饒 凡 吳旭升 高 嵬 李 達

（海軍工程大學電氣工程學院 武漢 430033）

0 引言

近年來，電機制造、控制技術(shù)[1-3]得到了飛速發(fā)展，伴隨著更高磁能積的稀土金屬永磁體（如釹鐵硼）的出現(xiàn)[4-5]，性能優(yōu)異[6-8]的中小功率永磁電機在航空航天、軍事領域、民用工農(nóng)業(yè)等諸多領域應用越來越廣泛。在一些特殊的領域，如水下航行器、高精密伺服系統(tǒng)、船舶等，永磁電機等存在的外圍漏磁場可能降低水下航行器、船舶的安全隱蔽性，對于高精密伺服系統(tǒng)，永磁電機的外圍漏磁大小可能會影響周圍的精密傳感器等，從而產(chǎn)生誤差。

文獻[9-10]針對測磁載體的永磁電機在環(huán)境中的漏磁場對地磁測量產(chǎn)生明顯的干擾進行研究。文獻[9]針對空氣中測磁的不同情況仿真，定性地得出磁場泄漏的規(guī)律，對實際工程具有一定的參考價值，但并沒有量化各個量（如鐵磁材料、電機本體尺寸）對泄漏磁場的影響，即缺乏數(shù)學模型；文獻[10]同樣也有相應仿真工作，在理論方面，只是羅列了幾個電磁場公式，對電機漏磁的數(shù)學模型描述較少。

文獻[11-12]對永磁直流電機分別進行二維徑向漏磁與二維軸向漏磁仿真分析，測量了環(huán)境中不同半徑漏磁場磁感應強度，定性地得到電機環(huán)境漏磁場的分布規(guī)律。

對永磁電機內(nèi)部磁場建模已有很多文獻[13-15]，但是鮮有學者對永磁電機外部環(huán)境磁場進行理論研究。文獻[16-18]對兩極平行充磁電機進行內(nèi)部磁場建模分析，忽略定子鐵心影響，得到了電機氣隙、永磁體的解析模型。

本文在文獻[17-18]的基礎上，考慮環(huán)境漏磁，對兩極平行永磁電機進行理論研究，提出了計算永磁電機內(nèi)外含定子、外圍環(huán)境等各個域的磁場解析模型，重點分析了永磁電機外圍環(huán)境漏磁影響因素和變化規(guī)律，并利用有限元軟件和實物試驗進行驗證。對其他電機環(huán)境磁場分析具有一定的參考意義，也為地磁測量設備的磁場補償、外圍漏磁優(yōu)化提供了思路。

1 模型建立

永磁電機模型簡化等效為5個區(qū)域：轉(zhuǎn)軸域S（shaft）、永磁體域 P（PM）、氣隙域 A（air gap）、定子鐵心域I（stator iron）、環(huán)境域C（circumstance），并忽略定子齒，認為定子是規(guī)則圓環(huán)，其等效模型如圖1所示。

圖1 電機等效模型Fig.1 Motor equivalent model

圖1中，RS為轉(zhuǎn)軸半徑（同時為永磁體內(nèi)半徑），RP為永磁體外半徑（同時為氣隙內(nèi)半徑），RA為氣隙外半徑（同時為鐵心內(nèi)半徑），RI為鐵心外半徑。

為分析其規(guī)律，將永磁體認為是兩極，對于平行充磁的永磁體，其磁化強度M可以寫為

式中，Mr為永磁體的徑向分量；Mθ為其周向分量。由其分量可知， ? ×M= 0 。對于永磁體，其矢量磁位滿足泊松方程，對于鐵心、空氣域和環(huán)境，則滿足拉普拉斯方程。

對于二維磁場，矢量磁位A沒有徑向分量和周向分量[18]，即：Ar=0，Aθ= 0 ，故各個域的矢量磁位A滿足

式中，Az的下標S、P、A、I、C分別為轉(zhuǎn)軸域、永磁體域、氣隙域、定子鐵心域、環(huán)境域的矢量磁位z分量；0μ為真空磁導率。

2 模型求解

2.1 求解拉普拉斯方程

式（3）中各式均為齊次偏微分方程，故以任一域為例，可以利用分離變量法求解方程[19]。

由于圓形域利用圓柱坐標系求解更容易，故建立圓柱形坐標系，將式（3）中任一式展開，可得

令Az=R(r)Φ(θ)，則式（4）可以變?yōu)?/p>

式中，R(r)、Φ()θ為分離變量法的過程量。

整理式（5），可得到兩個獨立方程，有

分別求解兩個獨立方程，可以得到矢量磁位Az的表達式為

式中，B1、B2、C1、C2均為系數(shù)。

2.2 周期性與對稱性條件

矢量磁位Az呈現(xiàn)周期性，即Az(r,θ) =Az(r,θ+ 2 π)，故有

在式（8）中，對λ不同的取值對應不同的Az表達式，但是滿足周期性條件的只有λ＜0，只有當為整數(shù)m時，式（9）才能成立，即λ=?m2，m= 1 ,2,3,… 。

因此，矢量磁位Az簡化為

利用磁場的對稱性[20]，徑向分量關(guān)于機械角度θ呈偶對稱，周向分量關(guān)于機械角度θ呈奇對稱，即

矢量磁位A與磁感應強度B的關(guān)系為B=?×A，在極坐標下，由于在二維中，僅僅只有Az分量，B無z分量，由磁場的對稱性，根據(jù)式（11a）或者式（12a）可以得到系數(shù)B1=0，根據(jù)式（11b）或者（12b）可以得到

令磁場系數(shù)D1m=mB2mC1m，D2m=mB2mC2m，磁感應強度B的周向、徑向分量分別為

式中，n=1, 2, 3,…。

將式（13）的磁場系數(shù)D1m、D2m求出就可以確定不同域的磁感應強度表達式。

2.3 邊界條件與自然條件

根據(jù)圖1的永磁電機等效模型，可以知道永磁電機分5個域、4個邊界（轉(zhuǎn)軸與永磁體邊界SP、永磁體與氣隙邊界PA、氣隙與定子鐵心AI、定子鐵心與環(huán)境IC），由邊界的磁場強度H的周向連續(xù)，磁感應強度B的徑向連續(xù)[21]和鐵心磁導率遠遠大于氣隙磁導率，且氣隙很小，可以得到4組邊界條件為

在無窮遠處，即r→∞，磁感應強度為0，即

對于電機外圍的環(huán)境，磁場系數(shù)DC1m=0。當r→ 0 時，矢量磁位Az為定值，故系數(shù)CS2m= 0 ，即

根據(jù)不同區(qū)域的H與B的關(guān)系[22]，可得磁場強度H的周向分量與磁感應強度B的周向分量關(guān)系為

2.4 解析模型結(jié)果

將邊界條件式（14）、自然條件式（15）、式（16）以及式（17）應用于式（13），如果將磁化強度周向分量Mθ也用級數(shù)表示，有

其中

則可以得到各系數(shù)之間滿足

將式（18）用矩陣形式表示為RmDm+U=0，各個域的磁場系數(shù)為

其中

求解式（19）可以得到系數(shù)向量Dm（見附錄），代入式（13）得到不同域的解析磁場徑向、周向分量。從系數(shù)向量Dm可知，環(huán)境的磁感應強度系數(shù)DC2m與磁化強度M0（或剩磁Br）成正比、與鐵心的相對磁導率μFe成反比，并與電機各部件尺寸（RS、RP、RA、RI）和永磁體相對磁導率μr相關(guān)。

由于工程應用中鐵心飽和對電機的性能產(chǎn)生較大影響，同樣會對電機的環(huán)境泄漏磁場產(chǎn)生影響。電機的氣隙磁場越強，定子鐵心的飽和程度越明顯，即鐵心的相對磁導率就越小。

考慮飽和時，鐵心磁導率和鐵心磁化磁場可以用μr-B曲線描述，解析模型中的磁導率可以根據(jù)鐵心的工作點來確定，即氣隙磁場的強度可以反映鐵心工作點的相對磁導率μFe，將μFe代入附錄中的磁場系數(shù)，就能得到飽和時磁場分布規(guī)律。

3 仿真分析

3.1 電機參數(shù)及解析結(jié)果

利用 Comsol仿真軟件對模型進行仿真驗證，其電機參數(shù)見表1。

表1 電機參數(shù)Tab.1 Motor parameters

平行磁化的永磁體，其氣隙磁場的徑向分量與周向分量均呈現(xiàn)正弦分布，故取m=1，磁化強度M0=Br/μ0，結(jié)合表1的電機參數(shù)，利用附錄的關(guān)系式可以計算出各個域的系數(shù)，進而得到各個域的磁場解析式為

可以看出，轉(zhuǎn)軸中徑向與周向磁感應強度與半徑無關(guān)，環(huán)境中徑向與周向磁感應強度的幅值與距離二次方成反比。

3.2 仿真結(jié)果

建立 Comsol電機模型，取磁化方向為x軸正向，永磁電機內(nèi)外磁場分布如圖2所示。

圖2 永磁電機內(nèi)外磁場分布Fig.2 Motor internal and external magnetic field distribution

永磁電機轉(zhuǎn)軸磁場均勻分布，永磁體N極產(chǎn)生的磁場穿過氣隙，垂直進入鐵心，絕大部分磁場經(jīng)過定子鐵心回到S極，很少部分穿出鐵心，進入環(huán)境中，但最終還是會回到S極（見圖2b）。

3.2.1 永磁電機內(nèi)部

轉(zhuǎn)軸中的磁場取決于域系數(shù)DS1和角度θ，當角度θ不變時，即轉(zhuǎn)軸內(nèi)的磁感應強度為恒定值，例如取θ=0°（即和x軸方向重合），取測量位置如圖3a所示，其磁感應強度隨坐標變化如圖3b所示。

圖3 轉(zhuǎn)軸域徑向磁感應強度Fig.3 Br (Rotary shaft)

磁感應強度模仿真值約為0.418 3，而理論值DS1=0.418 7，故相差很小，誤差約為0.1%。

在電機內(nèi)部不同區(qū)域設置測量圓，可以得到相應的理論與仿真值，結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同區(qū)域周向與徑向磁感應強度理論和仿真結(jié)果Fig.4 Theoretical and simulation results of Br and Bθ in different regions

從圖4可以知道，理論與仿真結(jié)果十分吻合，誤差均在0.1%內(nèi)。在測量圓上，各個域的周向與徑向磁感應強度均呈現(xiàn)正弦分布，周向分量與徑向分量相位相差 90°。轉(zhuǎn)軸周向與徑向幅值相同，且不隨測量圓的半徑變化；氣隙主要是徑向分量，由于定子鐵心的影響，故周向分量很?。挥来朋w和定子鐵心的周向分量與徑向分量不相同，兩個區(qū)域的周向分量幅值均大于徑向分量。

3.2.2 永磁電機外部環(huán)境

對于電機外部環(huán)境，由于定子鐵心的“屏蔽”作用，“泄漏”在環(huán)境中的磁場占比十分少，也就是很多文獻將其忽略的原因，環(huán)境的磁場分布規(guī)律如圖5所示。仿真與理論結(jié)果十分吻合，電機外部環(huán)境的周向與徑向磁感應強度分量幅值相等，相位相差 90°。不同的測量半徑只是影響到磁感應強度幅值大小而已，對相位沒有任何影響。

圖5 電機外部環(huán)境磁場規(guī)律Fig.5 Law of external magnetic field of motor

如果只是關(guān)心磁場大小，用磁通密度?？梢院芎煤饬浚瑢τ趫A柱坐標來說，其表示為

式中，d為距電機表面距離；DC2為磁場系數(shù)。

式（21）表示磁通密度模只與d、DC2有關(guān)，且與d二次方成反比。理論與仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 環(huán)境磁場衰減規(guī)律Fig.6 Low of B in the external environment of the motor

圖6a顯示了理論與仿真十分吻合，即肯定了模型的正確性；從圖6b可知，不同角度θ對磁通密度模沒有影響，也即在電機表面等距圓周線上，磁通密度模是相同的，如圖中d=0.2m（r=0.9m）、d=0.5m（r=1.2m）、d=0.8m（r=1.5m）圓周線的磁通密度模在圓周線上（與θ無關(guān)）均相等，盡管周向分量與徑向分量呈現(xiàn)正弦規(guī)律（見圖5a）。

4 試驗分析

磁場測量儀器選用MTB4100B高斯計，精度為±2%，量程為 0～1 000μT；永磁體材料為釹鐵硼40H，其剩磁Br為1.25～1.28T，內(nèi)直徑為10mm，外直徑為23.5mm，長度為32mm；無齒槽電機定子材料為無取向電工鋼WW35?300，內(nèi)直徑為32mm，外直徑為55mm，長度為44mm。試驗實物如圖7所示。

圖7 試驗實物Fig.7 Experimental prototype

選取一無鐵磁性材料、除地磁場外無外加磁場的場地，將高斯計探頭置于東西朝向，待儀表顯示穩(wěn)定后按下ZERO鍵進入相對磁場測量模式，即消除背景磁場的影響。取環(huán)境中一測量點r=50mm，d=22.5mm，旋轉(zhuǎn)電機每30°采集一次磁場數(shù)據(jù)，其徑向與周向分量實測與仿真、理論結(jié)果對比如圖8所示。

圖8 徑向與周向?qū)Ρ菷ig.8 Comparison result of Br and Bθ

實測結(jié)果同樣滿足正弦規(guī)律，與理論值吻合。r=50mm時，其幅值大小與理論結(jié)果最大誤差約12%。在徑向幅值與周向幅值點出選取不同距離進行記錄，結(jié)果如圖9所示。

圖9 環(huán)境磁場衰減規(guī)律對比Fig.9 Comparison result of B in the external environment of the motor

衰減規(guī)律符合二次方衰減規(guī)律，由于鐵心飽和影響，徑向分量幅值和周向分量幅值衰減規(guī)律有一定的誤差，理論值雖然沒有體現(xiàn)這種小差別，但是也能較好地反映兩極電機環(huán)境磁場的衰減規(guī)律。

5 結(jié)論

本文建立了考慮環(huán)境漏磁的兩極平行充磁電機的理論模型，得出電機內(nèi)外各個域的磁場精確解析式，各個域的周向與徑向磁感應強度均呈正弦分布，周向分量與徑向分量相位相差 90°。轉(zhuǎn)軸域的周向與徑向分量幅值相同，且不隨測量圓的半徑而變化；由于定子鐵心的影響，氣隙域中主要是徑向分量，周向分量占比很小；永磁體域和定子鐵心域的周向分量與徑向分量不相同，兩個區(qū)域的周向分量幅值均大于徑向分量。電機外部環(huán)境的周向與徑向磁感應強度分量幅值近似相等，在距電機表面地等距圓周線上，磁通密度模是相同的，與距電機表面距離的二次方成反比。

附 錄

各個域的磁感應強度系數(shù)表達式為