李廣來

（華北理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210）

在穩(wěn)健估計中，是通過選用不同的權(quán)函數(shù)來排除粗差。權(quán)函數(shù)是穩(wěn)健估計的核心問題，常用的權(quán)函數(shù)有多種，如Huber函數(shù)、殘差絕對和最小函數(shù)、Tukey函數(shù)、Hampel函數(shù)、IGGI、IGGⅢ等。其中IGG方案是我國最早的權(quán)函數(shù)，對測量數(shù)據(jù)的抗差估計有較好的效果[1]。

一般使用的高程數(shù)據(jù)是正常高程，而在工程測量中GPS獲取的高程一般是WGS-84坐標(biāo)下的大地高程，兩者之間存在高程異常。所以要通過擬合的方式計算高程異常，從而換算成正常高進行使用。又由于數(shù)據(jù)采集過程中會受到周圍建筑物、衛(wèi)星信號等影響，測量數(shù)據(jù)難免會混入粗差。為此，筆者選用IGGI、IGGⅢ對含有粗差的GPS靜態(tài)數(shù)據(jù)和水準(zhǔn)數(shù)據(jù)進行高程擬合，探討IGG方案對粗差的抗性。

1 IGG方案

IGG方案是基于測量誤差的有界性提出來的，它對測量抗差估計比較有效[2]。IGG屬于之間有淘汰區(qū)的M估計，權(quán)因子之間的變化較為平緩，因此K的取值和余差值小的變化影響不大。這種估計方案充分考慮了測量數(shù)據(jù)實際情況，是一種適合處理測量誤差的抗差方案。IGG方案把數(shù)據(jù)分為三部分。1）當(dāng)觀測值無粗差時，用最小二乘即可得到最優(yōu)解；2）當(dāng)測值超出一定的范圍時，采用降權(quán)估計；3）當(dāng)個別觀測值明顯異常時，采用淘汰法估計（零權(quán)估計）。

1.1 IGGI方案

1.2 IGGⅢ方案

我國最早出現(xiàn)的相關(guān)等價權(quán)函數(shù)，是楊元喜在周江文IGG方案下擴充提出的IGGⅢ方案[1]。

在IGGⅢ方案中關(guān)鍵在于權(quán)函數(shù)的選取，不同權(quán)函數(shù)對IGGⅢ的影響如圖1所示。

圖1 權(quán)函數(shù)曲線圖

1.3 選權(quán)迭代法

在穩(wěn)健估計處理粗差過程中，關(guān)鍵在于穩(wěn)健權(quán)陣的選擇，一般應(yīng)用最多的方法是選權(quán)迭代法[3]。選權(quán)迭代一般就是改變權(quán)重然后不斷迭代，在每次迭代平差中，改變的是使含有粗差的觀測值的權(quán)逐次減少，最后把粗差的權(quán)趨于零來達到剔除粗差的目的[4]。選權(quán)迭代也是MATLAB進行仿真實驗的關(guān)鍵思路，選權(quán)迭代的一般處理過程如下[5]。

1）列誤差方程，令各權(quán)因子初值為1，即令w1=w2=…wn=1（w為穩(wěn)健權(quán)陣），p=I（p為觀測權(quán)陣）[2]。

3）重復(fù)1）、2）構(gòu)造新的穩(wěn)健權(quán)陣，依次迭代直到前后每個改正數(shù)的差值小于規(guī)定的閾值，迭代終止。

2 技術(shù)設(shè)計流程圖

本研究的技術(shù)路線大致為數(shù)據(jù)采集、MATLAB虛擬仿真、數(shù)據(jù)分析，詳細過程如圖2所示。

圖2 技術(shù)設(shè)計流程圖

3 高程擬合

由于我國使用的是正常高系統(tǒng)，而GPS高程大部分是在WGS-84坐標(biāo)下的大地高，無法正常使用，所以要對GPS測得數(shù)據(jù)進行擬合[6]，高程擬合中各個曲面的對應(yīng)關(guān)系如圖3所示。

圖3 高程擬合示意圖

似大地水準(zhǔn)面沿鉛垂線方向至參考橢球面的距離稱為高程異常[7]，一般用δ來表示。

式中：H為大地高，Hr為正常高，δ為高程異常。

目前高程擬合常用的方法有曲面擬合、多面函數(shù)法、樣條插值法等，在本研究中選用二次曲面擬合，曲面擬合回歸分析中一種最常用的方法，而且在實際測量數(shù)據(jù)處理中廣泛應(yīng)用。對于高程擬合來說，一般采取一次、二次、三次曲面擬合，曲面擬合次數(shù)的選取要以實際問題為主，具體問題具體分析[8]。在高程變化大的區(qū)域，擬合次數(shù)過小則難以表達區(qū)域高程的變化；在高程變化小的區(qū)域，擬合次數(shù)過大則會導(dǎo)致最后數(shù)據(jù)冗余，而結(jié)果和擬合次數(shù)小的差別不大[9]。

曲面擬合方程的一般形式為一次擬合、二次擬合、三次擬合。

本例中以二次擬合為例，誤差方程如下：

對于二次擬合要求6個系數(shù)，1個已知點可列1個方程，所以至少6個已知點，聯(lián)立（10）、（11）式，由系數(shù)矩陣B和常數(shù)項L，即可求解擬合系數(shù)。

4 實例驗證與精度分析

本例選用華北理工大學(xué)測區(qū)內(nèi)靜態(tài)GPS測量數(shù)據(jù)，同時在這些點上聯(lián)測了二等水準(zhǔn)。

本次實驗共測了17個GPS點，其中選取15個點進行高程擬合實驗，另外選取5個點進行最后擬合系數(shù)的驗證，說明IGGI、IGGⅢ擬合回歸方程的正確性。本例中，選擇曲面二次擬合，對測區(qū)進行高程擬合實驗。測區(qū)選點的原則：1）本研究選擇的是二次曲面擬合模型，該模型有6個未知點，一個已知點可建立一個誤差方程，所以至少需要6個聯(lián)測點的坐標(biāo)才可求解參數(shù)。2）因為地球不是一個規(guī)則的曲面，地面高低起伏，不同地區(qū)的高程異常也不一樣，因此選點盡可能地要包圍整個測區(qū)，如圖4所示。靜態(tài)GPS和水準(zhǔn)原始數(shù)據(jù)如表1所示。

圖4 測區(qū)點位選擇圖

表1 靜態(tài)GPS和水準(zhǔn)原始數(shù)據(jù)

4.1 IGGⅠ方案和IGGⅢ的橫向?qū)Ρ?/h3>

對于IGGI、IGGⅢ方案，都令K0=1.5、K1=2.5，比較IGGI、IGGⅢ方案對粗差的抗性程度。IGGI、IGGⅢ收斂速度對比如圖5所示。

從圖5中的折線變化趨勢可以看出，IGGI方案一共迭代了8次，從第7次后中誤差趨于穩(wěn)定。IGGⅢ方案一共迭代了6次，從第4次后中誤差趨于穩(wěn)定。可以看出，IGGⅢ方案比IGGI方案迭代次數(shù)更少、收斂速度更快，而且最后穩(wěn)定的中誤差基本相同。表明IGGⅢ方案比IGGI方案在速度上更有優(yōu)勢，在后面的數(shù)據(jù)對比中，選用IGGⅢ方案。

圖5 IGGI、IGGⅢ收斂速度對比圖

4.2 IGGⅢ的縱向?qū)Ρ?/h3>

對于IGGⅢ來說，通過改變不同的K值，測試在不同K值下的抗差估計效果。K值對于IGGⅢ來說相當(dāng)于閾值，閾值越小，對粗差的門限越小，粗差剔除也會相對越快，但是也有可能剔除掉偶然誤差。IGGⅢ中不同K值結(jié)果對比如表2所示。

表2 IGGⅢ中不同K值結(jié)果對比

從上表可以看出，隨著K0、K1取值的不同，即閾值從小到大，迭代次數(shù)依次增加，中誤差也逐漸減小。雖然閾值越小迭代速度變快，但是可能會剔除錯誤，導(dǎo)致最后擬合效果變差。所以要具體情況具體分析，選擇合適的閾值。

4.3 最小二乘和IGGⅢ方案的對比

驗證最小二乘和IGGⅢ方案對抗差的不同效果，選取5個控制點作為檢驗點，檢驗點數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 檢查點數(shù)據(jù)

通過用擬合出二次項的系數(shù)，來計算新的高程異常值和原來的高程異常之間的差異。最小二乘和IGGⅢ結(jié)果對比如表4所示，而最小二乘擬合和IGGⅢ收斂速度對比如圖6所示。

圖6 最小二乘擬合和IGGⅢ收斂速度對比圖

表4 最小二乘和IGGⅢ結(jié)果對比

本研究中利用MATLAB 2016a對IGGⅢ擬合的平面和最小二乘擬合的平面在三維空間中進行顯示，并進行曲面對比，如圖7、圖8、圖9所示。即可以從曲面的趨勢走向來直觀展示兩者之間的差異。

圖7 最小二乘高程擬合曲面圖

圖8 IGGⅢ高程擬合曲面圖

圖9 最小二乘和IGGⅢ高程擬合對比圖

從圖7、圖8、圖9中可以看出，對于含有粗差的數(shù)據(jù)，用典型的最小二乘法擬合，計算時誤差平均分配，從而導(dǎo)致擬合出新的高程異常和原來的高程異常差值較大；而用IGGⅢ方案擬合的高程，對誤差進行了降權(quán)處理，擬合出的高程異常和原來的差值較小。

5 結(jié)論

筆者采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差的方法構(gòu)建IGGI和IGGⅢ權(quán)函數(shù)，第一種在IGGI和IGGⅢ中都取K0=1.5、K1=2.5，第二種在IGGⅢ權(quán)函數(shù)中取K0=1、K1=3，分別對GPS靜態(tài)測量和水準(zhǔn)聯(lián)測的數(shù)據(jù)進行高程擬合。通過實驗分析可以看出，IGGI和IGGⅢ都對含有粗差的數(shù)據(jù)有較好的抗性，IGGⅢ比IGGI抗差效果更好；在IGGⅢ中對于K值的選取，應(yīng)根據(jù)具體問題具體分析，對數(shù)據(jù)要求高時減小閾值，反之加大閾值。在日常的基礎(chǔ)測量工作中，粗差不可避免地會混入其中，而高程擬合又在實際測量工作中十分普遍，采用IGGⅢ方案可以很好地處理粗差。所以IGGⅢ不僅在高程擬合中，而且在所有包含粗差的測量數(shù)據(jù)處理中，都有很強的實用價值。