涂昆 蘇怡穎 曹汐

摘要：在科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展的今天，各種各樣的教學(xué)輔助用具走入了課堂，增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（augmented reality，AR）技術(shù)同樣能應(yīng)用于教學(xué)。該文主要以較為抽象的復(fù)變函數(shù)為例，利用Mathematica軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)的可視化，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，增強(qiáng)教師課堂教學(xué)的效果。在未來(lái)研究中，AR技術(shù)應(yīng)更加深入教學(xué)，形成良好的課堂交互環(huán)境，引領(lǐng)課堂教學(xué)的新方向。

關(guān)鍵詞：增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)? 復(fù)變函數(shù)可視化? 傳統(tǒng)教學(xué)? 數(shù)學(xué)教育? Mathematica

中圖分類號(hào)：O174.5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2021）02（a）-0222-04

The application of AR technology in mathetical teaching via several examples of complex function

TU Kun*? SU Yiying? CAO Xi

（College of Mathematical Science， Yangzhou University，Yangzhou， Jiangsu Province， 225002 China）

Abstract： In today's continuous development of science and technology， a variety of teaching aids into the classroom， AR （augmented reality） technology can also be applied to teaching. This paper mainly uses the more abstract complex function as an example， uses Mathematica software to realize the visualization of the complex function， deepens the students' understanding of knowledge， and enhances the effect of teachers' classroom teaching. In the future research， AR technology should be more in-depth teaching， form a good classroom interaction environment， leading the new direction of classroom teaching.

Key Words： Augmented reality; Visualization of the complex function; Traditional teaching; Mathematical education; Mathematica

1? 傳統(tǒng)教學(xué)方式及其局限

在現(xiàn)有認(rèn)知里，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)主要是老師借助黑板、多媒體等教學(xué)工具對(duì)學(xué)生進(jìn)行一對(duì)多的教學(xué)，雖然這是普遍的一種教學(xué)方式，但隨著時(shí)代的發(fā)展，這存在一定局限。從學(xué)生層面來(lái)看，傳統(tǒng)的教學(xué)不利于學(xué)生的沉浸感，對(duì)于一些晦澀難懂的知識(shí)沒有直觀的體驗(yàn)。比如，涉及到三維立體方面的學(xué)習(xí)，需要學(xué)生們擁有良好的空間感以及想象能力，現(xiàn)有的教學(xué)工具或許并不能很好地展現(xiàn)一個(gè)三維立體圖形，這樣對(duì)于學(xué)生們來(lái)說(shuō)，對(duì)知識(shí)的理解就較為生澀;再比如一些復(fù)雜的函數(shù)，圖像的難以精確繪制也會(huì)使學(xué)生對(duì)于一些數(shù)學(xué)問題的理解出現(xiàn)偏差。

AR技術(shù)是當(dāng)下發(fā)展的熱門，是一種將虛擬信息與真實(shí)世界融合的技術(shù)，將計(jì)算機(jī)生成的圖像、音樂、視頻、文字、三維模型等虛擬信息模擬仿真后，應(yīng)用到真實(shí)的世界中去，這兩種信息相輔相成，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)的“增強(qiáng)”[1]。如果可以把AR技術(shù)很好地融入教學(xué)中，那將會(huì)極大提高教學(xué)質(zhì)量以及學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)的興趣。

2? 增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)的特性與教育潛力

在科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展的今天，傳統(tǒng)的教育方式已無(wú)法滿足日漸提高的教育要求，黑板、投影儀等平面設(shè)備限制了教學(xué)場(chǎng)景的多樣性，而AR技術(shù)將平面延伸，模擬難以講解的教學(xué)場(chǎng)景，展現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活里難以觀察到的自然現(xiàn)象或事物變化的過程。AR可以被定義為一個(gè)滿足三個(gè)基本特征的系統(tǒng)：真實(shí)世界和虛擬世界的融合、實(shí)時(shí)交互以及真實(shí)物體和虛擬物體在3D空間中的精確注冊(cè)[2]。

在教育領(lǐng)域中，盡管基于AR技術(shù)的虛擬學(xué)習(xí)環(huán)境仍然是一個(gè)處于初步發(fā)展的新生事物，但它的部分特征與某些教育理論上的觀點(diǎn)較為一致。行為主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是刺激和反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，而行為是學(xué)習(xí)者對(duì)環(huán)境刺激所做出的反應(yīng)。關(guān)于學(xué)校教育實(shí)踐方面，行為主義學(xué)習(xí)理論要求為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種最佳的學(xué)習(xí)環(huán)境，在AR技術(shù)的作用下，學(xué)習(xí)者與環(huán)境交流互動(dòng)，可以得到即時(shí)的反饋結(jié)果，并由此決定下一步操作，從而建立起知識(shí)與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)。另外，心理學(xué)家讓·皮亞杰的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論中，把幫助學(xué)生構(gòu)建有意義的情境創(chuàng)設(shè)問題看作是教學(xué)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容之一，而AR虛擬學(xué)習(xí)環(huán)境包含了豐富的表現(xiàn)場(chǎng)所與建構(gòu)工具包，可以幫助學(xué)生更好地獲取知識(shí)[3]。

AR技術(shù)在教學(xué)的應(yīng)用上有許多引人注目的優(yōu)點(diǎn)，比如：

（1）將抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容可視化、形象化。

（2）支持泛在環(huán)境下的情境式學(xué)習(xí)。

（3）提升學(xué)習(xí)者的直覺性和專注度。

（4）使用自然方式交互學(xué)習(xí)對(duì)象。

（5）將正式學(xué)習(xí)和非正式學(xué)習(xí)充分結(jié)合[2]。

3? 在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 初等函數(shù)的可視化

初等復(fù)變函數(shù)是實(shí)變量初等函數(shù)在復(fù)數(shù)域上的推廣，由于初等復(fù)變函數(shù)涉及四維空間，難以想象出具體的函數(shù)圖像，所以借助可視化來(lái)使其圖像具體化，更便于之后進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。在此，我們利用Mathematica軟件實(shí)現(xiàn)圖像可視化[5]，具體的例子如下。

3.1.1 復(fù)變指數(shù)函數(shù)

形如的函數(shù)稱為復(fù)變指數(shù)函數(shù)。

復(fù)變指數(shù)函數(shù)的圖像如圖1所示。

代碼如下：

3.1.2 復(fù)變對(duì)數(shù)函數(shù)

形如 的函數(shù)稱為復(fù)變對(duì)數(shù)函數(shù)。

復(fù)變對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像如圖2所示。

代碼如下：

3.1.3 復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)

下面就以最簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)為例：

復(fù)變正弦函數(shù)的圖像如圖3所示。

代碼如下：

3.2 多連通區(qū)域的積分

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域D，在其中任意作一條簡(jiǎn)單的連續(xù)閉曲線，如果曲線的內(nèi)部都含于D，則是單連通區(qū)域。而多連通區(qū)域就是指非單連通區(qū)域，多連通區(qū)域D上的解析函數(shù)的變上限積分不僅依賴于z，還依賴于積分路徑和函數(shù)關(guān)于洞是否恰當(dāng)。

例題：

在圓環(huán)，（其中，），在D內(nèi)解析，現(xiàn)在D內(nèi)取兩點(diǎn)為、，連接兩點(diǎn)的曲線為C1、C2，求在這兩條路徑上的積分是否相同？

解：

設(shè)輔角為，則另一個(gè)輔角為

假設(shè)，其中r為z的模，為輔角，則

則

同理，

由此可見，當(dāng) 不等于 時(shí)，函數(shù) 在兩條路徑上的積分不相等。

即，該函數(shù)此時(shí)具有多值性。

上述解法為常規(guī)計(jì)算方法，從理論上推導(dǎo)出了多連通區(qū)域上的函數(shù)積分具有多值性，而借助Mathematica軟件則可直接繪出圖像，更直觀更容易地看出其具有多值性。

如圖4可見：

由此可見，當(dāng)不等于時(shí)，函數(shù)在兩條路徑上的積分不相等。

即，該函數(shù)此時(shí)具有多值性。

上述解法為常規(guī)計(jì)算方法，從理論上推導(dǎo)出了多連通區(qū)域上的函數(shù)積分具有多值性，而借助Mathematica軟件則可直接繪出圖像，更直觀更容易地看出其具有多值性。

如圖4可見：

代碼如下：

4? AR技術(shù)的局限性

4.1 技術(shù)不完善

雖然AR技術(shù)已經(jīng)有了一定的發(fā)展基礎(chǔ)，但目前仍主要應(yīng)用于工業(yè)市場(chǎng)，由于技術(shù)瓶頸未能得到突破，導(dǎo)致此技術(shù)還不能完全走入大眾消費(fèi)市場(chǎng)。具體的技術(shù)瓶頸如終端計(jì)算能力、物體的深度信息及低分辨率的顯示技術(shù)等等，這些都還有待解決和突破。

4.2 對(duì)移動(dòng)終端過于依賴

移動(dòng)終端的性能對(duì)于AR技術(shù)是否能夠在移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)上實(shí)現(xiàn)廣泛的應(yīng)用至關(guān)重要[6]。如果移動(dòng)終端的性能不足以滿足AR技術(shù)的應(yīng)用要求，那將會(huì)對(duì)AR技術(shù)的推廣起到一定的限制作用[7]。

4.3 教師實(shí)際需求與AR技術(shù)專業(yè)產(chǎn)品的脫節(jié)

一方面由于技術(shù)限制，許多教師難以結(jié)合自身教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行自主AR技術(shù)的開發(fā)，需要更多易理解、易操作、易實(shí)現(xiàn)的AR產(chǎn)品研發(fā)出來(lái)方便教師使用。另一方面，在短期內(nèi)，專業(yè)技術(shù)公司所提供的教學(xué)產(chǎn)品與教師的實(shí)際教學(xué)也需要不斷磨合，現(xiàn)有的AR產(chǎn)品往往也不適用，不能很好地對(duì)應(yīng)教學(xué)內(nèi)容。

5? 結(jié)語(yǔ)

雖然AR技術(shù)應(yīng)用于教學(xué)仍然處于初步階段，但隨著目前大數(shù)據(jù)時(shí)代的發(fā)展以及人們對(duì)于這項(xiàng)技術(shù)的需求，我們有理由相信在未來(lái)的某一天，通過不斷發(fā)揮AR技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，AR技術(shù)于教學(xué)的應(yīng)用會(huì)被推廣并且為大眾所接受，為教育行業(yè)帶來(lái)一場(chǎng)深遠(yuǎn)的革命。

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