王 娟，趙均海，張建華，周 媛

(1. 長安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064；2. 長安大學(xué)建筑工程學(xué)院，西安 710061)

空腔膨脹理論在彈靶撞擊領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，許多學(xué)者運用空腔膨脹理論對金屬材料、巖石、混凝土和土壤等材料的侵徹問題進行了研究，得到了許多成果[1?11]，然而，此類研究多是建立在半無限靶體或者有限厚靶體(考慮靶背自由表面影響)的基礎(chǔ)上，對于有限平面尺寸靶體的系統(tǒng)研究還僅限于試驗[12?13]，理論分析很少查到，即使有，也大都忽略了靶體側(cè)面邊界對侵徹的影響。Littlefield等[12]的研究發(fā)現(xiàn)，當靶體尺寸較小時，這種假設(shè)帶來的結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)偏差明顯。鑒于此，2011年蔣志剛等[14]提出了有限柱形空腔膨脹理論，首次以系統(tǒng)的理論建立了長桿彈侵徹有限直徑金屬厚靶的侵徹理論模型；隨后，宋殿義等[15]利用該理論建立了剛性尖頭(卵形)彈侵徹柱形金屬厚靶的侵徹模型。然而該模型由于僅針對單一彈頭形狀、采用的Mises準則只適合于剪切屈服極限和拉壓屈服極限關(guān)系為τs=0.577σs的材料而有明顯缺陷。此外，工程中常用于拉壓強度相等材料的其他兩個屈服準則：Tresca屈服準則(未考慮中間主應(yīng)力的影響)和雙剪應(yīng)力屈服準則，也都只能適用于τs=0.5σs和τs=0.667σs的材料，適用范圍有限。

統(tǒng)一強度理論考慮了作用于雙剪單元體上的全部應(yīng)力分量以及它們對材料破壞的不同影響，可以綜合反映各種不同靶體材料基本強度特性，還可以體現(xiàn)強度準則差異的影響[9,16 ?17]，在國內(nèi)外得到廣泛的成功應(yīng)用，所得終點效應(yīng)計算公式與試驗結(jié)果最為接近，是求解侵徹復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)問題更合理的新強度準則[7?8]。由于材料強度準則的建立和選用是研究靶材抗侵徹性能的重要環(huán)節(jié)，同時為了擴展材料的適用范圍并充分發(fā)揮靶材潛能，本文采用統(tǒng)一強度理論，考慮中間主應(yīng)力和靶體側(cè)面自由邊界的影響，推導(dǎo)彈塑性階段和塑性階段的空腔壁徑向應(yīng)力，建立線性硬化靶材的統(tǒng)一侵徹模型，求出適用范圍更廣、精確度更高的中低速(v0≤1000 m/s)剛性彈在侵徹有限直徑金屬厚靶時的侵徹阻力和侵徹深度計算公式，對半無限金屬靶體的侵徹問題同樣適用；將本文理論公式計算結(jié)果與彈道試驗結(jié)果、其他公式結(jié)果進行了對比驗證，文獻[15]的結(jié)果僅是本文結(jié)論的一個特例；得到一系列基于不同強度準則的解析解，有效地預(yù)測了拉壓強度相等的各類靶材在不同撞擊速度下侵徹深度區(qū)間；將所得卵形彈侵深公式擴展至錐形彈和球形彈，研究了彈頭形狀對侵徹性能的影響；討論了強度參數(shù)、強度準則差異、彈體撞擊速度以及靶體半徑對終點彈道性能的影響，可以為坦克、艦船等金屬裝甲防護設(shè)計及計算提供一定的參考和依據(jù)。

1 統(tǒng)一強度理論

統(tǒng)一強度理論是俞茂宏建立的一種全新的考慮中間主應(yīng)力 σ2影響的適用于各種不同材料的統(tǒng)一強度理論。其數(shù)學(xué)表達式為[18]：

該準則是以b為參數(shù)的隱含了無限多個屈服準則的強度理論，因而也被稱為雙剪統(tǒng)一屈服準則[18]。

2 有限柱形空腔膨脹

2.1 基于統(tǒng)一強度理論的計算模型

圖 1 有限柱形空腔膨脹模型Fig.1 Finite cylindrical cavity expansion model

式中： σeq和 εeq分別為統(tǒng)一強度理論等效應(yīng)力和等效應(yīng)變； σr和 εr分別為徑向應(yīng)力和徑向應(yīng)變；σθ和 εθ分別為環(huán)向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)變。

由于彈性區(qū)為小應(yīng)變，塑性區(qū)為大應(yīng)變，根據(jù)彈性區(qū)幾何關(guān)系式及質(zhì)點位移場表達式，可得[14]：

式中，r為t時刻空間坐標。

將式(5)代入式(4)，可得線性硬化材料的有效應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系方程為：

柱形空腔膨脹理論的速度場為[14]：

在柱坐標系下，靶體材料的動量守恒方程為：

式(6)～式(8)共同構(gòu)成基于統(tǒng)一強度理論的不可壓縮線性硬化材料的有限柱形空腔膨脹的基本方程。

2.2 空腔膨脹應(yīng)力計算

2.2.1 彈塑性階段(rp

令rp=rt，此時第一階段結(jié)束時的空腔膨脹半徑rc1為：

在塑性區(qū)( σeq>σoy)，將式(6)和式(7)代入式(8)，整理可得：

對式(11)積分，可得：

式中，C1為一常數(shù)。

將式(13)代入式(12)，求得徑向應(yīng)力 σr為：

在彈性區(qū)( σeq≤σoy)，將式(6)和式(7)代入式(8)，可得：

將邊界條件

式中，rc2為第二階段結(jié)束時的空腔半徑。

基于Hill的塑性功假設(shè)[20 ? 21]和有限柱形空腔膨脹問題的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，有：

式中， εeq為統(tǒng)一強度理論的等效應(yīng)變，可由式(22)和式(23)聯(lián)合求解得到：

應(yīng)變分量表達式為[14]：

=εf條件，可確定α=1時，第二階段結(jié)束時的空腔半徑rc2為：

式中， εf為靶體材料的單向拉伸斷裂應(yīng)變。

2.3 剛性彈侵徹柱形金屬厚靶效應(yīng)

2.3.1 剛性彈侵徹模型分析

假設(shè)剛性卵形彈旋轉(zhuǎn)彈頭母線方程為y=y(x)；a表示彈體半徑，l表示彈頭長度，如圖2所示。將彈丸的侵徹過程看成一系列空腔半徑為rc=y(x) 、靶體半徑為rt的有限柱形空腔膨脹模型來模擬[15]。假設(shè)彈丸初始速度和靶體初始侵深分別為v0和D0，t時 刻 彈 丸 速 度 和 靶 體 侵 深 分 別 為vt和Dt，那么t時刻靶體空腔半徑rc和空腔膨脹速度vt分別為[15]：

圖 2 侵徹模型尺寸Fig.2 Model dimension of penetration

2.3.2 侵徹阻力計算

忽略D

式中：φ為彈丸圓弧上一點的切線與彈丸軸線的夾角； σr(x)為根據(jù)本文有限柱形空腔膨脹理論計算所得的彈丸表面徑向應(yīng)力。

圖 3 不同彈頭形狀的剛性彈Fig.3 Rigid projectiles with different nose shapes

將式(20)和式(21)分別代入式(28)，可知：

假設(shè)當y(x1)=rc1時，x1為靶體剛到達彈塑性階段末。當x1≥l時，a≤rc1，有限柱形空腔膨脹體只經(jīng)歷彈塑性階段，侵徹阻力按式(29a)計算；當x1rc1，有限柱形空腔膨脹體完全經(jīng)歷彈塑性階段和塑性階段，侵徹阻力按式(29)的兩個分式分段計算。

聯(lián)立式(27)和式(29)，整理可得滿足文獻[15]的公式形式：

式(30)和式(31)中各項系數(shù)經(jīng)計算整理得：

其中，Nd可以采用Simpson公式數(shù)值積分求得。

2.4 侵徹深度計算

假設(shè)彈丸質(zhì)量為m，根據(jù)文獻[15]可知，由牛頓第二定律以及初始條件可得，t時刻彈丸侵徹有限柱形金屬靶深度D為：

2.5 試驗驗證和結(jié)果分析

為了進行對比，取文獻[13]中剛性卵形彈侵徹有限直徑鋁合金厚靶試驗數(shù)據(jù)，代入本文公式進行分析討論，彈體a=3.555mm ，l=11.8mm，L=59.3mm ，試驗靶板為半徑rt=127mm的6061-T6511鋁合金，彈性模量為E=68.9GPa，切線模量為Ep=46MPa ，初始屈服應(yīng)力為σoy=365MPa，密度為 ρ=2710kg/m。其他材料參數(shù)、試驗值和理論計算值匯總見表1。

表 1 卵形彈侵徹有限直徑金屬厚靶數(shù)據(jù)匯總Table 1 Data summarization of ogive-nose projectile penetration into metallic thick target finite in radial extent

圖4為根據(jù)文獻[18]、計算比較后取強度參數(shù)b=0.4 時本文理論公式最終侵徹深度計算值Dmax與試驗侵徹深度數(shù)據(jù)Dshi[13]、Forrestal公式結(jié)果[15]的對比曲線。由圖4可以看出：本文理論公式計算值與試驗值的平均相對誤差為0.0094，均方差為0.0427；Forrestal公式結(jié)果[15]與試驗值的平均相對誤差為0.1469，均方差為0.0669。本文結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)吻合的更好，比Forrestal公式誤差小了13.75%之多。由此驗證了中低速(v0≤1000 m/s)彈侵徹有限直徑金屬厚靶時，本文理論計算模型具有一定的正確性和精確性。

圖 4 侵徹深度對比Fig.4 Comparison of penetration depth

圖5為文獻試驗中構(gòu)件5(圖5(a))和其他兩個對比構(gòu)件(圖5(b)和圖5(c))的射線照片[13]，可以看到當v0=966 m/s時，侵徹結(jié)束時彈道筆直，并保持與靶體中心線一致，彈體沒有明顯變形，與本文理論計算模型假設(shè)(當彈體中低速(v0≤1000 m/s)撞擊靶體時可視其為剛性彈[23?24])一致。當v0=1237 m/s時，彈道雖是直的，但與靶體中心線偏離了一定角度，彈體變形不太明顯；當v0=1396 m/s時，彈道呈現(xiàn)曲線狀，彈體輕微彎曲，圖5(b)和圖5(c)不再適用于本文計算模型。

圖 5 侵徹彈道形態(tài)Fig.5 Radiographs of penetration craters

2.6 參數(shù)討論

對于不同的材料，b的取值各不相同，可以求得一系列不同侵徹深度和靶體阻力解，即統(tǒng)一強度理論可以適用于多種材料。圖6為不同b值時，所得侵徹深度Dmax與彈丸初速度v0的關(guān)系曲線。由圖可以看出：強度參數(shù)b對最終侵徹深度Dmax有較大的影響，b值越大，中間主應(yīng)力效應(yīng)越明顯，最終侵徹深度越小。這說明考慮中間主應(yīng)力 σ2的影響，可以更加客觀的表現(xiàn)出材料的強度潛能，使得構(gòu)件發(fā)揮自身抗侵徹能力，侵徹分析及計算中不宜忽略。

圖 6 不同 b值時侵徹深度對比Fig.6 Comparison of penetration depth with different b

同時，由于統(tǒng)一強度理論參數(shù)b還是選用不同強度準則的參數(shù)，當其取不同數(shù)值時，統(tǒng)一強度理論退化為不同的強度準則，由此所得的計算結(jié)果差別很大，以彈體著靶速度v0=569m/s為例，采用Tresca屈服準則(b=0)得到的侵深計算結(jié)果比采用雙剪屈服準則(b=1)得到的侵深計算結(jié)果大22.45%，由此說明強度準則的選用對侵徹終點效應(yīng)的預(yù)測也具有重要作用，實際工程應(yīng)用中應(yīng)選擇合適的強度準則進行計算，從而更好地進行合理設(shè)計和節(jié)約材料。例如本文針對鋁合金靶材取強度參數(shù)b=0.4進行計算，所得結(jié)果也代表了基于一種新的、針對此靶材更加合適的強度準則的解；若為其他靶材，可采用相同的方法，通過試驗驗證，取得適合自身的b值進行計算。

對于某一特定工況下有限直徑金屬厚靶侵徹問題，與其他計算方法只有唯一解不同，本文計算方法可以得到一系列解析解，文獻[15]所得結(jié)果(Mises屈服準則結(jié)果)為本文b=0.366時的特例(只適合τs=0.577σs的材料)，并且彈體侵徹深度的試驗值幾乎全部都會落在這一系列解析解范圍之內(nèi)。因此，采用本文理論計算方法可以得到某一特定工況下彈體侵深的上限值和下限值，有效地預(yù)測彈體侵徹深度的范圍，例如，將計算結(jié)果歸納總結(jié)見表2，得到不同撞擊速度下此類拉壓強度相等靶材侵徹深度的預(yù)測區(qū)間。

表 2 不同撞擊速度彈體侵徹深度預(yù)測區(qū)間Table 2 Penetration depth ranges for projectiles with different impact velocity

此外，由圖6也可看出：當v0≤1147m/s時，彈體撞擊速度越大，所得最終侵徹深度也越大。

圖7為采用本文公式(b=0.4)所得不同撞擊速度侵徹模型的侵徹深度D與彈體侵徹速度vt的關(guān)系曲線，由圖可以看出：隨著侵徹的進行，彈體速度不斷減小，侵徹深度增加，但是侵徹深度增加的速率減小。

圖 7 侵徹深度與彈體速度的關(guān)系Fig.7 Relationship between penetration depth and penetration velocity

其他條件均與試驗數(shù)據(jù)一致，改變彈丸初始速度和靶體半徑(即不同rt/a值)，研究最終侵徹深度的變化情況，如圖8所示(b=0.4)。計算過程中，當約rt/a≤10 時，a≤rc1，有限柱形空腔膨脹體完全經(jīng)歷彈塑性階段和塑性階段，侵徹阻力按式(29)兩分式分段計算。當rt/a>10 時，a>rc1，有限柱形空腔膨脹體只經(jīng)歷彈塑性階段，侵徹阻力按式(29)第一分式計算。由圖8可以看出：隨著靶體半徑與彈丸半徑比rt/a值的增大，最終侵徹深度與彈丸半徑比Dmax/a值越來越??；當rt/a≥16時，侵徹深度與彈丸半徑比減小的速度緩慢，rt/a=70 與rt/a=16相比，侵徹深度只減小了3.15%，但當rt/a<16時，侵徹深度隨著靶彈半徑比變化的程度顯著，rt/a=4 與rt/a=16相比，侵徹深度增長了40.76%，說明當rt/a<16時，靶體邊界尺寸的影響不能忽略，不能繼續(xù)按照半無限靶體進行計算，與文獻[13]試驗結(jié)論相近。

圖 8 最終侵徹深度與靶體半徑的關(guān)系Fig.8 Relationship between final penetration depth and target radius

圖9比較了彈桿直徑相同的卵形彈頭、錐形彈頭和球形彈頭作用下的理論侵徹深度(b=0.4)，可以看出，彈頭形狀對侵徹深度的影響很大，錐形彈頭的侵徹深度大于卵形彈頭的侵徹深度，并且明顯大于球形彈頭的侵徹深度，當撞擊速度小于570 m/s左右時，卵形彈頭和錐形彈頭所得侵徹深度基本相同。這是由于在保持彈桿直徑和彈體長度相同的條件下，與錐形彈和卵形彈相比，球形彈的彈頭相對平坦，彈頭表面積相對更大，于是彈體在侵徹過程中受到的阻力也更大，進而使得侵徹深度明顯較小，這說明了在相同彈桿直徑和彈體長度的條件下，相比球形彈，錐形彈和卵形彈的穿透能力明顯要強得多，其中錐形彈的穿透能力最強，當撞擊速度小于570 m/s左右時，錐形彈和卵形彈穿透能力差別不大。

圖 9 不同彈頭形狀侵徹深度比較Fig.9 Comparison of penetration depth with different projectile nose shapes

另外，由圖9還可看出，各類彈體的侵徹深度均隨著彈體著靶速度的增大而增大，只是相比球形彈，錐形彈和卵形彈的侵徹深度受彈體著靶速度的影響更為顯著。

3 結(jié)論

本文采用統(tǒng)一強度理論，研究了中低速剛性彈侵徹有限直徑金屬厚靶問題的侵徹機理和計算模型，并討論了彈道終點效應(yīng)的影響因素。主要結(jié)論如下：

(1)本文建立的基于統(tǒng)一強度理論的有限柱形空腔膨脹模型考慮了靶體側(cè)面自由邊界、中間主應(yīng)力效應(yīng)和強度準則差異的影響，可以很好的描述整個侵徹過程中彈靶的動態(tài)響應(yīng)；所得中低速彈體侵徹有限直徑金屬厚靶侵徹阻力和侵徹深度計算公式，適用于解決不同彈頭形狀的各類金屬靶材的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)問題，對半無限金屬靶體的侵徹問題同樣適用。將本文理論計算結(jié)果與彈道試驗、其他公式結(jié)果進行比較，本文結(jié)果精度更高。

(2)采用本文理論計算方法可以得到一系列基于不同強度準則的解析解，從而有效預(yù)測不同撞擊速度下拉壓強度相等的各類靶材侵徹深度的區(qū)間，文獻[15]所得結(jié)果僅為本文b=0.366時的特例。強度參數(shù)b對侵徹計算結(jié)果有非常大的影響，即考慮中間主應(yīng)力效應(yīng)，可以更加客觀的表現(xiàn)出材料的強度潛能，使得構(gòu)件發(fā)揮自身抗侵徹能力。

(3)彈體初速度和靶彈半徑比對侵徹計算結(jié)果的影響較大。rt/a≤10時，有限柱形空腔膨脹體完全經(jīng)歷彈塑性階段和塑性階段，而rt/a>10時，有限柱形空腔膨脹體只經(jīng)歷彈塑性階段；隨著rt/a值的減小，Dmax/a值不斷增大，當rt/a<16時，Dmax/a值增大的程度顯著，此時靶體邊界尺寸對侵徹終點效應(yīng)的影響很大，不能繼續(xù)按照無限大靶體進行分析計算。

(4)彈頭形狀對侵徹深度也有一定影響，就侵徹性能而言，錐形彈強于卵形彈，并且明顯強于球形彈。