郭磊磊 奚卉 洪有財(cái) 陳小星 王鳳才

（1.第七一五研究所，杭州，310023；2.青島理工大學(xué)，青島，266033）（3.西安交通大學(xué)，西安，710049）

長期以來國內(nèi)的高精尖軸承的使用很大程度上都依賴從國外進(jìn)口[1]，關(guān)于滾動(dòng)軸承的研究與西方發(fā)達(dá)國家相比仍處于相對(duì)落后狀態(tài)，特別是軸承制造裝配過程中的一些參數(shù)（軸與軸承內(nèi)圈的過盈量、軸承內(nèi)部游隙、軸承外圈與箱體的間隙等）一直沿用國外的標(biāo)準(zhǔn)，但對(duì)這些參數(shù)的機(jī)理并不清楚。

近年來發(fā)展的有限元在復(fù)雜結(jié)構(gòu)求解方面具有很大的優(yōu)勢，但涉及軸承內(nèi)部游隙以及間隙的問題，卻鮮有文章利用有限元工具分析，其中一個(gè)重要的原因是在引入游隙和間隙后，在滾動(dòng)體無附加約束時(shí)，容易產(chǎn)生剛體位移。文獻(xiàn)[2]提出對(duì)滾動(dòng)體施加切向約束的邊界條件以消除剛體位移。該方法被很多學(xué)者借鑒學(xué)習(xí)并采用，但這卻犧牲了求解的精度甚至正確性。文獻(xiàn)[3]為消除剛體位移，對(duì)滾動(dòng)體用彈簧單元約束，某種程度上消除了剛體位移，用接地軟彈簧來約束滾動(dòng)體，與系統(tǒng)剛度相比彈簧剛度應(yīng)該小到可以被忽略，以確保對(duì)求解不會(huì)產(chǎn)生影響。但彈簧剛度取值大小需反復(fù)的實(shí)驗(yàn)，對(duì)于復(fù)雜問題求解仍然有很大的困難。另外還有一些學(xué)者提出動(dòng)力學(xué)求解[4-5]，慣性作用可以阻止剛體運(yùn)動(dòng)，即克服剛體運(yùn)動(dòng)的一種選擇是動(dòng)態(tài)求解。這需要加上質(zhì)量和阻尼使求解從靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)，但要緩沖掉不想要的動(dòng)態(tài)影響很不容易，另外這種方法求解效率也比較低。還有一些學(xué)者提出在恰好碰上的位置上建立幾何模型[6-7]，但對(duì)于位置不確定或表面是曲面及不規(guī)則的面，這樣求解仍然很難進(jìn)行下去；另外，由于有限元網(wǎng)格修整，仍不可避免存在間隙和小侵入，求解同樣難以進(jìn)行下去[8]。

本文基于有限元方法，利用遠(yuǎn)距離局部坐標(biāo)對(duì)目標(biāo)物體進(jìn)行約束，通過增加遠(yuǎn)距離局部坐標(biāo)與目標(biāo)物體的距離，提高求解精度。

1 遠(yuǎn)距離極坐標(biāo)約束方法

如圖1 所示，R為球體或圓柱體半徑，λ為球體或圓柱體與接觸平臺(tái)的間隙，D為球心O1距局部坐標(biāo)系原點(diǎn)O的距離，α為N1O連線與極坐標(biāo)軸X的夾角，β為N2的連線與極坐標(biāo)軸X的夾角，F(xiàn)為施加到球體上的外力。邊界條件：（1）將整個(gè)球體（或球體上任意兩點(diǎn)）周向約束于局部極坐標(biāo)系，則α和β值將保持不變（即切向約束）；（2）將平臺(tái)兩端施加全約束；（3）球體上施加如圖1 所示的力F。

圖1 極坐標(biāo)約束示意圖

通過改變距離D（可以通過改變局部坐標(biāo)系的位置），則接觸平臺(tái)的法向接觸的合力F1將逐漸變大，最終與F趨于相同，而球體和平面的接觸力也逐漸與理論解相同。當(dāng)λ發(fā)生變化時(shí)，極坐標(biāo)約束球體（被約束目標(biāo)物體）上的角度坐標(biāo)保持不變。根據(jù)幾何關(guān)系，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)之間的相對(duì)距離必然發(fā)生變化，從而在內(nèi)部剛度矩陣K的作用下，產(chǎn)生一定的內(nèi)應(yīng)力，從而反抗λ的變化，實(shí)現(xiàn)在靜態(tài)計(jì)算中被約束目標(biāo)軟著陸，達(dá)到求解的目的。內(nèi)應(yīng)力不是物理真實(shí)存在的，而是由于該計(jì)算方法所帶來的附加影響，但通過增大極坐標(biāo)與目標(biāo)物體之間的距離D，能夠降低內(nèi)應(yīng)力的影響，最終將求解精度控制在一定的誤差范圍內(nèi)。根據(jù)圣維南原理，極坐標(biāo)在接觸平臺(tái)兩端產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力對(duì)接觸區(qū)域的影響將會(huì)很小，這樣可提高求解精度。

2 軸承滾動(dòng)體的約束

如圖2 所示，軸承滾動(dòng)體約束分為滾動(dòng)體無約束和有約束兩種情況。前者分為軸承內(nèi)部有游隙和無游隙兩種情況。滾動(dòng)體有約束（全局坐標(biāo)周向約束），無論有游隙還是無游隙，均容易產(chǎn)生剛性位移，一般求解均不能收斂。因此按照周向約束（切向約束）以及遠(yuǎn)距離局部極坐標(biāo)約束來分類。本文討論全局坐標(biāo)周向約束和遠(yuǎn)距離局部坐標(biāo)兩種方法。

圖2 軸承滾動(dòng)體約束分類

2.1 全局坐標(biāo)周向約束

全局坐標(biāo)周向約束為利用圓柱極坐標(biāo)將軸承內(nèi)部滾動(dòng)體約束至軸承的幾何中心上（即圓柱坐標(biāo)下，約束滾動(dòng)體節(jié)點(diǎn)的極角，在圓柱坐標(biāo)下可設(shè)為UY，下同），只允許滾動(dòng)體在徑向發(fā)生彈性變形，以防止?jié)L動(dòng)體在靜力學(xué)分析中產(chǎn)生剛體位移。但這種約束方法本身存在一定的缺陷，因?yàn)橥饬ψ饔糜谕馊r(shí)，外圈將力傳遞到滾動(dòng)體上。而滾動(dòng)體在力的作用下，其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)將沿全局坐標(biāo)系原點(diǎn)和它們?cè)恢玫倪B線運(yùn)動(dòng)，這樣各節(jié)點(diǎn)上的力很大程度上因UY的約束而消耗掉，這與滾動(dòng)體真實(shí)的結(jié)果會(huì)有很大不同。根據(jù)圖3 可知，由于軸承的變形前后的長度OO′遠(yuǎn)小于軸承的幾何尺寸，因此sinθ較小，故滾動(dòng)體與內(nèi)圈接觸力在法向的分力應(yīng)接近于滾動(dòng)體與外圈接觸力，即Qeq=Qiq，見圖4。但經(jīng)有限元計(jì)算發(fā)現(xiàn)，滾動(dòng)體與內(nèi)圈接觸力小于外圈與滾動(dòng)體約束力，如圖5 所示。這與實(shí)際情況明顯不符。

圖3 單個(gè)軸承受力分析圖

圖4 軸承單個(gè)滾動(dòng)體受力示意圖

圖5 單個(gè)軸承外圈及內(nèi)圈與滾動(dòng)體接觸力對(duì)比

2.2 遠(yuǎn)距離極坐標(biāo)約束

在圖6 中，NJP3226 軸承的每個(gè)滾動(dòng)體都建立了一個(gè)局部極坐標(biāo)系，坐標(biāo)系位置為沿滾動(dòng)體中心到坐標(biāo)原點(diǎn)的射線上，其中各個(gè)滾動(dòng)體與其對(duì)應(yīng)的局部極坐標(biāo)系的距離為L。局部極坐標(biāo)為圓柱坐標(biāo)系，共有X、Y、Z 三個(gè)坐標(biāo)。其中X坐標(biāo)表示徑向距離ρ，Y坐標(biāo)表示方位角θ，Z與直角坐標(biāo)系等值。NJP3226 軸承共14 個(gè)滾動(dòng)體，因此建立14 個(gè)局部極坐標(biāo)系，并將滾動(dòng)體上節(jié)點(diǎn)的方位角θ約束在對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)系上。其他的邊界條件參考第3 節(jié)有限元分析。

圖6 局部坐標(biāo)系建立示意圖

3 有限元分析

3.1 滾動(dòng)軸承有限元模型

以NJP3226 軸承為求解對(duì)象[9]，該圓柱滾動(dòng)體軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 NJP3226 軸承尺寸參數(shù)

圖7 為有限元模型，各實(shí)體均采用solid185 單元，軸承材料采用GCr15，額定工作載荷為30 kN，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3。邊界條件：

圖7 軸承有限元網(wǎng)格劃分模型

（1）內(nèi)圈內(nèi)表面全約束；

（2）將滾動(dòng)體分別采用不同的約束方法分析；

（3）將額定載荷等效為Fr=24 kN 分布于外圈外表面的余弦載荷（分布范圍為：-82.8°≤θ≤ 82.8°）。載荷分布見圖8。

圖8 載荷分布所在曲面視圖

設(shè)余弦分布載荷為

其中，D=250 mm，C=80 mm，β=82.8°。代入方程解得A=1.68。則施加的余弦分布載荷為

3.2 結(jié)果分析

多體部件發(fā)生面對(duì)面接觸時(shí)，以滾動(dòng)體為接觸面，內(nèi)外圈滾道表面為目標(biāo)面。各接觸對(duì)中，設(shè)置摩擦因數(shù)為0.2，法向接觸剛度因子為0.7，接觸公式使用罰函數(shù)。計(jì)算結(jié)果如圖9 所示。由圖可知，當(dāng)局部坐標(biāo)系原點(diǎn)在滾動(dòng)體中心時(shí)，內(nèi)圈沒有接觸力作用；而當(dāng)局部坐標(biāo)原點(diǎn)距離逐漸遠(yuǎn)離整體坐標(biāo)系中心時(shí)，內(nèi)圈所受接觸力逐漸增大，最后該應(yīng)力趨近于確定值。同時(shí)外圈與滾動(dòng)體的接觸力不隨局部坐標(biāo)系距離的遠(yuǎn)近而變化。這是由于外力直接作用于外圈，而外圈并沒有受到約束干擾，因此其受到的接觸力不會(huì)因?yàn)榫植孔鴺?biāo)距幾何中心距離的變化而變化。因此合理調(diào)節(jié)局部坐標(biāo)距滾動(dòng)體中心的距離能夠提高求解精度，并能夠保證求解的收斂性。

圖9 滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸力隨距離的變化

4 理論驗(yàn)證

圖10 滾動(dòng)體與內(nèi)圈接觸力的有限元解和理論解對(duì)比

5 結(jié)論

（1）對(duì)NJP3226 軸承內(nèi)部滾動(dòng)體進(jìn)行切向約束時(shí)，只允許其在徑向發(fā)生彈性變形，可以防止?jié)L動(dòng)體在靜力分析中產(chǎn)生剛性位移。但經(jīng)有限元計(jì)算發(fā)現(xiàn)，滾動(dòng)體與內(nèi)圈接觸力<外圈與滾動(dòng)體約束力，這與實(shí)際情況明顯不符。

（2）采用遠(yuǎn)距離極坐標(biāo)求解，隨著局部坐標(biāo)系距對(duì)應(yīng)滾動(dòng)體距離的增大，內(nèi)圈與滾動(dòng)體接觸力逐漸趨近外圈與滾動(dòng)體接觸力。當(dāng)局部坐標(biāo)系與對(duì)應(yīng)滾動(dòng)體距離增大到一定程度后，內(nèi)圈與滾動(dòng)體接觸力逐漸逼近外圈與滾動(dòng)體的約束。

（3）采用遠(yuǎn)距離極坐標(biāo)約束經(jīng)計(jì)算后與理論結(jié)果較好的保持了一致，同時(shí)該方法不但能夠滿足求解精度，也提高了求解效率。

本文方法解決了軸承內(nèi)部滾動(dòng)體不受約束難以收斂的問題，同時(shí)也保證了求解精度，在工程應(yīng)用上具有一定的推廣意義。遠(yuǎn)距離局部坐標(biāo)約束方法具有一定的普適性，其中蘊(yùn)含的機(jī)理需要相關(guān)學(xué)者進(jìn)一步研究。