劉成龍，呂樹辰，許衛(wèi)鍇

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

聲子晶體(Phononic crystal,PnCs)[1-3]是一種具有空間周期性結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料。當彈性波或聲波通過聲子晶體時會形成能帶結(jié)構(gòu)，從而在一定的頻率范圍內(nèi)形成通帶或禁帶，在禁帶的頻率范圍中的聲波/彈性波無法傳播。聲子晶體的帶隙特性有很重要的應(yīng)用價值，在濾波、減震及降噪領(lǐng)域都有廣闊應(yīng)用前景[4-8]。聲子晶體帶隙產(chǎn)生方式有Bragg散射機理[9]和局域共振機理[10]兩種，根據(jù)這兩種機理，可以通過改變包括材料密度、模量、聲阻抗等材料參數(shù)以及晶格形式、散射體形狀等結(jié)構(gòu)參數(shù)實現(xiàn)對能帶結(jié)構(gòu)的調(diào)控。相比于自然材料，聲子晶體具有超強的可設(shè)計性，通過聲子晶體帶隙調(diào)控滿足不同的設(shè)計需求[11-12]的研究是各個領(lǐng)域研究的熱點。

為了應(yīng)對當前科技發(fā)展的需要，材料需要更全面的性能。對于帶隙材料來說，帶隙的可調(diào)諧性和多功能性成為首要考慮的問題。聲子晶體帶隙的影響參數(shù)主要是材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，然而材料和結(jié)構(gòu)在確定后就很難更改，目前的研究方向是通過施加外界的電、磁、熱等物理場使得材料的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，通過控制微結(jié)構(gòu)的變化實現(xiàn)帶隙性能的調(diào)控[13]。另一方面，材料的工作環(huán)境往往存在光、電、磁、熱、力等多場耦合的情況，因此對材料的屬性提出了新的要求。例如，聲光子晶體(Phoxonic crystal,PxC)可以同時實現(xiàn)聲帶隙和光帶隙[14]。

在航空航天等領(lǐng)域中，結(jié)構(gòu)與材料在服役過程中往往需要應(yīng)對多種物理場的耦合作用，如微電機系統(tǒng)、高超聲速防護系統(tǒng)等既要應(yīng)對溫度的變化，還要應(yīng)對振動和噪聲的挑戰(zhàn)。因此在設(shè)計具有特定的熱膨脹功能的結(jié)構(gòu)的同時考慮其是否具有帶隙特性的問題漸漸進入學者們的視野，對特定熱膨脹系數(shù)材料的實現(xiàn)已經(jīng)得到了廣泛的關(guān)注[15-17]。目前實現(xiàn)熱膨脹調(diào)控的點陣超材料分為彎曲主導(dǎo)型和拉伸主導(dǎo)型兩種[18]，彎曲主導(dǎo)型主要依靠構(gòu)型中彎曲部分變形實現(xiàn)熱膨脹調(diào)控功能；拉伸主導(dǎo)型主要依靠每根桿件發(fā)生軸向拉壓變形實現(xiàn)熱膨脹調(diào)控功能。例如，Lehman和Lakes等人設(shè)計了一種彎曲主導(dǎo)型熱膨脹單胞(Lehman-Lakes單胞)，該單胞采用三角形設(shè)計實現(xiàn)高剛度的需求[15,19,20]。韋凱等[21]設(shè)計了一種拉伸主導(dǎo)型雙材料三角晶格熱膨脹材料并討論了該材料實現(xiàn)特定膨脹的可行性。

可以看出，無論是彎曲主導(dǎo)型還是拉伸主導(dǎo)型的熱膨脹材料，都是由不同排列的點陣結(jié)構(gòu)組成，且組合的構(gòu)型基本對應(yīng)著三角形、四邊形或六邊形的晶格，這些拓撲構(gòu)型在具有特殊熱膨脹性能的同時，還有可能存在帶隙特性。因此，對考慮熱膨脹系數(shù)設(shè)計的熱膨脹單胞進行帶隙研究成為必須要考慮的關(guān)鍵問題。

本文通過有限元方法對拉伸主導(dǎo)型熱膨脹點陣超材料的能帶進行分析，并討論了分別具有正、負、零膨脹系數(shù)的單胞形式的帶隙特征。研究表明，單胞的構(gòu)型對其帶隙結(jié)構(gòu)有較大的影響。由于拉伸主導(dǎo)型的熱膨脹系數(shù)由基元確定，因此設(shè)計特定熱膨脹系數(shù)的材料可通過對基元進行不同的排布來得到。通過合理的單胞結(jié)構(gòu)設(shè)計，可以實現(xiàn)熱膨脹與聲學帶隙兼?zhèn)涞墓δ堋?/p>

1 模型和方法

1.1 單胞的選取

本文選取文獻[21]中的雙材料點陣結(jié)構(gòu)作為研究對象，其基元構(gòu)型如圖1所示。其膨脹性能體現(xiàn)在高度方向，當組分1和組分2受熱同時膨脹，在高度方向的位移相互協(xié)調(diào)，實現(xiàn)特殊的膨脹性能?？梢钥闯?，將包含雙材料的基元進行排列并置于同一平面，根據(jù)排列的不同可分為兩種構(gòu)型：Ⅰ型構(gòu)型為雙材料三角形共享頂點M點，Ⅱ型構(gòu)型為平面晶格共享頂點M點，如圖2所示。

一旦材料和結(jié)構(gòu)尺寸確定后，Ⅰ型和Ⅱ型的單胞等效熱膨脹系數(shù)αv/α2可表示為[21]

(1)

(2)

不失一般性，本文選取鋁和因瓦作為組分材料，其材料參數(shù)如表1所示。根據(jù)式(1)和式(2)可計算出材料的熱膨脹系數(shù)隨角度的變>化，如圖3所示。可以看出，不同的排列形式可以實現(xiàn)不同的熱膨脹系數(shù)，而針對不同熱膨脹系數(shù)的構(gòu)型亦可能存在不同的帶隙特征。這意味著在實現(xiàn)特定熱膨脹系數(shù)材料設(shè)計的時候，可以通過選擇不同的構(gòu)型以兼顧帶隙的功能；或者在選定材料構(gòu)型后，可在熱膨脹系數(shù)變化非常小的前提下選擇結(jié)構(gòu)尺寸對帶隙進行細微的調(diào)控。因此，有必要對不同熱膨脹系數(shù)的單胞構(gòu)型進行特性分析。

圖1 基元構(gòu)型圖

圖2 Ⅰ型及Ⅱ型晶格示意圖

表1 鋁和因瓦的物理參數(shù)

1.2 能帶結(jié)構(gòu)計算

彈性波在線彈性、各向同性的無源介質(zhì)中的控制方程為[22]

ρ(r)-1{?·[μ(r)?×u(r)]-

?[(λ(r)+2μ(r))(?·u(r))]}=ω2u(r)

(3)

式(3)中，ω為角頻率，r(x,y,z)為位移矢量，u(r)為位移向量，?=(?/?x,?/?y,?/?z)為微分算子；λ(r)和μ(r)分別為介質(zhì)的拉梅常數(shù)，ρ(r)為介質(zhì)密度。這3個材料參數(shù)和周期結(jié)構(gòu)具有相同的周期性。

圖3 平面晶格的標準化的熱膨脹系數(shù)αv/α2

根據(jù)布洛赫定理，有

(4)

其中k=(kx,ky)為第一布里淵區(qū)內(nèi)的波矢，G為正格矢任一倒格矢。由于平移周期性，一個晶胞的空間內(nèi)場分布與整個晶格結(jié)構(gòu)的周期性是相同的。對于Ⅰ型和Ⅱ型的四邊形構(gòu)型來說，其不可約布里淵區(qū)如圖4a陰影部分所示；Ⅰ型三角形、Ⅱ型三角形、Ⅰ型六邊形以及Ⅱ型六邊形的拓撲構(gòu)型均為正六邊形晶格，其不可約布里淵區(qū)如圖4b陰影部分所示。對于帶隙分析，只需要使波矢歷遍不可約布里淵區(qū)的邊界，即可得到該聲子晶體的帶隙。

圖4 第一布里淵區(qū)和不可約布里淵區(qū)

2 結(jié)果與討論

2.1 正膨脹構(gòu)型帶隙分析

首先，對于正膨脹構(gòu)型進行能帶研究。由圖3可以看出，Ⅰ型的Al-Invar構(gòu)型僅能在較小的角度實現(xiàn)正膨脹，且膨脹系數(shù)較小。Ⅱ型的Al-Invar構(gòu)型更容易得到較好的正膨脹性能。圖5列舉了取β=30°、L1=39.3 mm、L2=36.3 mm時3種Ⅱ型構(gòu)型的帶隙特征。由式(2)可以看出，盡管選取的基元相同，但不同的單胞排列會導(dǎo)致不同的等效熱膨脹系數(shù)。在本例中，其值依次是 4.08、1、7.64。

由圖5可以看出，在結(jié)構(gòu)實現(xiàn)正膨脹時，Ⅱ型四邊形構(gòu)型在7 kHz附近具有較窄帶隙；Ⅱ型三角形構(gòu)型在6.05～6.9 kHz、11～11.5 kHz和15～15.3 kHz具有較窄的完全帶隙；Ⅱ型六邊形構(gòu)型在11～12 kHz具有稍寬帶隙。然而，由圖2可以看出，Ⅱ型構(gòu)型類似于材料2(Invar)為基體而材料1(Al)為夾雜的桁架結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻[23]的結(jié)論，夾雜的剛度較低不利于形成較大的帶隙，因此3種構(gòu)型的帶隙均不理想。

2.2 負膨脹構(gòu)型帶隙特征

如圖3所示，Ⅰ型Al-Invar構(gòu)型在角度較大時容易得到較好的負膨脹性能。圖6列舉了Ⅰ型負膨脹結(jié)構(gòu)的帶隙特性，此時2種材料分別為鋁和因瓦，β=26.5°、L1=36.2 mm、L2=35.8 mm，3種構(gòu)型的等效熱膨脹系數(shù)都為-3.95。

圖5 Ⅱ型正膨脹單胞的帶隙結(jié)構(gòu)圖

圖6 Ⅰ型負膨脹單胞的帶隙結(jié)構(gòu)圖

其中Ⅰ型負膨脹四邊形幾乎沒有帶隙；Ⅰ型負膨脹三角形在7～7.8 kHz范圍內(nèi)具有較窄帶隙范圍；Ⅰ型負膨脹六邊形在6.4～6.9 kHz、8～10.9 kHz具有較寬的禁帶頻域。這是因為該角度下，三角形和四邊形的單胞連接主要是三角形的形式，這不利于帶隙的的產(chǎn)生[24]。六邊晶格則增加了連接桿數(shù)，從而產(chǎn)生了較寬的帶隙。

2.3 零膨脹構(gòu)型帶隙特征

由圖3可以看出，當選擇合適的參數(shù)時，可以得到具有零膨脹系數(shù)的材料。例如，由式(1)得β=12.6°，可以設(shè)計出三角形、四邊形和六邊形的零膨脹構(gòu)型。圖7展示了3種Ⅰ型Al-Invar零膨脹構(gòu)型的帶隙特征?？梢钥闯觯?.2節(jié)相似，三角形和四邊形單胞的帶隙仍然很窄，例如，四邊形構(gòu)型在7～7.8 kHz范圍內(nèi)和9.5 kHz附近具有較窄帶隙；三角形構(gòu)型在6 kHz附近和7～7.8 kHz范圍內(nèi)具有較窄帶隙；值得注意的是，隨著基元角度的變化，六邊形單胞的帶隙相對變窄，在6.6 kHz附近和7～7.5 kHz區(qū)間。

圖7 Ⅰ型AI-Invar零膨脹單胞的帶隙結(jié)構(gòu)圖

另外，不同的材料屬性也會對帶隙產(chǎn)生影響[23]。例如，若采用鋁和鋼構(gòu)建零膨脹結(jié)構(gòu)，由式(1)可得β=40.5°。此時無法構(gòu)建六邊形，因此只分析了三角形和四邊形構(gòu)型的帶隙特征，如圖8所示。從圖8可以看到，在結(jié)構(gòu)滿足零膨脹功能時，Ⅰ型三角形構(gòu)型在3.8～3.9 kHz具有較窄帶隙，Ⅰ型四邊形構(gòu)型在7.9～8.9 kHz和10.9～12 kHz范圍內(nèi)具有較寬的帶隙，在3.9 kHz附近具有較窄帶隙。

2.4 近零膨脹構(gòu)型帶隙規(guī)律

零膨脹結(jié)構(gòu)具備能夠適應(yīng)劇烈的環(huán)境溫度變化的特點，具有廣泛的應(yīng)用前景。對于拉伸主導(dǎo)型的熱膨脹點陣超材料來說，其零膨脹體現(xiàn)在高度方向，因此構(gòu)型的變化主要由基元中的材料1受溫度變化影響后發(fā)生拉壓變形所引起，這主要導(dǎo)致材料2的夾角β發(fā)生改變，而晶胞整體的大小保持不變。因此，選擇夾角β在一定范圍內(nèi)使得材料滿足近零膨脹特性并討論其帶隙的變化規(guī)律成為一個有意義的問題。

圖8 Ⅰ型AI-Sted零膨脹單胞的帶隙結(jié)構(gòu)圖

在本節(jié)中，選取Al-Steel構(gòu)成的I型零膨脹模型，角度β的范圍取40°～42.5°,以滿足等效熱膨脹系數(shù)近似為零的要求，其帶隙規(guī)律如圖9所示。從圖9可以看出，β角的值對單胞帶隙特征具有較大影響，禁帶的范圍隨β角的增大產(chǎn)生整體下降的趨勢。這是由于當角度增大時，三角形基元的斜邊長度也增大，這相當于增加了振子的等效質(zhì)量。

圖9 不同β值時帶隙特征對比圖

3 結(jié)論

本文研究了基于拉伸主導(dǎo)的點陣超材料的帶隙特征，討論了該材料在不同的特定熱膨脹系數(shù)時構(gòu)型對帶隙的影響并得到以下結(jié)論：

(1)該點陣復(fù)合材料屬于拉伸主導(dǎo)型的熱膨脹材料，熱膨脹系數(shù)可調(diào)控點陣材料在滿足熱膨脹系數(shù)可調(diào)的功能以及一定剛度要求時，也具有一定的帶隙特性。

(2)分別對熱膨脹系數(shù)為正、負、零的情況下不同構(gòu)型的帶隙特征進行了分析，并討論了不同材料屬性對帶隙的影響，為實現(xiàn)熱膨脹/帶隙雙目標的超材料設(shè)計提供了理論依據(jù)。

(3)通過合理的選材和形狀設(shè)計，有望實現(xiàn)特定膨脹性質(zhì)和帶隙設(shè)計的雙目標共贏，使材料具有更好的可調(diào)諧性和多功能性。