(rèn)識(shí)到在分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，只有不斷跨越障礙、克服困難，才能實(shí)現(xiàn)自我提升。

三、在動(dòng)手制作類(lèi)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)中催化實(shí)踐創(chuàng)新

動(dòng)手制作類(lèi)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)是指，針對(duì)某個(gè)具有現(xiàn)實(shí)意義的主題（任務(wù)）， 利用數(shù)學(xué)知識(shí)，探索制作方法并選擇制作材料和工具，通過(guò)動(dòng)手制作得到相應(yīng)的作品（實(shí)物或圖形）。它在完成現(xiàn)實(shí)任務(wù)時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。

例如，教學(xué)初中的“軸對(duì)稱(chēng)圖形”和“中心對(duì)稱(chēng)圖形”后，教師介紹：剪“紙是有悠久歷史和深厚底蘊(yùn)的民間藝術(shù)，深受人民喜愛(ài)。剪紙時(shí)，通常是將紙折疊剪出部分圖案，展開(kāi)得到完整圖案。實(shí)際上，剪紙與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系，是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。然”后，教師提出“剪紙得到圖3—圖5所示的圖案”這一制作任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)完成。

首先，教師引導(dǎo)學(xué)生分析得到：圖3所示的圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形;圖4所示的圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形;圖5所示的圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形。從而想到：可以先研究折紙與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系，弄清怎樣折疊可使展開(kāi)后得到軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)圖形;再利用這些方法，將紙折疊剪出部分圖案，展開(kāi)得到與之對(duì)稱(chēng)的其他部分圖案。

然后，教師讓學(xué)生用長(zhǎng)方形紙做試驗(yàn)。學(xué)生將長(zhǎng)方形紙對(duì)折，用大頭針隨意扎出2個(gè)（或更多）孔，展開(kāi)后發(fā)現(xiàn)：紙上有4個(gè)孔，這4個(gè)孔關(guān)于折痕軸對(duì)稱(chēng)（如下頁(yè)圖6）。學(xué)生又將長(zhǎng)方形紙對(duì)折再對(duì)折，用大頭針隨意扎出2個(gè)（或更多）孔，展開(kāi)后發(fā)現(xiàn)：紙上有8個(gè)孔，這8個(gè)孔關(guān)于折痕軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于折痕的交點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)（如下頁(yè)圖7）。怎樣折疊可以扎出展開(kāi)后僅具有中心對(duì)稱(chēng)關(guān)系的若干個(gè)孔呢？ 學(xué)生犯難了。教師引導(dǎo)學(xué)生：兩次互相垂直的對(duì)折可以得到繞折痕交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 度的關(guān)系，即中心對(duì)稱(chēng)的關(guān)系。學(xué)生多次嘗試后發(fā)現(xiàn)：將長(zhǎng)方形紙兩端留出一部分，斜著對(duì)折再對(duì)折，在留出的這部分（只有兩層紙）上用大頭針隨意扎出2 個(gè)（或更多）孔，展開(kāi)后紙上有4個(gè)孔，這4個(gè)孔僅關(guān)于折痕的交點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)（如下頁(yè)圖8）。

于是，教師讓學(xué)生利用這些方法，剪紙得到相應(yīng)的圖案。學(xué)生將長(zhǎng)方形紙對(duì)折，畫(huà)出半個(gè)圖3 所示的圖案（如圖9）并剪下，展開(kāi)即得到完整的圖3所示的圖案。學(xué)生又將長(zhǎng)方形紙對(duì)折再對(duì)折，畫(huà)出四分之一個(gè)圖4所示的圖案（如圖10）并剪下， 展開(kāi)即得到完整的圖4所示的圖案。對(duì)于怎樣得到圖5所示的圖案，學(xué)生感到要用圖8所示的方法，但一時(shí)想不到具體怎么辦。教師引導(dǎo)學(xué)生注意該圖案中間有一個(gè)小正方形，而圖8中的兩條折痕是一個(gè)正方形的兩條對(duì)角線。有學(xué)生想到： 如圖11，在正方形紙片中間畫(huà)一個(gè)小正方形，將正方形紙片沿虛線（兩條弧線和小正方形上下兩邊， 關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)）剪開(kāi)，再沿對(duì)角線對(duì)折兩次，沿小正方形被剪開(kāi)的邊展開(kāi)正方形的兩層，畫(huà)出半個(gè)圖5所示的圖案并剪下，展開(kāi)即得到完整的圖5所示的圖案。

“剪紙得到相應(yīng)的圖案”這一現(xiàn)實(shí)任務(wù)能夠很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析圖案的數(shù)學(xué)特征，操作發(fā)現(xiàn)折紙與對(duì)稱(chēng)的關(guān)系，歸納得到將紙折疊剪出部分圖案后展開(kāi)得到完整圖案的方法，最終展開(kāi)動(dòng)手制作活動(dòng)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析和完成實(shí)際任務(wù)。這樣的活動(dòng)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有曲折性和創(chuàng)造性，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用，能夠提高學(xué)生的幾何直觀能力和邏輯推理能力。從中，學(xué)生還能感受到幾何學(xué)的神奇以及對(duì)稱(chēng)圖案的美，感受到數(shù)學(xué)的文化和魅力。

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[1]董林偉，等.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論與實(shí)踐研究[M]. 南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2016.

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（趙維坤，江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校原校長(zhǎng)。特級(jí)教師，正高級(jí)教師。中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)理事、學(xué)術(shù)委員。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材核心編寫(xiě)人員。主持江蘇省六大人才高峰項(xiàng)目1 項(xiàng)、江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目1 項(xiàng)、江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃課題4項(xiàng)。獲得國(guó)家教學(xué)成果獎(jiǎng)（基礎(chǔ)教育類(lèi)）二等獎(jiǎng)項(xiàng)目1項(xiàng)，江蘇省教學(xué)成果獎(jiǎng)（基礎(chǔ)教育類(lèi)）特等獎(jiǎng)項(xiàng)目1項(xiàng)、2等獎(jiǎng)項(xiàng)目1項(xiàng)。侯正永，江蘇省南京市鼓樓區(qū)教育局副局長(zhǎng)、鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心主任。特級(jí)教師，正高級(jí)教師。江蘇省“333”工程培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省基礎(chǔ)教育先進(jìn)個(gè)人。南京師范大學(xué)、江蘇第二師范學(xué)院、南京曉莊學(xué)院特聘研究生導(dǎo)師。）