高仕林,宋炎侃,,陳 穎,,黃少偉,,于智同,譚鎮(zhèn)東
(1. 清華大學(xué)電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系,北京市 100084;2. 清華四川能源互聯(lián)網(wǎng)研究院,四川省成都市 610042)
傳統(tǒng)的機(jī)電暫態(tài)仿真工具僅針對(duì)工頻信號(hào)建模,難以分析復(fù)雜暫態(tài)過(guò)程[1-2]。電磁暫態(tài)仿真能夠精確模擬系統(tǒng)的各種行為,在現(xiàn)代電力系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛。然而,針對(duì)大規(guī)模交直流電網(wǎng),傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真規(guī)模龐大、仿真速度慢,導(dǎo)致暫態(tài)過(guò)程分析效率低下[3-4]。而高效、精確的電磁暫態(tài)仿真是大規(guī)模電網(wǎng)規(guī)劃、運(yùn)行和控制的關(guān)鍵支撐技術(shù),有必要在保證準(zhǔn)確性的前提下,研究高效的電磁暫態(tài)仿真技術(shù)[5-6]。
20 世紀(jì)60 年代,加拿大DOMMEL H W 教授主持開(kāi)發(fā)了世界首個(gè)電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真程序EMTP[7]?;贓MTP 的技術(shù),各科研機(jī)構(gòu)和企業(yè)開(kāi)發(fā)了一系列電磁暫態(tài)仿真軟件[8-9],如PSCAD/EMTDC[10]、實(shí)時(shí)數(shù)字仿真系統(tǒng)(RTDS)[11]、全數(shù)字電力系統(tǒng)仿真器(ADPSS)[12]等。傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真中,受奈奎斯特采樣定律的限制,積分步長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的采樣頻率一般應(yīng)小于系統(tǒng)最高頻率的10 倍。由于上述程序均對(duì)快速變化的電壓、電流的瞬時(shí)值進(jìn)行仿真,這使得仿真的步長(zhǎng)需取較小值,導(dǎo)致計(jì)算效率低。為解決該問(wèn)題,文獻(xiàn)[13-17]提出了一種移頻電磁暫態(tài)仿真(下文簡(jiǎn)稱移頻仿真)方法,首先基于希爾伯特變換構(gòu)造電力系統(tǒng)中電壓、電流信號(hào)的復(fù)數(shù)信號(hào),然后對(duì)復(fù)數(shù)信號(hào)進(jìn)行移頻變換得到復(fù)包絡(luò)信號(hào),并基于復(fù)包絡(luò)構(gòu)造元件的移頻分析方程。復(fù)包絡(luò)信號(hào)的頻率遠(yuǎn)小于原信號(hào)的頻率。所以,可在不損失精度的前提下增大仿真步長(zhǎng),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高效、準(zhǔn)確的電磁暫態(tài)仿真。眾多學(xué)者將移頻仿真方法應(yīng)用于傳輸線[18]、感應(yīng)電機(jī)[19-20]、同步電機(jī)[21-22]、風(fēng)機(jī)[23]、模塊化多電平換流器[24-26]等,建立了上述元件的移頻仿真模型。此外,也有學(xué)者構(gòu)建了基于移頻仿真技術(shù)的仿真平臺(tái),實(shí)現(xiàn)了大規(guī)模交流電網(wǎng)的仿真加速[27-29],可用于交流電網(wǎng)的設(shè)計(jì)與運(yùn)行等,推動(dòng)了移頻仿真技術(shù)的發(fā)展。
移頻仿真技術(shù)符合電磁暫態(tài)仿真的發(fā)展方向,但目前移頻仿真研究仍不完善,在復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造方式、移頻方法、寬頻信號(hào)建模等方面仍存在理論問(wèn)題。此外,針對(duì)移頻仿真中的各步驟,不同文獻(xiàn)采用不同的方法、不同的形式,對(duì)各步驟的命名也不同,這容易影響讀者對(duì)移頻仿真的理解。因此,對(duì)移頻仿真研究中的關(guān)鍵技術(shù)和現(xiàn)存的問(wèn)題進(jìn)行梳理和分析,具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義,也有利于促進(jìn)移頻仿真的發(fā)展。
為此,本文對(duì)移頻仿真技術(shù)及其研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜述。首先,介紹了移頻仿真的原理。然后,依次梳理了移頻仿真中3 個(gè)關(guān)鍵步驟的研究現(xiàn)狀,即復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造方法及其特點(diǎn)、移頻變換的形式及其特點(diǎn)、不同的仿真模型及其區(qū)別。接著,對(duì)移頻電磁暫態(tài)仿真技術(shù)應(yīng)用的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié)。最后,討論了目前移頻仿真中仍然存在的問(wèn)題,為移頻仿真技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展提供參考。
交流電網(wǎng)中的電壓和電流信號(hào)可用一中心角頻率為ωc的帶通信號(hào)x(t)表示。該信號(hào)的頻譜是雙邊頻譜,即含有對(duì)稱的正頻率和負(fù)頻率2 個(gè)部分。為了得到僅含正頻率的信號(hào),構(gòu)造如下形式的復(fù)數(shù)信號(hào)xS(t)[13-14]。
式中:t為時(shí)間;xT(t)為xS(t)的虛部,是與x(t)正交的信號(hào),可通過(guò)對(duì)x(t)進(jìn)行某種數(shù)學(xué)變換T(x)得到。
x(t)和xS(t)的頻譜如圖1 所示[14-15]。圖中,X(ω)為x(t)的頻譜,XS(ω)為xS(t)的頻譜。
圖1 原信號(hào)與復(fù)數(shù)信號(hào)的頻譜Fig.1 Spectra of original signal and complex signal
將上述復(fù)數(shù)信號(hào)xS(t)的頻譜向左平移ωc,可以得到頻率集中在0 附近的復(fù)包絡(luò)信號(hào)xE(t)。頻譜的平移在時(shí)域中可以表示為:
移頻變換前后的信號(hào)的頻譜如圖2 所示[23]。由圖可知,復(fù)包絡(luò)信號(hào)中所含的最大頻率遠(yuǎn)小于原始實(shí)信號(hào),是一個(gè)變化緩慢的信號(hào)。根據(jù)奈奎斯特采樣定律[14],在不損失精度的前提下,基于復(fù)包絡(luò)構(gòu)造的電磁暫態(tài)模型在仿真中可支持更大的積分步長(zhǎng),從而極大降低計(jì)算量,提升仿真效率[17]。
圖2 復(fù)數(shù)信號(hào)和復(fù)包絡(luò)信號(hào)的頻譜Fig.2 Spectra of complex signal and complex envolope signal
綜上,移頻仿真的原理可總結(jié)為3 步[17]:①構(gòu)造復(fù)數(shù)信號(hào),即通過(guò)數(shù)學(xué)變換將傳統(tǒng)含有雙邊頻譜的電壓、電流實(shí)信號(hào)無(wú)損變換為只含有單邊頻譜的復(fù)數(shù)信號(hào);②移頻變換,即將上述復(fù)數(shù)信號(hào)的頻譜向左平移一個(gè)工頻,得到變化緩慢的復(fù)包絡(luò)信號(hào);③離散化,即基于復(fù)包絡(luò)信號(hào),建立元件的離散化模型。下面對(duì)這3 個(gè)部分內(nèi)容的研究進(jìn)展進(jìn)行介紹。
如前文所述,構(gòu)造xS(t)的虛部信號(hào)xT(t)時(shí),需引入變換T(x)。該變換應(yīng)當(dāng)滿足以下性質(zhì):①T(x) 為線性變換,即T(x+y) =T(x) +T(y);②T(x) 滿足微分性質(zhì),即T(dx/dt)=dT(x)/dt。
根據(jù)上述原則,現(xiàn)有文獻(xiàn)中提出了3 種構(gòu)造xT(t) 的數(shù)學(xué)變換T(x),分別為:希爾伯特變換[13-14]、微分變換[30]和積分變換[31]。下面以電力系統(tǒng)中典型的帶通信號(hào)為例,比較3 種復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造方式的區(qū)別。帶通信號(hào)x(t)可以表示為:
式中:ωc=2πfc為角頻率,其中fc為基波頻率;φ(t)為相位角;A(t)為幅值。
分別采用上述3 種構(gòu)造方式構(gòu)造式(3)的復(fù)數(shù)信號(hào),如附錄A 表A1 所示??梢园l(fā)現(xiàn),利用希爾伯特變換構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號(hào)的頻譜僅含正頻帶[13-14],而利用微分變換和積分變換構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號(hào)仍然含有少量的負(fù)頻率分量。
為進(jìn)一步驗(yàn)證上述結(jié)論,比較了在不同復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造方式下,式(4)所示的帶通信號(hào)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)信號(hào)的頻譜,各信號(hào)的頻譜如圖3 所示。圖3(a)為原信號(hào)頻譜|X(ω)|,圖3(b)為基于希爾伯特變換的復(fù)數(shù)信號(hào)的頻譜|Xsh(ω)|,圖3(c)為基于微分變換的復(fù)數(shù)信號(hào)的頻譜|Xsd(ω)|,圖3(d)為基于積分變換的復(fù)數(shù)信號(hào)的頻譜|Xsi(ω)|??梢园l(fā)現(xiàn),測(cè)試結(jié)果與附錄A 表A1 中分析一致。
總之,在相同的步長(zhǎng)下,基于上述3 種變換的移頻仿真中,基于希爾伯特變換的移頻仿真的精度較基于另外2 種變換的移頻仿真的精度更高。因?yàn)榛谖⒎肿儞Q和積分變換生成的復(fù)數(shù)信號(hào)中仍含有少量負(fù)頻率分量。移頻后該部分頻率將提升,從而造成精度損失。
將第2 章中所構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號(hào)xS(t)變換為頻率在0 附近的復(fù)包絡(luò)信號(hào)的過(guò)程稱為移頻變換[17]。該過(guò)程可分別用復(fù)數(shù)形式和實(shí)數(shù)矩陣形式來(lái)實(shí)現(xiàn)。
在復(fù)數(shù)域下,復(fù)包絡(luò)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為[15,17]:
可以發(fā)現(xiàn),移頻變換的本質(zhì)是將復(fù)數(shù)信號(hào)乘以一個(gè)旋轉(zhuǎn)信號(hào),進(jìn)而得到頻率在0 Hz 附近的低頻復(fù)包絡(luò)信號(hào)。復(fù)包絡(luò)信號(hào)的最大頻率小于原始實(shí)信號(hào)的頻率[15]。所以,基于復(fù)包絡(luò)的電磁暫態(tài)仿真(移頻仿真)可以采用更大的步長(zhǎng)。
實(shí)數(shù)矩陣形式的移頻變換在部分文獻(xiàn)中又被稱為時(shí)域坐標(biāo)變換[32-34]。其實(shí)際是將式(5)的實(shí)部和虛部分離,表示為矩陣形式,如式(6)所示。
圖3 典型帶通信號(hào)及其復(fù)數(shù)信號(hào)的頻譜Fig.3 Spectrum of typical band signal and its complex signal
其中
由3.1 節(jié)和3.2 節(jié)內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn),2 種形式在數(shù)學(xué)上是等價(jià)變換,故其精度一致。但在計(jì)算時(shí),基于復(fù)數(shù)形式的移頻變換的電磁暫態(tài)仿真的效率比基于矩陣形式移頻變換的仿真效率更高[35]。原因主要有以下2 點(diǎn)。
1)從計(jì)算量角度對(duì)比
針對(duì)一個(gè)含有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電網(wǎng),采用復(fù)數(shù)方式的移頻變換時(shí),仿真中每一時(shí)步的計(jì)算主要為求解一個(gè)n維的復(fù)數(shù)節(jié)點(diǎn)電壓方程,其求解時(shí)所需的算術(shù)運(yùn)算次數(shù)N1如式(9)所示。采用矩陣方式的移頻變換時(shí),仿真中每一時(shí)步的計(jì)算則主要為求解一個(gè)2n維的實(shí)數(shù)節(jié)點(diǎn)電壓方程,其求解時(shí)所需的算術(shù)運(yùn)算次數(shù)N2如式(10)所示[36]。需要注意的是,這里所提的算術(shù)運(yùn)算次數(shù)都指實(shí)數(shù)加、減、乘、除的次數(shù)。
式中:D表示除法的運(yùn)算次數(shù);M表示乘法的運(yùn)算次數(shù);A表示加法或減法的運(yùn)算次數(shù)。
比較式(9)和式(10)可知,在n較大時(shí),基于復(fù)數(shù)形式的移頻變換的電磁暫態(tài)仿真的節(jié)點(diǎn)電壓方程的求解計(jì)算量約為基于矩陣形式的移頻變換仿真的節(jié)點(diǎn)電壓方程的求解計(jì)算量的1/2。
2)從計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)角度對(duì)比
復(fù)數(shù)矩陣中每個(gè)元素實(shí)部和虛部在內(nèi)存中的存儲(chǔ)是連續(xù)的,這符合CPU 訪存的局部性原理[37]。而采用實(shí)數(shù)矩陣形式得到的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣,其實(shí)部和虛部元素的存儲(chǔ)是不連續(xù)的。因此,在單次運(yùn)算中,復(fù)數(shù)矩陣運(yùn)算的緩存命中率更高。故從計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)角度看,復(fù)數(shù)形式的移頻仿真計(jì)算效率更高。
利用通用的數(shù)學(xué)求解器KLU[38]對(duì)經(jīng)復(fù)數(shù)形式移頻變換和經(jīng)矩陣形式移頻變換后形成的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)方程的求解效率進(jìn)行了測(cè)試。不同算例的節(jié)點(diǎn)方程在不同移頻變換形式下的求解效率對(duì)比如表1 所示??梢园l(fā)現(xiàn),基于復(fù)數(shù)形式移頻變換的節(jié)點(diǎn)方程的求解效率更高。這也說(shuō)明,基于復(fù)數(shù)形式移頻變換的仿真效率高于基于矩陣形式移頻變換的仿真效率。
在電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真中,電氣元件的動(dòng)態(tài)過(guò)程均可以用微分方程來(lái)描述。設(shè)某個(gè)元件的微分方程可以表示為[14-15]:
式中:f(t)為x(t)的導(dǎo)數(shù)。
表1 不同變換形式下不同算例的節(jié)點(diǎn)方程求解效率Table 1 Efficiency of solving nodal equations of different cases with different types of transformation
由于第2 章中的3 種變換都滿足微分性質(zhì),即T(dx/dt) =dT(x)/dt,原信號(hào)的正交信號(hào)滿足[14-15]:
根據(jù)移頻建模理論,結(jié)合式(11)和式(12),可以通過(guò)隱式梯形法離散化建立移頻仿真的不同離散化模型。根據(jù)移頻變換和離散化的先后順序,將移頻仿真中的仿真模型分為4 種,下面分別闡述。
1)根據(jù)式(11)和式(12),可得元件基于復(fù)數(shù)信號(hào)的微分方程為:
其中
利用梯形法對(duì)式(13)進(jìn)行離散化可得基于復(fù)數(shù)信號(hào)的仿真模型(定義為Ⅰ型模型)[14,29]:
式中:Δt為t的變化量。
將式(15)轉(zhuǎn)換為矩陣形式,可以得到矩陣形式下的Ⅰ型仿真模型:
對(duì)式(15)或式(16)進(jìn)行計(jì)算,即可得到系統(tǒng)的電磁暫態(tài)仿真結(jié)果。
2)將式(15)等號(hào)兩邊同時(shí)乘以e?jωct,可得一種基于復(fù)包絡(luò)的仿真模型(定義為Ⅱ型模型):
其中
將式(17)轉(zhuǎn)換為矩陣形式,可得矩陣形式下的Ⅱ型仿真模型。
其中
3)對(duì)式(13)進(jìn)行移頻變換,可得元件基于復(fù)包絡(luò)信號(hào)的微分方程[14-17]為:
利用隱式梯形法對(duì)式(21)進(jìn)行離散化,可得Ⅲ型仿真模型,如式(22)所示。其仿真的信號(hào)是電壓、電流的復(fù)包絡(luò)[39-40]。
將式(22)表示為矩陣形式,可得矩陣形式下的Ⅲ型仿真模型[33]為:
4)將式(22)等號(hào)兩邊同時(shí)乘以ejωct,可得式(24)所示的Ⅳ型仿真模型。Ⅳ型仿真模型是一種基于復(fù)數(shù)信號(hào)的仿真模型[14-15],即
將式(24)表示為矩陣形式,可得矩陣形式下的Ⅳ型仿真模型[41-45]為:
其中
對(duì)比上述4 種仿真模型可知,Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型之間是等價(jià)變換,二者具有相同的仿真精度;Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型之間是等價(jià)變換,二者具有相同仿真精度。Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型在本質(zhì)上是先進(jìn)行移頻變換,再進(jìn)行離散化。2 個(gè)步驟中,離散化過(guò)程會(huì)造成仿真精度損失[14]。由于移頻后得到的信號(hào)是慢變信號(hào),而對(duì)慢變信號(hào)進(jìn)行離散化時(shí)的精度損失小,故在相同的步長(zhǎng)下,Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的仿真精度將高于Ⅰ型和Ⅱ型模型的仿真精度。
為了驗(yàn)證上述結(jié)論,分別利用上述4 種模型對(duì)圖4 所示的RLC 電路進(jìn)行仿真,并對(duì)4 種仿真模型的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖中:U(t)為電壓源電壓,U(t)=A(t)cos(100πt+2 cos(5πt)),A(t)=220 2 (1+0.1 cos(10πt));R、L和C分別為電路的電阻、電感和電容,R=20 Ω,L=50 mH,C=5 μF。
圖4 簡(jiǎn)單RLC 電路Fig.4 Simple RLC circuit
在步長(zhǎng)為1 ms 的情況下,分別利用上述4 種仿真模型對(duì)圖4 所示電路進(jìn)行仿真,并對(duì)比不同模型計(jì)算得到的電感電流,如圖5 所示。圖中:iRef為1 μs步長(zhǎng)下EMTP[46]仿真得到的電感電流,將其作為參考結(jié)果;iType1、iType2、iType3、iType4分別為Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型仿真模型的結(jié)果。
圖5 不同仿真模型計(jì)算得到的電感電流Fig.5 Inductor currents calculated by different simulation models
由圖5 可知,Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度相同,Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型的精度相同,Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度高于Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型,具體原因見(jiàn)前文分析。
為了進(jìn)一步分析4 種仿真模型的精度,對(duì)比了不同步長(zhǎng)下,4 種模型仿真在圖4 所示電路下得到的電感電流的相對(duì)二范數(shù)累積誤差,如表2 所示。各種模型結(jié)果的相對(duì)二范數(shù)累積誤差ei定義為[47-49]:
式中:xRef為EMTP 仿真得到的參考結(jié)果;xTypei(i=1,2,3,4)為上述4 種模型的仿真結(jié)果。
表2 不同步長(zhǎng)下的各種仿真模型得到的電感電流與準(zhǔn)確結(jié)果之間的相對(duì)2 范數(shù)累積誤差Table 2 Relative 2-norm cumulative error between inductor current obtained by different simulation models with different step sizes and accurate results
由表2 可知,在相同步長(zhǎng)下,Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度一致,Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型的精度一致,且Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度高于Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型,進(jìn)一步驗(yàn)證了前文理論分析的正確性。
在數(shù)值穩(wěn)定性方面,由于4 種模型采用的離散化方法均為隱式梯形法,4 種模型的數(shù)值穩(wěn)定性一致,均為A-穩(wěn)定[8]。移頻仿真中,除了需注意采用的數(shù)值積分方法是否具有A-穩(wěn)定性,還需考慮其是否為L(zhǎng)-穩(wěn)定。由于隱式梯形法非L-穩(wěn)定,在系統(tǒng)中發(fā)生變量突變時(shí),移頻仿真中將出現(xiàn)數(shù)值振蕩問(wèn)題。這與基于隱式梯形法的EMTP 仿真中發(fā)生變量突變時(shí)遇到的問(wèn)題相同,可結(jié)合臨界阻尼調(diào)整技術(shù)或插值技術(shù)對(duì)數(shù)值振蕩進(jìn)行抑制[8]。此外,可考慮采用L-穩(wěn)定的數(shù)值積分方法(如二階對(duì)角隱式龍格庫(kù)塔法[50-51])對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行求解。由于該類方法為L(zhǎng)-穩(wěn)定,在發(fā)生變量突變時(shí),移頻仿真中不會(huì)出現(xiàn)數(shù)值振蕩。
關(guān)于移頻仿真技術(shù)的應(yīng)用,現(xiàn)有文獻(xiàn)主要針對(duì)如何基于移頻仿真技術(shù)建立電力系統(tǒng)元件的模型展開(kāi)研究。在旋轉(zhuǎn)電機(jī)的建模方面,文獻(xiàn)[21-22]基于移頻仿真算法建立了同步電機(jī)的電磁暫態(tài)仿真模型;文獻(xiàn)[19-20,39]建立了移頻仿真框架下的感應(yīng)電機(jī)模型;文獻(xiàn)[23,52]分別基于移頻仿真算法建立了雙饋感應(yīng)風(fēng)機(jī)和永磁直驅(qū)風(fēng)機(jī)的模型,設(shè)計(jì)了實(shí)數(shù)信號(hào)和復(fù)數(shù)信號(hào)之間的數(shù)據(jù)接口,為其他含電力電子器件系統(tǒng)的移頻仿真模型的建立提供了參考。在傳輸線建模方面,文獻(xiàn)[15]基于移頻仿真算法建立了傳輸線的貝瑞隆模型;文獻(xiàn)[18]基于移頻仿真算法建立了傳輸線的頻率依賴模型,能夠精確描述仿真線路的電磁暫態(tài)過(guò)程。在直流換流站建模方面,文獻(xiàn)[43-45]建立了換流站交流側(cè)的移頻仿真模型,并設(shè)計(jì)了交流側(cè)和直流側(cè)的數(shù)據(jù)接口,實(shí)現(xiàn)了移頻仿真算法和傳統(tǒng)EMTP 算法的混合仿真。其中,直流電網(wǎng)采用EMTP 進(jìn)行仿真。上述研究將移頻技術(shù)應(yīng)用到電力系統(tǒng)的電磁暫態(tài)仿真中,緩解了仿真步長(zhǎng)和精度之間的矛盾,提升了仿真的效率,也驗(yàn)證了移頻仿真技術(shù)的有效性。未來(lái),還需繼續(xù)對(duì)電力系統(tǒng)其他設(shè)備(如柔性交流輸電系統(tǒng)(FACTS)、光伏系統(tǒng))的移頻仿真模型展開(kāi)研究。
在應(yīng)用方面,除了上述電力系統(tǒng)元件的移頻仿真建模外,部分文獻(xiàn)針對(duì)移頻仿真平臺(tái)構(gòu)建展開(kāi)研究。文獻(xiàn)[27-29]介紹了基于移頻仿真技術(shù)的仿真平臺(tái)CloudPSS,可應(yīng)用于電網(wǎng)的設(shè)計(jì)與運(yùn)行,但其目前僅支持傳統(tǒng)交流電網(wǎng)的仿真。如何對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)展,使得其支持含新能源、直流等的大規(guī)模交直流電網(wǎng)的仿真值得進(jìn)一步研究。
6.1.1 微分變換和積分變換的問(wèn)題
微分變換會(huì)放大信號(hào)中的高頻分量,使得基于微分變換的移頻仿真在仿真含高頻分量的信號(hào)(即含有多個(gè)中心頻率,非帶通信號(hào))時(shí)易出現(xiàn)精度降低的問(wèn)題。而積分變換則會(huì)放大信號(hào)中的低頻分量,基于積分變換的移頻仿真無(wú)法精確仿真含低頻分量的信號(hào)。即使仿真的信號(hào)中不含高頻分量和低頻分量,基于上述2 種變換的移頻仿真方法的精度也比基于希爾伯特變換的移頻仿真方法差。因?yàn)榛谖⒎肿儞Q和積分變換構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號(hào)中存在負(fù)頻率分量,移頻后的頻譜中將含有原信號(hào)頻率2 倍頻左右的分量,導(dǎo)致仿真誤差被放大。
6.1.2 希爾伯特變換的問(wèn)題
希爾伯特變換雖然不存在上述問(wèn)題,但利用其構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號(hào)仍然具有局限性。希爾伯特變換具有非因果特性[15-17],信號(hào)的希爾伯特變換在t=t0處的值與原信號(hào)在t>t0范圍內(nèi)的值有關(guān)。因此無(wú)法僅用原信號(hào)在t 1)電磁暫態(tài)仿真與移頻仿真的混合仿真問(wèn)題。如果需要將EMTP 與移頻仿真進(jìn)行混合仿真,需要在每個(gè)時(shí)步將接口處的EMTP 側(cè)的實(shí)數(shù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為移頻仿真中的復(fù)數(shù)信號(hào)。但是,由于希爾伯特變換的非因果性,EMTP 中實(shí)數(shù)信號(hào)對(duì)應(yīng)的希爾伯特變換后的復(fù)數(shù)信號(hào)不可知,混合仿真難以實(shí)現(xiàn)。 2)移頻仿真過(guò)程中,系統(tǒng)中出現(xiàn)開(kāi)關(guān)等動(dòng)作時(shí),復(fù)數(shù)信號(hào)的實(shí)部(原信號(hào))與虛部之間不再滿足希爾伯特變換的關(guān)系。由于希爾伯特變換存在非因果性,導(dǎo)致復(fù)數(shù)信號(hào)虛部的值與實(shí)部t>t0的值相關(guān),而t>t0的值無(wú)法預(yù)知。下面以開(kāi)關(guān)的建模為例,對(duì)此進(jìn)行進(jìn)一步說(shuō)明。 開(kāi)關(guān)可以表示為可變電阻,可變電阻的數(shù)學(xué)模型可以表示為[8]: 式中:G(t)表示電阻;i(t)表示電阻上流過(guò)的電流;u(t)表示電阻的電壓。 目前,移頻仿真均不考慮G(t)的變化,直接構(gòu)造i(t)和u(t)的復(fù)數(shù)信號(hào)為: 式中:iS(t)和uS(t)為復(fù)數(shù)信號(hào)。 實(shí)際上,開(kāi)關(guān)元件的電阻G(t)可視為一個(gè)階躍函數(shù),其頻譜G(ω)連續(xù),范圍為(?∞,+∞),如圖6 所示。式(29)的變換忽略了信號(hào)G(t)中比u(t)更高頻的部分,這會(huì)造成精度損失。 圖6 階躍函數(shù)示意圖及其頻譜Fig.6 Schematic diagram of step function and its spectrum 6.1.3 帶通信號(hào)假設(shè)失效問(wèn)題 現(xiàn)有基于希爾伯特變換的移頻仿真在推導(dǎo)的過(guò)程中,都假設(shè)信號(hào)是形如式(3)的帶通信號(hào)[14-17]。在這個(gè)前提下,由于希爾伯特變換具有調(diào)制特性,原信號(hào)經(jīng)希爾伯特變換后的信號(hào)容易求得。根據(jù)希爾伯特變換的調(diào)制特性,直接對(duì)原信號(hào)中的高頻分量部分進(jìn)行希爾伯特變換即可得到所需復(fù)數(shù)信號(hào)的虛部。但該簡(jiǎn)化的前提是A(t)和φ(t)均為低頻信號(hào)?,F(xiàn)有移頻仿真均忽略了這一假設(shè)。無(wú)論A(t)和φ(t)中是否含高頻分量,皆按上述方式構(gòu)造復(fù)數(shù)信號(hào)。在含高頻分量時(shí),這種復(fù)數(shù)信號(hào)的構(gòu)造方式已不是準(zhǔn)確的希爾伯特變換,文中將其稱為“偽希爾伯特變換”。值得注意的是,基于“偽希爾伯特變換”的移頻仿真的準(zhǔn)確性依然很高。下面對(duì)此進(jìn)行分析。 事實(shí)上,容易發(fā)現(xiàn)基于“偽希爾伯特變換”的復(fù)數(shù)信號(hào)的最大頻率與基于希爾伯特變換的復(fù)數(shù)信號(hào)的最大頻率一樣,只是基于“偽希爾伯特變換”的復(fù)數(shù)信號(hào)含有負(fù)頻率分量。當(dāng)原信號(hào)含有頻率較高的分量時(shí),其頻率范圍很寬,移頻變換過(guò)程中對(duì)頻譜移動(dòng)50 Hz 或60 Hz,對(duì)頻譜的影響很小。所以,相同步長(zhǎng)下,基于希爾伯特變換和“偽希爾伯特變換”的仿真結(jié)果很接近。如果移頻頻率選取得較大時(shí),基于“偽希爾伯特變換”的移頻仿真的精度相較基于希爾伯特變換的移頻仿真的差距較大,這是因?yàn)榛凇皞蜗柌刈儞Q”的復(fù)數(shù)信號(hào)的負(fù)頻率分量將變?yōu)楸仍盘?hào)最高頻率更高的頻率的分量。根據(jù)奈奎斯特采樣定律和數(shù)值積分方法誤差理論[8]可知,其仿真精度將會(huì)下降。 根據(jù)6.1 節(jié)的分析可以發(fā)現(xiàn),復(fù)數(shù)信號(hào)可以通過(guò)多種不同的數(shù)學(xué)變換來(lái)構(gòu)造。無(wú)論以何種方式構(gòu)造復(fù)數(shù)信號(hào),都可以進(jìn)行移頻變換,并進(jìn)行移頻仿真。事實(shí)上,復(fù)數(shù)信號(hào)的構(gòu)造與移頻變換二者解耦,復(fù)數(shù)信號(hào)的構(gòu)造方式并不影響移頻變換的實(shí)現(xiàn)。甚至直接對(duì)原信號(hào)進(jìn)行移頻變換也可以得到一種移頻仿真模型,但這樣的結(jié)果卻是需要采用比EMTP 仿真更小的仿真步長(zhǎng)才能實(shí)現(xiàn)精確仿真。另外,移頻變換時(shí)頻譜平移頻率的大小與復(fù)數(shù)信號(hào)的構(gòu)造方式也無(wú)關(guān)。 不同復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造方式的區(qū)別在于:利用不同方式構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號(hào)經(jīng)移頻變換后得到的復(fù)數(shù)包絡(luò)信號(hào)在仿真過(guò)程中的精度不一致。若復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造的方式不佳,將會(huì)影響仿真結(jié)果的精度。 考慮本文討論的移頻仿真的原理和應(yīng)用問(wèn)題,下面對(duì)移頻仿真技術(shù)及其應(yīng)用的下一步研究重點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)。 由于現(xiàn)有的復(fù)數(shù)信號(hào)的構(gòu)造方法都不完美,更加靈活且普適的復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造方法是未來(lái)的研究重點(diǎn)。尤其是如何建立具有因果性的復(fù)數(shù)信號(hào)的虛部,進(jìn)而對(duì)電力系統(tǒng)中廣泛存在的非線性元件進(jìn)行精確建模,是未來(lái)復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造研究的關(guān)鍵。微分變換和積分變換具有因果性[15-17],但基于其移頻仿真的準(zhǔn)確性不足;基于希爾伯特變換的移頻仿真準(zhǔn)確性高,但其又不具有因果性。在下一步研究中,可以考慮不同復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)建方式混合使用策略,并評(píng)估其數(shù)值準(zhǔn)確性,進(jìn)而提出兼顧因果性和準(zhǔn)確性的復(fù)數(shù)信號(hào)通用構(gòu)建方法。 文中討論的移頻仿真技術(shù)針對(duì)電壓、電流為窄帶信號(hào)的交流系統(tǒng)。但由于直流電網(wǎng)等的接入,實(shí)際電網(wǎng)往往存在諧波,且不同區(qū)域電網(wǎng)也可能存在不同時(shí)間尺度的信號(hào),這限制了單一移頻參數(shù)在實(shí)際電網(wǎng)仿真中的適用性。因此,未來(lái)需關(guān)注如何將移頻仿真技術(shù)擴(kuò)展到寬頻、多頻段信號(hào)的仿真[53-54],需要分析移頻參數(shù)與誤差之間的關(guān)系,分析如何為不同的信號(hào)選擇合適的移頻參數(shù),進(jìn)而形成兼顧仿真精度和計(jì)算效率的移頻仿真方法。具體實(shí)施時(shí),可對(duì)不同區(qū)域動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)間尺度進(jìn)行分析,優(yōu)化選擇分區(qū)對(duì)應(yīng)的移頻參數(shù)。在仿真過(guò)程中,可以利用遞歸離散傅里葉變換等技術(shù)對(duì)移頻仿真中信號(hào)的頻率進(jìn)行檢測(cè),根據(jù)信號(hào)的頻率分布對(duì)移頻參數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。 為了使移頻仿真技術(shù)能夠應(yīng)用于大規(guī)模交直流電網(wǎng)的仿真,除上述的移頻參數(shù)選擇問(wèn)題外,還亟須解決下列問(wèn)題。 1)由于移頻仿真僅適用于交流電網(wǎng)的仿真,在仿真大規(guī)模交直流電網(wǎng)時(shí),需與EMTP 聯(lián)合仿真[26,29],直流電網(wǎng)利用EMTP 方法進(jìn)行仿真。這要求準(zhǔn)確設(shè)計(jì)交流電網(wǎng)的移頻仿真、直流系統(tǒng)和新能源系統(tǒng)的EMTP 仿真之間的數(shù)據(jù)接口。值得注意的是,移頻仿真不會(huì)破壞原EMTP 的仿真框架,其實(shí)際是對(duì)EMTP 仿真的補(bǔ)充,移頻仿真在仿真交流電網(wǎng)時(shí),能夠在保證精度的前提下,極大提升仿真的效率。 2)在移頻仿真中,電氣系統(tǒng)使用的信號(hào)為復(fù)數(shù)信號(hào),控制系統(tǒng)使用的信號(hào)為實(shí)數(shù)信號(hào),因此需要準(zhǔn)確設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)模型和電氣系統(tǒng)模型之間的數(shù)據(jù)接口[23]。 3)由于系統(tǒng)的規(guī)模龐大,在程序?qū)崿F(xiàn)時(shí),傳統(tǒng)的串行實(shí)現(xiàn)方法難以達(dá)到高效仿真的要求,需要考慮如何進(jìn)行并行加速。一方面,可以利用多分區(qū)多速率移頻仿真方法進(jìn)行粗粒度并行加速;另一方面,可以利用GPU 等設(shè)備實(shí)現(xiàn)每個(gè)分區(qū)仿真的細(xì)粒度并行加速,可以基于分層有向圖等技術(shù)設(shè)計(jì)完全基于GPU 的移頻仿真算法[55-56]。 除了需要研究電力系統(tǒng)設(shè)備的移頻仿真模型外,還需加快構(gòu)建移頻仿真軟件平臺(tái)。針對(duì)移頻仿真的研究已超過(guò)10 年,但仍未見(jiàn)在工業(yè)中廣泛應(yīng)用。因此,如何進(jìn)行產(chǎn)研結(jié)合,設(shè)計(jì)移頻建模仿真軟件平臺(tái),并將該技術(shù)應(yīng)用于電力系統(tǒng)的暫態(tài)分析、安全性校驗(yàn)等領(lǐng)域,也是重要的研究方向。在具體實(shí)施過(guò)程中,還需考慮計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)層面問(wèn)題,解決諸如復(fù)數(shù)矩陣計(jì)算加速等難題,進(jìn)一步提升仿真效率。具體的,可以考慮采用高效的數(shù)學(xué)求解器(如KLU、NICSLU)對(duì)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)方程等進(jìn)行求解。 本文詳細(xì)梳理和分析了移頻仿真的關(guān)鍵技術(shù),包括復(fù)數(shù)信號(hào)的構(gòu)造、移頻變換的實(shí)現(xiàn)、仿真模型的建立,對(duì)比了各關(guān)鍵步驟中不同方法之間的區(qū)別和聯(lián)系,討論了未來(lái)移頻仿真研究的方向和重點(diǎn)。通過(guò)分析,可以得到如下結(jié)論。 1)移頻仿真中,復(fù)數(shù)信號(hào)的構(gòu)造與移頻變換之間相互解耦,互不影響。但不同的復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造方式的仿真精度將會(huì)有區(qū)別。 2)復(fù)數(shù)形式的移頻變換與矩陣形式的移頻變換是等價(jià)的,二者精度一致,但復(fù)數(shù)形式的移頻變換模型的計(jì)算效率更高。因此,建議在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)時(shí)采用復(fù)數(shù)形式的移頻變換。 3)根據(jù)移頻變換和離散化的先后順序不同,總結(jié)了4 類移頻仿真模型。其中,Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型的精度與傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真模型一致;Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度一致,高于Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型,為常用的移頻仿真模型。 4)在應(yīng)用方面,基于移頻仿真理論的交流系統(tǒng)建模與仿真已經(jīng)較為成熟。已有研究和實(shí)際應(yīng)用表明,移頻仿真技術(shù)可用于大規(guī)模交流系統(tǒng)的電磁暫態(tài)仿真[27-29],提升大規(guī)模交流系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真的效率。 未來(lái),關(guān)于移頻仿真技術(shù),還需針對(duì)以下方向繼續(xù)研究。 1)復(fù)數(shù)信號(hào)的構(gòu)造是移頻仿真的關(guān)鍵研究方向之一,尤其是如何利用具有非因果性的數(shù)學(xué)變換建立復(fù)數(shù)信號(hào)的虛部值得關(guān)注。 2)目前,移頻仿真技術(shù)主要針對(duì)含窄帶信號(hào)的交流系統(tǒng),未來(lái)需關(guān)注如何將移頻仿真技術(shù)擴(kuò)展到含寬頻、多頻段信號(hào)的交直流混聯(lián)系統(tǒng)的仿真,分析如何為不同的信號(hào)選擇合適的移頻參數(shù),形成兼顧仿真精度和計(jì)算效率的移頻仿真方法。 3)盡管移頻仿真效率較高,但在仿真大規(guī)模系統(tǒng)時(shí),仍需考慮進(jìn)一步加速,例如研究基于并行計(jì)算的移頻仿真技術(shù)。 4)為了實(shí)現(xiàn)移頻仿真技術(shù)在工業(yè)中的應(yīng)用,除了需要研究電力系統(tǒng)設(shè)備的移頻仿真模型外,還亟須加快構(gòu)建移頻仿真軟件平臺(tái)。 附錄見(jiàn)本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx),掃英文摘要后二維碼可以閱讀網(wǎng)絡(luò)全文。6.2 復(fù)數(shù)信號(hào)的構(gòu)造與移頻變換間的解耦特性
7 移頻仿真的下一步研究重點(diǎn)及建議
7.1 復(fù)數(shù)信號(hào)構(gòu)造方法方面
7.2 時(shí)空協(xié)調(diào)的移頻參數(shù)選擇方法方面
7.3 大規(guī)模電力系統(tǒng)仿真的應(yīng)用方面
7.4 移頻仿真技術(shù)的應(yīng)用方面
8 結(jié)語(yǔ)