姚惠東 崔波 馬思琦 余超 陸瑞鋒

(南京理工大學(xué), 理學(xué)院應(yīng)用物理系, 南京 210094)

本文采用數(shù)值求解多能帶半導(dǎo)體布洛赫方程組的方法開(kāi)展強(qiáng)激光與雙層MoS2材料相互作用產(chǎn)生高次諧波的理論研究.模擬發(fā)現(xiàn), T型堆棧雙層MoS2產(chǎn)生的高次諧波在高能區(qū)域的轉(zhuǎn)換效率比AA型堆棧雙層MoS2高一個(gè)數(shù)量級(jí).理論分析表明, 由于原子級(jí)錯(cuò)位堆棧下晶體對(duì)稱性被打破, 使原有的部分帶間禁戒躍遷路徑被打開(kāi), 帶間躍遷激發(fā)通道增加, 大大增大了載流子躍遷概率, 從而增強(qiáng)了高次諧波轉(zhuǎn)換效率.此外, 對(duì)諧波產(chǎn)率的波長(zhǎng)定標(biāo)研究表明, 在較長(zhǎng)波長(zhǎng)的激光驅(qū)動(dòng)下 (> 2000 nm), T型堆棧下所增強(qiáng)的高次諧波具有更高的波長(zhǎng)依賴.該工作為如何優(yōu)化增強(qiáng)固體高次諧波的轉(zhuǎn)換效率提供一種新思路.

1 引 言

近十年來(lái), 強(qiáng)激光與固體材料相互作用產(chǎn)生的高次諧波輻射逐漸成為國(guó)際強(qiáng)場(chǎng)激光物理研究領(lǐng)域重點(diǎn)研究的課題[1?4].高次諧波研究的主要?jiǎng)恿?lái)源于其極有潛力的應(yīng)用前景.利用高次諧波輻射可以獲得相干的、脈沖持續(xù)時(shí)間短的極紫外(XUV)光源和X射線源.由于固體材料的介質(zhì)密度遠(yuǎn)大于氣體靶, 同等激光條件下固體產(chǎn)生的高次諧波轉(zhuǎn)換效率高于氣體.在氣體介質(zhì)中, 高次諧波主要由電子電離、回碰產(chǎn)生, 而對(duì)于固體材料, 其高次諧波主要由帶內(nèi)電流和帶間極化貢獻(xiàn).最近,實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)證明[5?11], 強(qiáng)激光與固體材料相互作用能夠提供一種全新的手段產(chǎn)生高效率的高次諧波,將有希望實(shí)現(xiàn)一種新型阿秒光源.

2011年, Ghimire等[5,6]首次在實(shí)驗(yàn)上成功應(yīng)用中紅外激光與ZnO晶體相互作用產(chǎn)生非微擾的高次諧波.他們認(rèn)為, 在激光驅(qū)動(dòng)下, 晶體中的電子和空穴在布里淵區(qū)邊界處反射產(chǎn)生布洛赫振蕩,從而導(dǎo)致高次諧波輻射.隨后, 采用不同的驅(qū)動(dòng)激光, 科研人員陸續(xù)開(kāi)展了固體高次諧波的實(shí)驗(yàn)研究[7,8], 研究結(jié)果表明在太赫茲區(qū)域, 帶內(nèi)高次諧波占主要部分.Luu等[9]利用脈寬在一個(gè)光周期量級(jí)的紫外與近紅外光學(xué)疊加場(chǎng)和SiO2相互作用, 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)光子能量大約為40電子伏特的相干極紫外光輻射.在他們的工作中, 外場(chǎng)作用下電子在晶格中的失諧振蕩運(yùn)動(dòng)被用來(lái)解釋高頻輻射, 并且觀測(cè)到固體二氧化硅中產(chǎn)生的高能光子產(chǎn)率比稀有氣體中產(chǎn)生的要高.幾乎同時(shí), Vampa等[10]通過(guò)加一束倍頻激光來(lái)研究固體高次諧波的產(chǎn)生過(guò)程, 實(shí)驗(yàn)上證明了在中紅外區(qū)域, 電子與空穴回碰產(chǎn)生的帶間電流是ZnO晶體中高次諧波產(chǎn)生的主要機(jī)制, 隨后他們建設(shè)性地提出了一種全光學(xué)技術(shù)用來(lái)重構(gòu)晶體材料的能帶帶隙[11].此外, You等[12]測(cè)量了強(qiáng)激光與MgO晶體作用產(chǎn)生的高次諧波, 發(fā)現(xiàn)高次諧波隨著激光偏振方向的各向異性, 預(yù)示著全光學(xué)方法可用來(lái)提取晶體結(jié)構(gòu)、原子間勢(shì)、價(jià)電子密度甚至波函數(shù)等信息.

為了理解固體高次諧波的產(chǎn)生機(jī)制, 理論研究工作者們提出了一系列模型和計(jì)算方法, 如Korbman等[13,14]、Wu等[15]以及Guan等[16]通過(guò)數(shù)值求解一維含時(shí)薛定諤方程計(jì)算出晶格內(nèi)電流變化,得到諧波信號(hào).此外, Jin等[17]、Li等[18]和Li等[19]通過(guò)數(shù)值求解二維含時(shí)薛定諤方程研究固體諧波的輻射特性.Vampa等[20?22]則提出求解密度矩陣方程組的方法來(lái)模擬固體諧波, 最終可以分別計(jì)算出帶內(nèi)電流和帶間電流, 通過(guò)傅里葉變換帶內(nèi)和帶間電流即可得到高次諧波譜, 他們應(yīng)用此方法成功解釋了帶間諧波的產(chǎn)生機(jī)制.此外, Golde等[23?25]、F?ldi等[26]和Tamaya等[27]求解激光外場(chǎng)作用下的兩能帶半導(dǎo)體布洛赫方程來(lái)研究固體諧波輻射,成功解釋了一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.2015年, Hohenleutner等[28]完善了理論模型, 通過(guò)求解考慮多條能帶的半導(dǎo)體布洛赫方程模擬強(qiáng)激光與晶體相互作用, 同時(shí)在時(shí)域上直接測(cè)量太赫茲場(chǎng)作用下的固體高次諧波.他們的實(shí)驗(yàn)和理論模擬結(jié)果表明, 固體材料中電子從不同能帶隧穿產(chǎn)生的量子相干能夠有效控制超快高次諧波輻射.最近, Yu等[29]提出利用二維h-BN材料的雙層或者多層納米結(jié)構(gòu)控制優(yōu)化類原子的高次諧波輻射, 發(fā)現(xiàn)高次諧波截止能量隨著層間距變化的依賴關(guān)系.

固體高次諧波可作為產(chǎn)生新型小型化阿秒光源的一種全新手段, 如何進(jìn)一步增強(qiáng)其高次諧波的轉(zhuǎn)換效率一直是研究工作者們關(guān)注的焦點(diǎn).Li等[30]通過(guò)雙色疊加場(chǎng)技術(shù), 理論優(yōu)化增強(qiáng)了固體高次諧波的第二個(gè)平臺(tái)效率, 選擇合適的雙色場(chǎng)激光參數(shù)可獲得單個(gè)阿秒脈沖.此外, Liu等[31]結(jié)合納米加工技術(shù)和超快強(qiáng)激光技術(shù), 利用全介質(zhì)超表面提高驅(qū)動(dòng)激光的強(qiáng)度以及介質(zhì)材料的損耗閾值, 從而有效地增強(qiáng)諧波效率約兩個(gè)數(shù)量級(jí).最近,Franz等[32]在半導(dǎo)體材料中發(fā)現(xiàn)利用納米錐波導(dǎo)也能夠有效增強(qiáng)固體諧波的轉(zhuǎn)換效率.

本文針對(duì)固體高次諧波的轉(zhuǎn)換效率問(wèn)題, 以雙層MoS2為例, 研究其在不同堆棧方式下的高次諧波輻射特性, 理論模擬發(fā)現(xiàn), 層間原子錯(cuò)位堆棧能夠有效打破晶體對(duì)稱性, 使得原有的部分帶間禁戒躍遷被允許, 帶間躍遷激發(fā)通道增加, 從而提升了載流子躍遷概率及高次諧波轉(zhuǎn)換效率.

2 理論模型

本文采用數(shù)值求解多能帶半導(dǎo)體布洛赫方程組的方法(SBEs)開(kāi)展強(qiáng)激光與雙層MoS2材料相互作用的理論研究[33].模擬過(guò)程中, 晶體倒格矢坐標(biāo)可在直角坐標(biāo)系中表示為x||Γ–M,y||Γ–K,和z||Γ–A(光軸), 線偏振激光的傳播方向沿著光軸方向.在單電子近似下, 多能帶半導(dǎo)體布洛赫方程組可以寫為方程(1)—(3)表示電子、空穴在帶間的躍遷過(guò)程,而方程(4)和(5)描述電子、空穴在帶內(nèi)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.其中,表示帶間相干,和分別為電子和空穴的布居, e和h分別表示電子和空穴,E(t)為激光場(chǎng),為對(duì)應(yīng)的載流子能帶,T1表示不對(duì)稱載流子衰減時(shí)間,T2為退相時(shí)間,為帶與帶之間的躍遷偶極矩(n和n′代表ei、ej、eλ、hi、hj、hλ等指數(shù)對(duì)應(yīng)的不同能帶).基于VASP軟件, 應(yīng)用高精度第一性原理計(jì)算得到固體材料的能帶結(jié)構(gòu)εk以及每條能帶每個(gè)k點(diǎn)的波函數(shù)φk.通過(guò)公式

計(jì)算出帶與帶之間的躍遷偶極矩.帶內(nèi)電流密度與帶間極化可以表示為

3 結(jié)果與討論

通常, 雙層MoS2材料具有多種穩(wěn)定的堆棧結(jié)構(gòu), 圖1(a)和1(b)所示分別為雙層MoS2材料AA型(層間S原子頂對(duì)頂)和T型(層間S原子錯(cuò)位)堆棧下的結(jié)構(gòu).通過(guò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化, 計(jì)算得到的雙層MoS2材料在AA型和T型堆棧下的晶格參數(shù)都在3.19 ? (1 ? = 0.1 nm)左右.然而優(yōu)化所得的AA型堆棧雙層MoS2材料的層間距為3.69 ?,較T型堆棧雙層MoS2材料的層間距3.09 ?大.圖1(c)中藍(lán)色區(qū)域?yàn)殡p層MoS2材料的第一布里淵區(qū), 其中Γ–M和Γ–K分別為倒空間中的兩個(gè)高對(duì)稱性方向.由于層狀MoS2材料在Γ–K方向的高次諧波轉(zhuǎn)換效率要比Γ–M方向低很多[34], 因此在本工作中只關(guān)注雙層MoS2材料在Γ–M方向的高次諧波輻射.此外, 圖1(d)和1(e)分別為AA型堆棧和T型堆棧雙層MoS2材料在Γ–M方向的能帶結(jié)構(gòu), 圖中所示共12條價(jià)帶和8條導(dǎo)帶.對(duì)比雙層MoS2在兩種不同堆棧方式下的能帶結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)不管是帶隙還是能帶的色散分布都幾乎保持一致, 也就是說(shuō)堆棧方式對(duì)其能帶結(jié)構(gòu)影響很小.

圖1 (a)和(b)分別為雙層MoS2材料AA型堆棧和T型堆棧結(jié)構(gòu)的俯視圖(上圖)和側(cè)視圖(下圖); (c) 雙層MoS2材料的第一布里淵區(qū); (d)和(e) 分別為雙層MoS2材料AA型堆棧和T型堆棧在高對(duì)稱性Γ–M方向的能帶結(jié)構(gòu)Fig.1.Top and side views of bilayer MoS2 for (a) AA stacking and (b) T stacking; (c) the first brillouin zone of bilayer MoS2;(d) energy bands of bilayer MoS2 for (a) AA stacking and (b) T stacking in Γ–M direction.

圖2(a)所示為模擬得到的雙層MoS2材料在AA型堆棧(藍(lán)線)和T型堆棧(紅線)下的高次諧波譜, 計(jì)算過(guò)程中共使用了12條價(jià)帶和8條導(dǎo)帶進(jìn)行計(jì)算.所用激光為波長(zhǎng)為3200 nm的中紅外激光場(chǎng), 脈沖的半高全寬為2個(gè)光周期, 激光電場(chǎng)的峰值強(qiáng)度I= 1.0 × 1011W/cm2.對(duì)比兩種不同堆棧方式下產(chǎn)生的高次諧波譜, 驚奇地發(fā)現(xiàn)在諧波譜的高能區(qū)域, 雙層MoS2在原子錯(cuò)位的T型堆棧下產(chǎn)生高次諧波的轉(zhuǎn)換效率比在AA型堆棧下的高次諧波效率高一個(gè)數(shù)量級(jí).通常, 固體高次諧波的高能區(qū)域主要來(lái)源于材料中更高的導(dǎo)帶或更低的價(jià)帶參與躍遷貢獻(xiàn).如圖2(b)所示, 若在模擬過(guò)程中只考慮2條價(jià)帶(v1, v2)和4條導(dǎo)帶(c1, c2,c3, c4), 則兩種堆棧方式下產(chǎn)生的高次諧波譜基本沒(méi)有區(qū)別, 同時(shí)高能區(qū)域高次諧波譜消失.但在模擬中使用4條價(jià)帶(v1, v2, v3, v4)和4條導(dǎo)帶(c1,c2, c3, c4), 計(jì)算得到的高次諧波譜如圖2(c)所示,圖2(a)出現(xiàn)的諧波高能區(qū)域增強(qiáng)現(xiàn)象又顯現(xiàn)出來(lái).因此, 確定相比于圖2(b)中使用的2條價(jià)帶和4條導(dǎo)帶, 在模擬圖2(c)高次諧波中額外增加的價(jià)帶v3和v4對(duì)高能高次諧波的產(chǎn)生起著重要作用,同時(shí)也是影響兩種不同堆棧方式下高次諧波譜區(qū)別的關(guān)鍵.由于前面發(fā)現(xiàn)對(duì)于兩種不同堆棧方式下的能帶結(jié)構(gòu)幾無(wú)差別, 因此可認(rèn)為帶間躍遷偶極矩是T型堆棧諧波增強(qiáng)的主要因素.

圖2 模擬計(jì)算得到的雙層MoS2材料在高對(duì)稱性Γ–M方向的高次諧波譜(紅線為T型堆棧, 藍(lán)線為AA型堆棧) (a) 模擬過(guò)程中使用12條價(jià)帶8條導(dǎo)帶; (b) 模擬過(guò)程中使用2條價(jià)帶4條導(dǎo)帶; (c) 模擬過(guò)程中使用4條價(jià)帶4條導(dǎo)帶Fig.2.Calculated high harmonic spectra from bilayer MoS2 in AA stacking (blue line) and T stacking(red line) with (a)twelve valence bands and eight conduction bands; (b) two valence bands and four conduction bands; (c) four valence bands and four conduction bands used in simulation.

為了闡明T型堆棧諧波增強(qiáng)背后的物理機(jī)制,計(jì)算出雙層MoS2材料部分能帶間的躍遷偶極矩.圖3(a)和3(b)分別為AA型堆棧的第三條價(jià)帶v3和第四條價(jià)帶v4與最低4條導(dǎo)帶的帶間躍遷偶極矩.對(duì)于AA型堆棧, 雙層MoS2材料兩層鏡面對(duì)稱, 層與層之間的相互作用非常弱, 電子很難從其中一層躍遷到另外一層, 價(jià)帶v3和v4只與同一層內(nèi)的導(dǎo)帶c3和c4間有帶間躍遷偶極矩, 因此相比于圖2(b)只包含v1和v2價(jià)帶, 圖2(c) 中進(jìn)一步考慮v3和v4價(jià)帶貢獻(xiàn)的諧波效率略有增強(qiáng).然而對(duì)于T型堆棧, 雙層MoS2鏡面對(duì)稱被打破, 電子有一定幾率從其中一層躍遷到另外一層, 因此如3(c)和3(d)所示在T型堆棧中價(jià)帶v3和v4與最低的4條導(dǎo)帶間都有躍遷偶極矩.分析認(rèn)為, 正是由于在T型堆棧下材料對(duì)稱性被打破, 使得原有的部分帶間禁戒躍遷路徑被打開(kāi), 帶間躍遷激發(fā)通道增加, 大大增加了載流子躍遷概率, 使得高次諧波轉(zhuǎn)換效率增強(qiáng).

圖3 雙層MoS2材料的部分帶間躍遷偶極矩 (a)和(b)分別為AA型堆棧的雙層MoS2材料中第三條價(jià)帶v3和第四條價(jià)帶v4與最低4條導(dǎo)帶的帶間躍遷偶極矩; (c)和(d)分別為T型堆棧的雙層MoS2材料中第三條價(jià)帶v3和第四條價(jià)帶v4與最低4條導(dǎo)帶的帶間躍遷偶極矩Fig.3.The parts of transition dipole moments: (a) and (b) show the transition dipole moments among two valence bands (v3 and v4) and four lowest conduction bands in AA stacking, respectively; (c) and (d) how the transition dipole moments among two valence bands (v3 and v4) and four lowest conduction bands in T stacking, respectively.

此外, 本工作還研究了兩種堆棧方式下雙層MoS2材料隨驅(qū)動(dòng)激光波長(zhǎng)變化的高次諧波譜.如圖4(a)和4(b)所示, 高次諧波的轉(zhuǎn)換效率隨著激光波長(zhǎng)的增加逐漸降低, 這主要是因?yàn)楦L(zhǎng)的激光波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)更小的光子能量, 電子需要吸收更多的光子才能從價(jià)帶躍遷到導(dǎo)帶, 躍遷概率大為降低, 使得高次諧波效率逐漸衰減.雖然諧波效率整體隨著波長(zhǎng)變大逐漸降低, 但發(fā)現(xiàn)相比于AA型堆棧, T型堆棧7—12 eV能量范圍的高次諧波在1000—6000 nm波長(zhǎng)范圍內(nèi)都增強(qiáng)1個(gè)數(shù)量級(jí), 同時(shí)隨著激光波長(zhǎng)的增大該區(qū)域諧波相比AA型堆棧的增強(qiáng)越明顯.

圖4 模擬計(jì)算得到的雙層MoS2材料隨驅(qū)動(dòng)激光波長(zhǎng)變化的高次諧波譜 (a) AA型堆棧; (b) T型堆棧Fig.4.Wavelength dependent high harmonic spectra from bilayer MoS2 in (a) AA stacking and (b) T stacking.

為了定量比較不同堆棧方式下激光波長(zhǎng)對(duì)雙層MoS2高次諧波效率的影響, 將固定能量范圍內(nèi)的高次諧波強(qiáng)度積分用于定標(biāo)諧波的產(chǎn)率η(λ).理論研究表明, 對(duì)于稀有氣體產(chǎn)生的高次諧波產(chǎn)率遵循波長(zhǎng)定標(biāo)[35,36]:

而通過(guò)計(jì)算雙層MoS2高次諧波的波長(zhǎng)定標(biāo)發(fā)現(xiàn),波長(zhǎng)范圍不同, 高次諧波的波長(zhǎng)定標(biāo)也不同.這里取T型堆棧相較AA型堆棧高次諧波顯著增強(qiáng)的7—12 eV能量范圍(圖3(b)中灰色陰影區(qū)域)研究波長(zhǎng)定標(biāo).以AA型堆棧為例, 如圖5(a)所示,可發(fā)現(xiàn)激光波長(zhǎng)在1000—2000 nm范圍內(nèi), 高次諧波的波長(zhǎng)定標(biāo)遵循λ–1.44 ±0.10, 遠(yuǎn)高于氣體高次諧波的波長(zhǎng)定標(biāo).隨著激光波長(zhǎng)的逐漸增大, 高次諧波的波長(zhǎng)定標(biāo)逐漸降低, 如在激光波長(zhǎng)在2000—4000 nm范圍時(shí), 高次諧波的波長(zhǎng)定標(biāo)降為λ–3.78±0.10.當(dāng)激光波長(zhǎng)達(dá)到4000—6000 nm時(shí),AA型堆棧的雙層MoS2高次諧波波長(zhǎng)定標(biāo)則接近于氣體高次諧波的波長(zhǎng)定標(biāo).T型堆棧雙層MoS2高次諧波中具有類似的波長(zhǎng)定標(biāo)規(guī)律, 不同之處在于原子錯(cuò)位T型堆棧雙層MoS2的高次諧波波長(zhǎng)定標(biāo)隨著波長(zhǎng)的增大(2000—6000 nm)下降速度明顯小于AA型堆棧, 這也預(yù)示著在波長(zhǎng)較長(zhǎng)的激光驅(qū)動(dòng)下, T型堆棧相比AA堆棧所增強(qiáng)的高次諧波具有更優(yōu)越的波長(zhǎng)定標(biāo).

圖5 模擬得到的雙層MoS2材料高次諧波產(chǎn)率的波長(zhǎng)定標(biāo) (a) AA型堆棧; (b) T型堆棧; 圖中直線由波長(zhǎng)定標(biāo)公式擬合得到Fig.5.Wavelength scaling of high harmonic yield from bilayer MoS2 in (a) AA stacking and (b) T stacking.Lines are fits of the scaling law to the data.

4 結(jié) 論

本文理論研究了堆棧方式對(duì)雙層MoS2材料高次諧波效率的影響, 發(fā)現(xiàn)在諧波譜高能區(qū)域, 原子錯(cuò)位T型堆棧的雙層MoS2在強(qiáng)激光驅(qū)動(dòng)下產(chǎn)生的高次諧波轉(zhuǎn)換效率比AA型堆棧的雙層MoS2高一個(gè)數(shù)量級(jí).理論分析證明, 由于在T型堆棧下雙層鏡面對(duì)稱性被打破, 部分帶間禁戒躍遷被允許, 帶間躍遷概率增加, 高次諧波強(qiáng)度從而提升.進(jìn)一步對(duì)諧波產(chǎn)率的波長(zhǎng)定標(biāo)研究表明, 在2000—6000 nm的中紅外激光波長(zhǎng)范圍, 原子錯(cuò)位T型堆棧雙層MoS2材料的高次諧波具有更好的波長(zhǎng)定標(biāo).實(shí)際上本工作還研究了其他錯(cuò)位堆棧雙層MoS2材料的高次諧波輻射, 相應(yīng)的諧波轉(zhuǎn)化效率和波長(zhǎng)定標(biāo)介于AA堆棧與T型堆棧之間, 為免贅述, 未呈現(xiàn)在本文中.該工作旨在對(duì)雙層材料進(jìn)行原子級(jí)調(diào)控, 探討固體高次諧波輻射增強(qiáng)的潛在方案, 為實(shí)現(xiàn)極紫外阿秒光源提供理論新思路.