李文鑫,李曠代，王 偉

(1.北京交通大學(xué) 機械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044;2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3.北京航天自動控制研究所，北京 100854)

0 引言

空間飛行器一直是軍事應(yīng)用和科學(xué)探索重要的載體和平臺，對空間飛行器與其它飛行器交會策略的研究具有重要意義。傳統(tǒng)地面飛行器的研究需要根據(jù)飛行器具體的形狀特點以及所處環(huán)境的不同分析其具體的受力情況，因此一般不能得到地面飛行器通用的交會仿真策略?？臻g飛行器根據(jù)天體力學(xué)的空間規(guī)律運行，在研究空間飛行器交會過程時可以借助空間技術(shù)，這是與普通飛行器研究不同的一點。由于空間中絕大部分飛行器的運動都可看作相對于地球的二體運動，受力情況基本一致，因此結(jié)合空間飛行器所處空間環(huán)境的特殊性，針對它們的一些共性，給出了利用變軌算法和優(yōu)化算法構(gòu)建空間飛行器交會軌道模型的方法，在綜合考慮誤差因素的情況下，得到了空間飛行器交會準(zhǔn)確度的計算模型。

1 飛行器轉(zhuǎn)移軌道模型構(gòu)建

空間飛行器與目標(biāo)的交會過程從另一方面可看作飛行器由原來軌道向目標(biāo)位置轉(zhuǎn)移的軌道轉(zhuǎn)移過程,可利用軌道轉(zhuǎn)移技術(shù)構(gòu)建其交會軌道模型。飛行器的交會軌道是其從初始軌道向目標(biāo)軌道的過渡軌道，飛行器在發(fā)動機推力的作用下實現(xiàn)速度的變化，進(jìn)而完成軌道的轉(zhuǎn)換。對飛行器交會軌道的構(gòu)建可利用霍曼轉(zhuǎn)移或Lambert轉(zhuǎn)移，其中霍曼轉(zhuǎn)移一般適用于共面或非共面圓軌道轉(zhuǎn)移情況，為了空間飛行器交會策略的普遍適用性采用了既可應(yīng)用于圓軌道轉(zhuǎn)移也可適用于橢圓軌道轉(zhuǎn)移的Lambert轉(zhuǎn)移[1]。

1.1 Lambert變軌算法

基于Lambert理論的飛行器轉(zhuǎn)移過程如圖1所示。飛行器在初始位置獲得一定的速度后就可以沿著轉(zhuǎn)移軌道轉(zhuǎn)移到理論上的目標(biāo)點位置。

圖1 Lambert變軌示意圖

Lambert問題也叫做Gauss問題[3]，求解Lambert問題需要結(jié)合拉格朗日時間轉(zhuǎn)移方程[4]，而此方程是一個超越方程，很難求得解析解。因此現(xiàn)在一般求解的思路是尋找該方程的數(shù)值解，通過引入一些相對獨立的迭代變量，結(jié)合時間轉(zhuǎn)移方程建立控制方程組，在不斷的循環(huán)迭代中求得滿足精度的數(shù)值解。Lambert求解方法很多，具體可參考文獻(xiàn)[5-10]。利用普適量法對Lambert問題求解如下。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

通過引入普適變量z對式(3)～(6)進(jìn)行重新表示，推導(dǎo)后得到z與Lambert變軌轉(zhuǎn)移時間tf之間的關(guān)系：

(8)

式中，χ、S(z)、y(z)均為z的函數(shù)，關(guān)于z及以上參數(shù)的具體定義可參考文獻(xiàn)[11]。

在空間中，由于飛行器質(zhì)量相對于地球質(zhì)量可以忽略不計，則空間飛行器相對于地球運動的軌道動力學(xué)方程如下：

(9)

由以上轉(zhuǎn)移軌道的求解過程可知，要利用Lambert變軌算法求得轉(zhuǎn)移軌道，需要給定轉(zhuǎn)移時間作為已知條件，并且目標(biāo)位置不會隨時間變化，這是傳統(tǒng)Lambert變軌算法的局限性，只能解決飛行器在兩個定點之間的軌道轉(zhuǎn)移問題。在飛行器與目標(biāo)交會的實際條件下，從發(fā)射飛行器到與目標(biāo)交會的轉(zhuǎn)移時間一般不能提前獲得，目標(biāo)的位置也處于不斷變化中，這是飛行器在兩個動點之間的轉(zhuǎn)移問題。為解決這一問題，在Lambert變軌算法的基礎(chǔ)上引入了粒子群優(yōu)化算法和交會時間優(yōu)化算法來進(jìn)行飛行器轉(zhuǎn)移軌道的構(gòu)建。

1.2 粒子群優(yōu)化算法獲取轉(zhuǎn)移時間

粒子群算法是一種智能算法，一般用于解決最優(yōu)化的搜索問題。粒子群算法的基本原理是通過個體之間的信息共享快速找到能夠滿足收斂條件的最優(yōu)解。該算法的具體操作是給空間中所有的粒子隨機分配滿足條件的初始位置和初始速度。粒子的位置就對應(yīng)了問題的一個解，將粒子位置值帶入目標(biāo)函數(shù)就可得到一個對應(yīng)的函數(shù)值，這就是粒子的適應(yīng)度。迭代過程中，根據(jù)每個粒子的速度值和空間中已知的最優(yōu)位置和粒子已知的最優(yōu)位置更新粒子下一次的位置，在不斷的迭代過程中，通過個體和種群之間的信息共享，能夠很快找到滿足條件的粒子值。其算法流程圖如圖2所示。

圖2 粒子群算法流程圖

利用粒子群算法求解轉(zhuǎn)移時間的函數(shù)如下：

(10)

在給定目標(biāo)初始位置的情況下，利用粒子群算法以及Lambert變軌算法得到了飛行器的初始轉(zhuǎn)移軌道以及相應(yīng)的轉(zhuǎn)移時間tf，如圖3所示。然而在交會過程中，目標(biāo)會沿著運行軌道不斷移動，位置在不斷發(fā)生變化，飛行器的實際轉(zhuǎn)移軌道會隨著目標(biāo)位置的變化而變化，轉(zhuǎn)移時間也隨之改變。

圖3 飛行器實際軌道示意圖

1.3 轉(zhuǎn)移時間優(yōu)化

該優(yōu)化方法的基本思路是：利用已知的定點到定點的轉(zhuǎn)移時間給出一個初始的基可行解，也就是新的轉(zhuǎn)移時間，然后根據(jù)提前設(shè)定的最優(yōu)性判定方法對這個新的轉(zhuǎn)移時間進(jìn)行判定，若該初始可行解是符合條件的最優(yōu)解，則輸出這個可行解，停止計算；若不滿足最優(yōu)性條件，則由當(dāng)前的轉(zhuǎn)移時間根據(jù)計算結(jié)果生成一個更接近最優(yōu)解的新的轉(zhuǎn)移時間，再次利用最優(yōu)性判定方法進(jìn)行判定，在不斷更新可行解的過程中，一步步接近符合條件的轉(zhuǎn)移時間值。利用該算法計算實際轉(zhuǎn)移時間的流程如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)移時間優(yōu)化算法流程圖

首先利用初始轉(zhuǎn)移時間tf0給定一個基可行解：

x1=tf0+α*E

(11)

x2=tf0

(12)

其中：α為初始轉(zhuǎn)移時間的一半，E為取值系數(shù)，可根據(jù)計算結(jié)果調(diào)整，初次取值時為1。

(13)

得到實際轉(zhuǎn)移時間，根據(jù)目標(biāo)初始速度以及位置矢量就可以得到實際交會過程中飛行器與目標(biāo)交會時的位置，再結(jié)合飛行器初始位置，利用Lambert變軌算法就可以得到飛行器的實際發(fā)射速度?？臻g中可將飛行器與地球的相對運動看作二體運動，利用軌道動力學(xué)方程進(jìn)行積分運算，就可以得到飛行器的轉(zhuǎn)移軌道模型。

2 交會準(zhǔn)確度計算模型構(gòu)建

上節(jié)得到的飛行器轉(zhuǎn)移軌道模型是理想條件下的理想模型，在不考慮誤差因素影響的情況下，飛行器嚴(yán)格按照預(yù)定的軌道與目標(biāo)實現(xiàn)交會。在實際的發(fā)射過程中，由于各種誤差因素的影響，飛行器會偏離理論的飛行軌道，當(dāng)偏差過大時，飛行器可能與目標(biāo)實現(xiàn)交會，也可能不會與目標(biāo)交會。在理想軌道模型中引入誤差因素，并對飛行器偏離目標(biāo)點次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，就可得到交會準(zhǔn)確度計算模型。

2.1 誤差分析

考慮空間飛行器交會策略的普遍適用性，這里主要對以下普遍存在的誤差進(jìn)行分析，主要包括：系統(tǒng)存在的時間誤差、計算過程中由精度引起的速度精度誤差、飛行器理論發(fā)射角度與實際發(fā)射角度不一致導(dǎo)致的指向誤差、角度測量過程中存在的角度測量誤差、目標(biāo)理論位置和實際位置不一致導(dǎo)致的目標(biāo)位置誤差以及各被測量隨時間變化所產(chǎn)生的附加值即模型動態(tài)誤差等。這些誤差在各飛行器交會過程中普遍存在，考慮這些誤差的影響可以建立更加準(zhǔn)確的空間飛行器交會策略。

確定了引入模型的誤差，每次仿真過程中需要給定誤差值。根據(jù)誤差類型的不同，誤差可按照系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩種方式取值。系統(tǒng)誤差每次仿真過程為固定值，可根據(jù)實際情況取值。隨機誤差在仿真過程為隨機值，可給定誤差范圍，每次仿真過程以符合該類型誤差分布方式的形式取值。一般來說，隨機誤差的分布方式分為正態(tài)分布和均勻分布兩種。

得到誤差值后，就可以利用誤差轉(zhuǎn)換將誤差引入飛行器轉(zhuǎn)移軌道的具體計算過程中。在進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)換時需要根據(jù)對飛行器轉(zhuǎn)移軌道模型構(gòu)建影響方式的不同將誤差轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的變化量，所以根據(jù)影響方式的類型可將誤差分為以下幾組：

1)第一組誤差：主要影響飛行器的轉(zhuǎn)移時間，比如發(fā)射時間誤差Et；

2)第二組誤差：主要影響飛行器的發(fā)射速度，比如初速精度誤差Ev、指向誤差Ealt、角度測量誤差Eagl。

3)第三組誤差：主要影響目標(biāo)位置坐標(biāo)的獲取，比如目標(biāo)位置誤差Etar、模型動態(tài)誤差Eyhc等。

2.2 誤差轉(zhuǎn)換

為將誤差因素引入轉(zhuǎn)移軌道模型需要進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)換。其中第一組和第三組誤差直接影響模型中的時間和目標(biāo)位置，可將誤差值直接引入模型中。以目標(biāo)位置誤差為例：

(14)

第二組誤差直接或間接影響飛行器的發(fā)射速度。其中初速精度誤差直接影響飛行器的發(fā)射速度，對發(fā)射速度的影響如下：

(15)

指向誤差和角度測量誤差以角度為量綱，間接影響飛行器的發(fā)射速度，需要根據(jù)實際情況進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)換，以指向誤差為例，該誤差向飛行器發(fā)射速度的轉(zhuǎn)換公式如下：

(16)

(17)

得到誤差轉(zhuǎn)換后的時間、發(fā)射速度、目標(biāo)位置等變量后，引入第1節(jié)介紹的理想軌道模型就可以得到飛行器與目標(biāo)交會的實際軌道模型。

2.3 交會準(zhǔn)確度計算

建立起飛行器的理論轉(zhuǎn)移軌道模型并在模型中引入誤差因素后，飛行器的實際轉(zhuǎn)移軌道模型就會因每次仿真誤差取值的變化而變化。

假設(shè)每次交會仿真考慮誤差因素的情況下，依據(jù)飛行器實際軌道模型計算出飛行器經(jīng)過交會時間到達(dá)的位置坐標(biāo)為(rsx,rsy,rsz)，目標(biāo)的實際位置坐標(biāo)為(rx,ry,rz)，二者之間的差向量為(drx,dry,drz)，則可以得到：

drx=rsx-rx

(18)

dry=rsy-ry

(19)

drz=rsz-rz

(20)

假設(shè)目標(biāo)為球體，半徑為R，飛行器與目標(biāo)具有相同半徑，通過計算差向量的長度l并與目標(biāo)半徑R和飛行器半徑之和進(jìn)行比較：當(dāng)l>2R時，飛行器未與目標(biāo)交會；反之，則可認(rèn)為目標(biāo)與飛行器實現(xiàn)了交會。

假設(shè)經(jīng)過M次交會仿真，N次與目標(biāo)交會，則可以得到交會準(zhǔn)確度：

(21)

3 模型仿真

假定目標(biāo)是半徑為0.25 m的球體，飛行器初速為1 200 m/s，進(jìn)行1 000次仿真。誤差參數(shù)如表1所示。

表1 仿真誤差參數(shù)

表1中系統(tǒng)誤差為固定值，每次仿真都按誤差取值項給定誤差值，隨機誤差為隨機值，每次仿真按誤差分布方式在0到誤差范圍項之間的范圍內(nèi)取值，因此每次仿真誤差值都不相同。

前面兩節(jié)設(shè)計得到了空間飛行器的交會策略，為了驗證交會策略的正確性，需要進(jìn)行仿真計算交會的準(zhǔn)確度。假定飛行器和目標(biāo)具有相同的半徑，可通過式(18)～(21)計算假定條件下的交會準(zhǔn)確度。飛行器在空間中的軌道可以由軌道六根數(shù)(半長軸、偏心率、軌道傾角、近地點幅角、升交點赤經(jīng)以及平近點角)確定，也可指定軌道上某一點的位置速度矢量，二者可以互相轉(zhuǎn)化。這里以地心慣性坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，首先給定了飛行器及目標(biāo)初始位置及速度矢量，參數(shù)如表2所示，此時飛行器與目標(biāo)之間的相對距離為20 km，相對速度為300 m/s。

表2 給定飛行器及目標(biāo)參數(shù)

利用以上設(shè)定參數(shù)進(jìn)行1 000交會仿真，得到飛行器與目標(biāo)的交會準(zhǔn)確度為32.5%，選取某些仿真結(jié)果列于表3。

表3 仿真結(jié)果

將表2給定的參數(shù)轉(zhuǎn)換為軌道六根數(shù)，確定飛行器和目標(biāo)軌道，讓飛行器和目標(biāo)在各自軌道上運行，運行到指定距離后進(jìn)行1 000次仿真，得到在此距離下飛行器與目標(biāo)的交會準(zhǔn)確度，結(jié)果如表4所示。由表可知，隨著距離增加，交會準(zhǔn)確度不斷下降。

表4 不同距離下飛行器與目標(biāo)交會準(zhǔn)確度

4 結(jié)束語

空間飛行器交會策略的構(gòu)建做到了對大多數(shù)空間飛行器的適用性，可為多數(shù)空間飛行器的交會過程提供參考。利用Lambert變軌算法為飛行器轉(zhuǎn)移軌道模型的構(gòu)建建立了基礎(chǔ)，粒子群優(yōu)化和交會時間優(yōu)化算法解決了目標(biāo)位置不斷變化下交會時間的求解問題，在綜合考慮誤差因素后得到了飛行器與目標(biāo)交會的準(zhǔn)確度。通過仿真，該模型能夠快速、高效、準(zhǔn)確地得到準(zhǔn)確度結(jié)果。