陳潔 周昕 白星 李聰 徐昭 倪洋

(四川大學(xué)電子信息學(xué)院, 成都 610065)

薄層強(qiáng)散射介質(zhì)的散射系統(tǒng)只會(huì)引起入射光波的振幅和相位分布變化, 但不會(huì)導(dǎo)致總能量的衰減.這一過程可以看成光波被散射系統(tǒng)編碼的過程, 與雙隨機(jī)加密系統(tǒng)極為相似.本文首先證明了載有目標(biāo)信息的光波在通過薄層強(qiáng)散射介質(zhì)的散射系統(tǒng)時(shí)所產(chǎn)生散斑的分布特性, 與雙隨機(jī)加密系統(tǒng)加密同一明文目標(biāo)所得到的密文分布特性具有高度的相似性.然后, 本文將該散射系統(tǒng)視為一個(gè)雙隨機(jī)加密系統(tǒng), 并利用相位恢復(fù)算法精確地計(jì)算出該散射系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的兩塊隨機(jī)相位密鑰, 同時(shí)證明了這兩塊密鑰板還可以成功地從該散射系統(tǒng)所得到的其他任何散斑中恢復(fù)出對(duì)應(yīng)的原始圖像.最后, 為了進(jìn)一步證明二者的等價(jià)性, 本文使用一種適用于雙隨機(jī)加密系統(tǒng)的唯密文攻擊方法, 成功地破解了薄層強(qiáng)散射介質(zhì)的散射系統(tǒng), 得到了較好結(jié)果.

1 引 言

近年來, 采用非侵入、直接的成像方式透過散射介質(zhì)恢復(fù)出目標(biāo)的原始結(jié)構(gòu)和信息, 在光學(xué)成像領(lǐng)域已成為備受矚目的研究熱點(diǎn), 特別在醫(yī)學(xué)診斷、軍事安全、納米技術(shù)應(yīng)用及水下探測等方面顯得極為重要和迫切[1?4].對(duì)于微粒尺寸為波長量級(jí)且空間分布隨機(jī)的介質(zhì), 入射光在其內(nèi)部傳播時(shí)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的散射, 從而導(dǎo)致原本有序的波前相位發(fā)生嚴(yán)重畸變[5].這些強(qiáng)散射光會(huì)在觀測表面隨機(jī)分布, 產(chǎn)生相長干涉和相消干涉, 最終形成散斑圖.當(dāng)散射介質(zhì)厚度較小時(shí), 對(duì)入射光總能量的影響可以忽略不計(jì).最近, 一些研究成功地實(shí)現(xiàn)了從薄層強(qiáng)散射介質(zhì)出射光場中重建出隱藏的目標(biāo)圖像[6?8].如: 基于相位多樣性的成像方法, 通過采集多幀散斑, 并結(jié)合相位分集重建算法進(jìn)行聯(lián)合重建[5]; 基于雙譜分析的單幀散斑成像方法, 通過分析散斑的雙譜信息來提取目標(biāo)的相位信息[6]; 將波前相位調(diào)制技術(shù)[8]和菲涅耳衍射理論[7]相結(jié)合,實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)散射介質(zhì)中的聚焦; 還有強(qiáng)散射介質(zhì)傳輸矩陣的測量, 也對(duì)散斑圖樣恢復(fù)具有重要意義[9?11],包括三步相移干涉法[9]和任意步相移干涉法[10],以及通過結(jié)合光聲效應(yīng)實(shí)現(xiàn)不受光記憶效應(yīng)限制的光聲傳輸矩陣[11]的測量.

當(dāng)入射光透過強(qiáng)散射介質(zhì)時(shí), 雖然從雜亂無序的散斑圖不能直接獲得成像目標(biāo)的信息[12], 但事實(shí)上入射光所攜帶的信息只是由于散射而變得無序, 卻并沒有丟失.也就是說, 入射光波信息被散射介質(zhì)系統(tǒng)所編碼, 表現(xiàn)為雜亂無序的出射光場狀態(tài).由于粒子在散射介質(zhì)中的隨機(jī)分布不隨時(shí)間變化, 一旦給定了隨機(jī)散射介質(zhì), 同一入射光通過相同介質(zhì)的出射場是相同的.因此, 如果能夠?qū)ι邎D像進(jìn)行解碼, 則可以有效恢復(fù)出目標(biāo)物體.通過數(shù)值模擬我們發(fā)現(xiàn), 對(duì)于同一幅給定的目標(biāo)圖像,在光學(xué)記憶效應(yīng)范圍[13]內(nèi)的強(qiáng)散射介質(zhì)[14]散斑圖樣和雙隨機(jī)加密(DRPE)系統(tǒng)的密文圖樣在統(tǒng)計(jì)分布上具有相同的分布規(guī)律.在此基礎(chǔ)上, 我們將散射系統(tǒng)與DRPE系統(tǒng)聯(lián)系起來, 把這樣的強(qiáng)散射介質(zhì)視為DRPE編碼系統(tǒng).將原始目標(biāo)作為空間約束條件, 散斑圖樣作為頻域約束條件, 迭代進(jìn)入相位恢復(fù)算法中得到散射系統(tǒng)的兩個(gè)隨機(jī)相位密鑰, 并且這一對(duì)密鑰還可以成功解密經(jīng)過同一散射系統(tǒng)中的其他散斑圖像.受到成像相關(guān)技術(shù)[15]和DRPE系統(tǒng)唯密文攻擊方法[16]的啟發(fā),我們還對(duì)散斑圖案執(zhí)行了DRPE加密系統(tǒng)的“唯密文攻擊”方法(COA).隨著散斑圖樣實(shí)現(xiàn)次數(shù)的增加, 計(jì)算得到散斑的傅里葉域強(qiáng)度平均自相關(guān)值會(huì)越來越收斂到目標(biāo)物體的能量譜密度(ESD)[15].然后, 將得到的ESD近似值輸入相位恢復(fù)算法[17]中進(jìn)行迭代運(yùn)算, 便對(duì)散斑圖案進(jìn)行了成功解碼,恢復(fù)出原始目標(biāo)信息.理論上, 所有適用于雙隨機(jī)相位加密系統(tǒng)的唯密文攻擊方法都適用于此種散射介質(zhì)散斑圖像的恢復(fù).

本文第一次驗(yàn)證了薄層強(qiáng)散射系統(tǒng)與DRPE系統(tǒng)的等價(jià)性, 基于這一特性, 可以利用DRPE系統(tǒng)解密的方法來解決散射介質(zhì)成像的許多問題, 這為非侵入式透過散射介質(zhì)成像提供了新的思路.

2 基 礎(chǔ)

2.1 散射成像系統(tǒng)

散射成像系統(tǒng)如圖1所示, 物體被相干光照射, 散射介質(zhì)被放置在目標(biāo)物體和成像平面之間.對(duì)于文獻(xiàn)[5]中提出的強(qiáng)散射介質(zhì)薄層, 我們假設(shè)散射介質(zhì)引起的入射光振幅損失可以忽略.在光學(xué)記憶效應(yīng)范圍內(nèi), 可以將散斑寫成目標(biāo)物體和成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積[12]:

圖1 散射過程Fig.1.Scattering process.

其中,S(x,y) 是光學(xué)記憶效應(yīng)范圍內(nèi)散射系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù).

散射介質(zhì)出射的光場可以表示為[5]

其中, (x,y) 表示二維空間坐標(biāo),|A(x,y)|代表散射光場的振幅, e xp[iθ(x,y)] 則代表散射光場的相位.散斑圖案的強(qiáng)度信息可表示為

散射光場A(x,y) 的實(shí)部和虛部都近似分布為高斯隨機(jī)變量, 其均值都為零; 散射光場的模值|A(x,y)|服從瑞利概率密度分布[18]:

其中,a表示散斑模值|A(x,y)|,σ2表示散射光場實(shí)部和虛部的方差.散射光強(qiáng)度服從負(fù)指數(shù)統(tǒng)計(jì)分布[19]:

其中表示光強(qiáng)的平均值.

2.2 DRPE系統(tǒng)

經(jīng)典的雙隨機(jī)相位加密系統(tǒng)由標(biāo)準(zhǔn)的4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn), 如圖2所示.輸入圖像f(x,y) 在空域受到第一塊隨機(jī)相位板 e xp[i2πn(x,y)] 的調(diào)制作用, 經(jīng)過第一塊透鏡的傅里葉變換后, 在頻域受到第二塊隨機(jī)相位板 e xp[i2πb(u,v)] 的調(diào)制作用, 再經(jīng)過第二塊透鏡的傅里葉變換作用, 在輸出平面上可得到密文圖像[20]:

圖2 雙隨機(jī)相位加密系統(tǒng)Fig.2.Double random phase encryption system.

其中, (x,y) 和 (u,v) 分別表示二維空域坐標(biāo)和二維頻域坐標(biāo),n(x,y) 和b(u,v) 代表以均勻概率在區(qū)間[0, 1]上隨機(jī)取值的任意實(shí)數(shù), Γ 和 Γ?1分別表示傅里葉變換和逆變換.

3 等價(jià)性分析

3.1 散射系統(tǒng)與DRPE系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律

我們用一幅原始圖像E作為目標(biāo)物體, 分別經(jīng)過薄層強(qiáng)散射系統(tǒng)和DRPE系統(tǒng)后, 所得到的散斑圖案和密文圖樣灰度直方圖統(tǒng)計(jì)分布(圖3)的散斑和密文的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律是一致的, 原始圖像E如圖4(a)所示.其中, 散斑圖案和DRPE系統(tǒng)密文的實(shí)部和虛部都近似為獨(dú)立分布的高斯隨機(jī)變量, 模值均服從瑞利概率密度分布, 而光強(qiáng)則均服從負(fù)指數(shù)概率密度分布.對(duì)于其他任意的同一原始圖像, 都可以得到與圖3類似的結(jié)果.基于此,我們認(rèn)為, 薄層介質(zhì)強(qiáng)散射過程與DRPE加密系統(tǒng)具有高度的相似性.在本文中, 我們考慮的等價(jià)性是指薄層強(qiáng)散射系統(tǒng)和DRPE系統(tǒng)性能的等價(jià)性, 即兩個(gè)系統(tǒng)從各自的入射面到出射面所產(chǎn)生結(jié)果的等價(jià), 也就是說, 介質(zhì)到探測器的距離是在我們所說等價(jià)的兩個(gè)系統(tǒng)之外的光場衍射過程.顯然, 討論中最簡單的情況是當(dāng)這個(gè)衍射距離為零時(shí), 也就是探測器剛剛放在散射介質(zhì)的出射面處.當(dāng)然這樣處理也是只具有理論討論意義, 忽略了實(shí)際的情況下散射介質(zhì)物理尺寸和探測距離的影響.

圖3 散斑和密文的統(tǒng)計(jì)直方圖 (a)實(shí)部; (b)虛部;(c)振幅; (d)強(qiáng)度Fig.3.Statistical distribution histogram of speckle and cyphertext: (a) Real part; (b) imaginary part; (c) amplitude (d) intensity.

3.2 散射系統(tǒng)的一對(duì)密鑰

在經(jīng)典的DRPE系統(tǒng)中, 兩個(gè)隨機(jī)相位板分別在空間域和頻率域?qū)斎雸D像進(jìn)行調(diào)制, 使密文成為平穩(wěn)的白噪聲.而對(duì)于強(qiáng)散射介質(zhì)薄層, 也可以認(rèn)為散射介質(zhì)主要影響入射光的相位而引起光場分布的改變[21].因此假設(shè)圖1所示的強(qiáng)散射過程等效于圖2中所示的DRPE系統(tǒng), 則該散射過程應(yīng)具有兩個(gè)相應(yīng)的密鑰板, 利用相位恢復(fù)算法模擬就可以找到這兩個(gè)相位密鑰.

根據(jù)文獻(xiàn)[5]提出的強(qiáng)散射效應(yīng)薄層介質(zhì)模型, 在光學(xué)記憶效應(yīng)范圍內(nèi), 散斑場是具有空間平移不變性的[21], 因此由(1)式可以得到如圖4(b)所示的散斑圖樣.對(duì)散斑A(x,y) 進(jìn)行變換可得到[22]:

其中,φ(u,v)=Γ{O(x,y)·exp[i2πn(x,y)]},n(x,y)和b(u,v) 為在[0, 1] 區(qū)間隨機(jī)取值的任意實(shí)數(shù).這樣,根據(jù)物體平面上的強(qiáng)度信息|φ(x,y)|=O(x,y) 和傅里葉平面上的強(qiáng)度信息|φ(u,v)|=|Γ{A(x,y)}|,利用Gerchberg-Saxton(GS)相位恢復(fù)算法[17]迭代就得到第一個(gè)隨機(jī)相位密鑰, 即目標(biāo)平面上的密鑰n(x,y).而第二個(gè)隨機(jī)相位密鑰, 即頻譜平面的隨機(jī)相位板b(u,v) 可由目標(biāo)平面的密鑰推導(dǎo)出[22]:

至此, 我們已經(jīng)成功地找到了散射系統(tǒng)的一對(duì)密鑰, 并可以用這兩個(gè)密鑰解密經(jīng)過同一散射介質(zhì)的其他散斑圖樣.相應(yīng)過程的數(shù)值模擬結(jié)果如下: 圖4(c)為通過迭代獲得的第一塊密鑰板分布,圖4(d)則為由(8)式得到第二塊密鑰板的隨機(jī)相位函數(shù)分布.而用這一對(duì)密鑰可以對(duì)經(jīng)過同一散射系統(tǒng)的另一幅散斑圖像進(jìn)行解密, 其對(duì)應(yīng)的原始圖像為圖4(e), 解密圖像如圖4(f)所示.

圖4 (a)原始圖像; (b) 經(jīng)過強(qiáng)散射薄層后的散斑; (c)第一塊密鑰板; (d)第二塊密鑰板;(e)另一原始圖像; (f)利用兩塊密鑰板解密出的圖像Fig.4.(a) Original image;(b) speckle suffered highly thin scatter layer; (c) first encryption key; (d) second encryption key; (e) another original image; (f) decrypted image by two keys.

在我們的迭代模擬中, 兩塊隨機(jī)相位板都以均勻概率在[0, 1]之間選取初始值.解密出來的兩塊隨機(jī)相位板的統(tǒng)計(jì)分布直方圖如圖5所示, 從直方圖來看, 第二塊隨機(jī)相位板比第一塊更接近滿足均勻概率分布, 它們的方差分別為3.2705和3.3093.由于第一塊相位板有兩個(gè)突出的峰值, 這意味著本文示例中相位迭代運(yùn)算所最終確定的第一塊相位板, 其相位分布概率已不再是完全理想的均勻概率分布情況.

圖5 (a)第一塊隨機(jī)相位板統(tǒng)計(jì)分布直方圖;(b)第二塊隨機(jī)相位板統(tǒng)計(jì)分布直方圖Fig.5.(a) The histogram of first random phase key; (b) the histogram of second random phase key.

4 討 論

由于經(jīng)典的DRPE技術(shù)存在受到唯密文攻擊的可能性[17], 基于二者的等價(jià)性, 我們認(rèn)為對(duì)散射介質(zhì)形成的散斑圖案進(jìn)行相同的唯密文攻擊來恢復(fù)目標(biāo)圖像也是可行的.當(dāng)散射介質(zhì)和CCD分別位于透鏡的前焦面和后焦面時(shí), CCD接收到的信息為傅里葉域強(qiáng)度圖樣, 可以寫成:

其中,P(u,v) 表示的是總孔徑函數(shù),?Sn(u,v)=Sn(u,v)?〈Sn(u,v)〉 ,nth是自相關(guān)函數(shù)Sn(u,v) 的系綜平均實(shí)現(xiàn)次數(shù),是目標(biāo)物體的ESD值.

為了能夠直接探測到散斑的傅里葉域強(qiáng)度圖樣, 設(shè)計(jì)的散射成像系統(tǒng)裝置如圖6所示.其中d表示物體與散射介質(zhì)層之間的距離,f表示透鏡的焦距.隨著散斑實(shí)現(xiàn)次數(shù)N的增加, 散斑傅里葉域強(qiáng)度Sn(u,v) 的自相關(guān)平均值會(huì)收斂到目標(biāo)對(duì)象的ESD值:

圖6 散射成像系統(tǒng)示意圖Fig.6.Schematic diagram of scattering imaging system.

顯然, (10)式表明, 只要實(shí)現(xiàn)足夠數(shù)量的散斑,就可以提取出目標(biāo)物體的ESD值, 其中包含了目標(biāo)物體的全部信息.ESD值的平方根即是物體強(qiáng)度傅里葉變換模值的估計(jì).使用相位恢復(fù)算法[17],可以從目標(biāo)物體的傅里葉變換模值中恢復(fù)出目標(biāo)物體的強(qiáng)度值.

在我們的模擬中, 原始圖像是文本為E的二值圖像, 其大小為256 × 256像素, 如圖7(a)所示.在光學(xué)記憶效應(yīng)范圍內(nèi), 由(3)式可得到散斑.對(duì)散斑進(jìn)行傅里葉逆變換后, 取結(jié)果的平方, 得到由(10)式描述的散斑強(qiáng)度圖案Sn(u,v) , 如圖7(b)所示.由于能量譜密度集中在圖像的中間, 因此取散斑圖在時(shí)間上的平均值而不是在空間上的平均值.我們的模擬采用了N=104個(gè)散斑強(qiáng)度圖樣.接著計(jì)算得到每個(gè)散斑強(qiáng)度圖案的自相關(guān), 取其平均值, 根據(jù)(10)式生成目標(biāo)物體的ESD的估計(jì)值,如圖7(c)所示.物體強(qiáng)度的傅里葉變換模值通過求ESD的平方根得到, 然后將估計(jì)的傅里葉變換模值輸入相位恢復(fù)算法[17], 得到圖7(d)所示的重建明文圖像.

圖7 (a)目標(biāo)物體; (b)傅里葉域散斑強(qiáng)度; (c)ESD的估計(jì)值; (d)恢復(fù)出的目標(biāo)圖像Fig.7.(a) Original plaintext image; (b) Fourier-domain speckle intensity;(c) estimated ESD; (d) recovered plaintext image.

為了實(shí)現(xiàn)這種恢復(fù)方法, 散斑實(shí)現(xiàn)的次數(shù)N應(yīng)盡可能多, 反饋到相位恢復(fù)算法中進(jìn)行迭代的能量譜更集中, 可以獲得更好的可恢復(fù)性.這里我們選擇了結(jié)構(gòu)相似性(SSIM)作為重建效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).結(jié)構(gòu)相似性計(jì)算公式為

其中:ux和uy分別表示圖 像x和y的平均值;σx和σy分別表示圖像x和y的標(biāo)準(zhǔn)差;σx2和σy2分別表示圖像x和y的方差;σxy表示圖像x和y的協(xié)方差;C1和C2都是常數(shù), 為了避免零分母, 通常取C1=(K1×L)2,C2=(K2×L)2,K1=0.01 ,K2=0.03 ,L=255(L為像素值的動(dòng)態(tài)范圍).根據(jù)上述公式計(jì)算得出, 重建圖像與原始圖像之間的SSIM為0.8520.

這種“散斑的唯密文攻擊”方法相當(dāng)于實(shí)現(xiàn)了透過散射介質(zhì)的非侵入式成像, 可以直接從CCD接收到的強(qiáng)度圖中恢復(fù)出原始物體圖像.這是依據(jù)當(dāng)散斑實(shí)現(xiàn)的次數(shù)足夠多時(shí), 原物體和散斑的能量譜密度相等的原理來完成的.當(dāng)然, 這種方法也存在著一些不足, 正如圖7(d)所示的那樣, 由于算法中的平均過程, 使圖像的許多細(xì)節(jié)被平均化, 從而降低了重建圖像的質(zhì)量.

5 結(jié) 論

綜上所述, 本文通過數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了強(qiáng)散射系統(tǒng)和雙隨機(jī)編碼系統(tǒng)是等價(jià)的, 并且受圖像相關(guān)性的啟發(fā), 提供了一種簡單有效的利用唯密文攻擊從薄層強(qiáng)散射系統(tǒng)散斑中恢復(fù)目標(biāo)圖像的方法.數(shù)值模擬結(jié)果表明: 通過對(duì)多次實(shí)現(xiàn)的散斑強(qiáng)度數(shù)據(jù)進(jìn)行平均, 可以估計(jì)出目標(biāo)物體的傅里葉模值;然后, 根據(jù)傅里葉模值的估計(jì), 應(yīng)用具有非負(fù)約束的相位恢復(fù)算法就可以重建原始圖像.該方法完全可以推廣到傳統(tǒng)實(shí)現(xiàn)散射介質(zhì)的光譜成像中去.

不過, 需要特別指出的是, 由于透過散射介質(zhì)成像是一個(gè)極其復(fù)雜的過程, 因此本文實(shí)際上對(duì)相應(yīng)過程進(jìn)行了理想簡化處理.本文中的強(qiáng)散射體是指表面高度隨機(jī)起伏的標(biāo)準(zhǔn)偏差大于照明光波波長的散射體, 此時(shí)散射光波的初始位相均勻地分布在區(qū)間(?π,π )上[14].而薄層則為了強(qiáng)調(diào)散射介質(zhì)對(duì)振幅的影響較小, 即只改變相位.這種散射介質(zhì)模型在前人的文獻(xiàn)中也有使用[13,21], 相應(yīng)的實(shí)物有毛玻璃, 厚度為380 μm的雞胸肉, 80 μm的蔥表皮[13]等.本文所描述的等價(jià)系統(tǒng)是指從散射介質(zhì)的入射面到出射面與DRPE系統(tǒng)的入射面到出射面等價(jià).然而, 在實(shí)際過程中仍然存在著從物體到入射面和出射面到接收面的衍射過程, 這兩個(gè)衍射過程會(huì)導(dǎo)致散射介質(zhì)的入射圖像和出射圖像出現(xiàn)一定的衍射效應(yīng).在實(shí)際處理加解密過程時(shí), 需要把這兩個(gè)衍射過程的影響考慮進(jìn)去, 但在本文中為了簡化表述, 將物體面、散射介質(zhì)和觀察面設(shè)計(jì)為緊靠在一起.我們認(rèn)為, 在理想條件下, 由于薄層強(qiáng)散射系統(tǒng)和DRPE系統(tǒng)的等價(jià)性, 理論上所有適用于DRPE系統(tǒng)的純密文攻擊方法, 都可以應(yīng)用于薄層強(qiáng)散射系統(tǒng)的散斑恢復(fù), 因此今后有可能發(fā)展出更多利用系統(tǒng)等價(jià)性破解散射光場的方法.