韓小波

（南京市溧水第三高級中學(xué)，江蘇 南京 211200）

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，并明確指出，在教學(xué)活動中，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握課程目標(biāo)、課程內(nèi)容和學(xué)業(yè)質(zhì)量的要求，合理設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，通過相應(yīng)的教學(xué)設(shè)施，結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，在學(xué)生掌握知識技能的同時，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。

二、“根式”教學(xué)設(shè)計

以下教學(xué)內(nèi)容選自蘇教版高一《數(shù)學(xué)》必修一第二章第二節(jié)“指數(shù)函數(shù)”的第一課時。

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

“根式”是指數(shù)函數(shù)的第一課時，它對學(xué)生理解指數(shù)運(yùn)算知識有著非常重要的意義，可以為后續(xù)指對數(shù)的逆運(yùn)算打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。這一課時的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解根式的意義和根式的性質(zhì)。

（二）確立教學(xué)目標(biāo)

目標(biāo)一：教師通過細(xì)胞分裂和經(jīng)濟(jì)發(fā)展十年翻一番等實(shí)例，引出這章節(jié)的主要內(nèi)容，讓學(xué)生聯(lián)想方根的概念，感受乘方與開方的互逆關(guān)系。

目標(biāo)二：教師通過平方根、立方根的復(fù)習(xí)，引入四次方根、五次方根的定義，進(jìn)而推出n次方根的定義，得出根式的概念。學(xué)生從類比猜想到數(shù)學(xué)表達(dá)，體會用乘方定義開方，用乘方運(yùn)算完成開方運(yùn)算的過程，為后期函數(shù)的學(xué)習(xí)做鋪墊。

（三）學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段學(xué)過平方根、立方根，所以對開方有一定的認(rèn)識，并且知道正數(shù)有兩個平方根，負(fù)數(shù)只有立方根，但對根式的概念比較模糊。

（四）教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)一：情境引入

引例一：細(xì)胞分裂時，每次每個細(xì)胞會分裂成2個細(xì)胞，也就是說，第一次分裂時，1個細(xì)胞會分裂成2個細(xì)胞；第二次分裂時，2個細(xì)胞會分裂成4個細(xì)胞；第三次分裂時，4個細(xì)胞會分裂成8個細(xì)胞……假設(shè)第x次分裂會得到y(tǒng)個細(xì)胞，那么細(xì)胞個數(shù)y與次數(shù)x之間有何關(guān)系？

“根式”是學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的第一步，此例旨在向我們介紹生活中存在的不同變量關(guān)系，以及我們要學(xué)習(xí)的新函數(shù)——指數(shù)函數(shù)，這是對函數(shù)概念和性質(zhì)的進(jìn)一步研究、深化與擴(kuò)展。

引例二：鄧小平同志提出中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展“三步走”方針：第一步，從1981年到1990年，國民生產(chǎn)總值翻一番，解決人民的溫飽問題；第二步，從1991年到20世紀(jì)末，國民生產(chǎn)總值再翻一番，人民生活達(dá)到小康水平；第三步，到21世紀(jì)中葉，人均國民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平，人民生活比較富裕，基本實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代化。

這里涉及一個數(shù)學(xué)問題：“十年翻一番，平均每年要增長多少呢？”假設(shè)每年平均增長量為p，1981年的國民生產(chǎn)總值記作1，則有（1+p）10=2，1+p叫作底數(shù)，10是指數(shù)，2是冪，如何求p呢？教師應(yīng)該提出數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，即當(dāng)x10=2時，如何求出x？

環(huán)節(jié)二：問題驅(qū)動，回憶過往

問題一：（1）若x2=2，則x=（2）若x3=2，則x=

（3）5的平方根是_____（4）-3的立方根是____

以上問題是平方根、立方根的兩種表述，學(xué)生由此回憶出平方根、立方根的定義，再通過平方和立方的定義，理解平方根和立方根的含義。

當(dāng)學(xué)生回憶平方根、立方根的定義及相關(guān)知識時，教師可以用投影給出追加問題。

追加問題意義在于讓學(xué)生充分理解根式的概念。

環(huán)節(jié)三：問題驅(qū)動，類比延伸

問題二：（1）若x4=16，則x=（2）若x4=7，則x=

基于平方根、立方根的定義，學(xué)生能夠類比出四次方根的定義，即用乘方定義開方。給出追加問題。

（3）16的四次方根是____（4）7的四次方根是____

利用追加問題進(jìn)一步理解方根的運(yùn)算是如何利用乘方運(yùn)算完成的。

再次理解根式的概念，只有正數(shù)才有偶次方根，負(fù)數(shù)沒有偶次方根。

問題三：（1）若x5=-32，則x=（2）若x5=9，則x=

用前面的思路進(jìn)一步定義五次方根。

（3）-32的五次方根是____（4）9的五次方根是___

再次理解根式的概念及五次方根的表示方式，利用乘方運(yùn)算完成開方運(yùn)算。

思考：若xn=a（n≥2且n∈N），則x=

教師讓學(xué)生總結(jié)出n次方根的定義。給出追加問題。

（1）36的六次方根是___（2）（-2）7的七次方根是___

旨在鞏固n次方根，理解方根的運(yùn)算仍然通過乘方運(yùn)算來完成。

環(huán)節(jié)四：連鎖問題，構(gòu)建新知

教師提出根式的概念。

思考：n次方根和根式的區(qū)別與聯(lián)系

三、教學(xué)啟示

（一）吃透教材，理解教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要是通過n次方根理解根式的意義，雖然內(nèi)容簡單，但其蘊(yùn)含的道理很深。本課運(yùn)用了乘方思想定義開方，又運(yùn)用了乘方運(yùn)算完成開方運(yùn)算，讓學(xué)生認(rèn)識到乘方和開方是逆運(yùn)算，正如加、減，乘、除運(yùn)算一樣，為后續(xù)對數(shù)的學(xué)習(xí)與運(yùn)算做了很好的鋪墊。在課堂教學(xué)中，教師通過一系列問題引發(fā)學(xué)生思考和探究，將學(xué)生的思維引向深處。本節(jié)課的知識脈絡(luò)如圖所示。

（二）精心設(shè)計

要想提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，教師應(yīng)結(jié)合結(jié)果性知識與過程性知識的講解。數(shù)學(xué)教師要摒棄傳統(tǒng)的“灌輸式”教學(xué)，通過精心設(shè)計，將知識的形成和發(fā)展過程呈現(xiàn)給學(xué)生，帶領(lǐng)學(xué)生分析各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系、延伸思路，將蘊(yùn)含在教學(xué)內(nèi)容中的核心素養(yǎng)提煉出來，再滲透給學(xué)生。

本節(jié)課蘊(yùn)含了兩個核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理。在核心素養(yǎng)的落實(shí)上，教師的引導(dǎo)極其重要。在教學(xué)前，教師需要思考：課堂教學(xué)的“四基”體現(xiàn)在知識發(fā)生、發(fā)展的過程，可以提出解決問題的思想方法；“四能”體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程，離不開知識性任務(wù)的學(xué)習(xí)，然后達(dá)到“三會”。在教學(xué)過程中，教師要啟發(fā)學(xué)生主動提出問題，這既是重要的研究方法，又是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的重要契機(jī)。教師需要及時追問、反問學(xué)生是否還有其他的想法，鼓勵學(xué)生敢于質(zhì)疑。這種理性的意識、縝密的思維、質(zhì)疑的精神是教書育人的本質(zhì)所在。最后，教師要讓學(xué)生學(xué)會小結(jié)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。學(xué)生核心素養(yǎng)的提升需要我們用心、用情、用智慧，守正篤實(shí)，久久為功。