沈 力，張?jiān)谱?/p>

(1. 江蘇省城市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，江蘇 南京 210036；2. 石家莊鐵道大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北 石家莊 050043)

0 引言

隨著電網(wǎng)智能化地發(fā)展，現(xiàn)代電力系統(tǒng)越來越趨向于多互聯(lián)，大規(guī)模方向發(fā)展，所以僅僅依靠傳統(tǒng)的區(qū)域信號控制方法可能滿足不了系統(tǒng)對性能的要求。近30年來，隨著現(xiàn)代電力通信中向量測量單元技術(shù)的廣泛應(yīng)用，使得將本地電力系統(tǒng)信息同步采樣并傳送至遠(yuǎn)程控制中心成為可能。各種廣域控制信道在電力信息的傳輸過程中難免會(huì)存在時(shí)滯且隨時(shí)間變化的，這類時(shí)滯的存在將會(huì)直接破壞電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，研究分析含時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性問題具有實(shí)際意義。

近些年，對于含有時(shí)滯的電力系統(tǒng)，國內(nèi)外學(xué)者的研究方法大都是基于 Lyapunov直接法的時(shí)域法[1-6]。通過構(gòu)建Lyapunov-Krasovskii泛函，借助Lyapunov穩(wěn)定理論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，給出穩(wěn)定判據(jù)，最后利用線性矩陣不等式工具箱求解得到時(shí)滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。文獻(xiàn)[7]提出并將自由權(quán)矩陣的分析方法引入時(shí)滯系統(tǒng)魯棒控制的研究中，在一定程度上克服了先前分析方法的局限性。文獻(xiàn)[8]將Wirtinger不等式作為一種特例，提出一種新的積分不等式處理泛函導(dǎo)數(shù)中的積分項(xiàng)，給出了時(shí)滯離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)。文獻(xiàn)[9]利用系統(tǒng)狀態(tài)中的二重積分項(xiàng)，給出一種將Wirtinger不等式包含在內(nèi)的的新的積分不等式。文獻(xiàn)[10]在Jensen不等式的基礎(chǔ)上，提出一種含Jensen不等式的新的積分不等式，具有更小的保守性。文獻(xiàn)[11]避開討論Wirtinger不等式，進(jìn)一步討論了無窮形式的積分不等式，同時(shí)給出了時(shí)滯二次型的處理方法，有助于處理文章泛函導(dǎo)數(shù)中時(shí)滯二次項(xiàng)。文獻(xiàn)[12]考慮系統(tǒng)時(shí)滯變化率，介紹了一種逆凸不等式，提出了一種新的增廣形式的Lyapunov-Krasovskii泛函，雖然很大程度上降低了時(shí)滯系統(tǒng)現(xiàn)有結(jié)果的保守性，但是，在實(shí)際電力系統(tǒng)中時(shí)滯變化率是很難測量的，文章通過構(gòu)建一種新的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函，合理地避開了時(shí)滯變化率的討論。文獻(xiàn)[13]將文獻(xiàn)[8]的方法應(yīng)用到單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)中。文獻(xiàn)[14]應(yīng)用基于牛頓-萊布尼茨的自由權(quán)矩陣方法處理泛函導(dǎo)數(shù)中的積分項(xiàng)，給出的時(shí)滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)具有較大的保守性。文獻(xiàn)[15]舍棄Jensen不等式，利用Wirtinger不等式對泛函導(dǎo)數(shù)中積分項(xiàng)進(jìn)行處理，所得的時(shí)滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)也具有一定的局限性。

文章提出一種新的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函作為系統(tǒng)的能量函數(shù)，應(yīng)用逆凸不等式[12]對能量函數(shù)求導(dǎo)后得到的積分項(xiàng)進(jìn)行有效地放縮，然后分析系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性，根據(jù)給出的穩(wěn)定判據(jù)求解時(shí)滯穩(wěn)定裕度。與現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)果相比較，文章方法得到的穩(wěn)定裕度更大一些。

文章采用如下標(biāo)號：Rn和Rn×m分別表示實(shí)數(shù)域上的n維向量空間和n×m維矩陣空間；Rn×n表示n階正對稱矩陣集合；RT和R–1表示矩陣的轉(zhuǎn)置和逆；I和0分別表示單位矩陣和零矩陣；P>0

1 系統(tǒng)模型

通常，含時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可化簡為：

式（1）中：x(t)∈Rn，是狀態(tài)向量；A、B為系統(tǒng)矩陣；0

為了得到系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)[10-13]，給出了3個(gè)引理。

引理 1：定義可導(dǎo)函數(shù)ω于區(qū)間[a,b]→Rn，對于實(shí)對稱矩陣Z(∈ Rn×n) ＞ 0，則下述不等式（2）應(yīng)成立：

引理2：有f(s) =a2s2+a1s+a0二次函數(shù)，如果以下3個(gè)不等式成立，則f(s)＜0，s∈ [ 0,h] 。

(i)f(0)＜0；(ii)f(h)＜0；(iii)-h2a2+f( 0) ＜ 0。

引理3：定義?1、?2是Rn上的可導(dǎo)函數(shù)，標(biāo)量α∈ ( 0,1)，對于實(shí)對稱矩陣?1、?2(∈ Rn×n) ＞ 0，任意矩陣Y1,Y2∈Rn×n有積分不等式（8）成立：

2 穩(wěn)定判據(jù)

首先，定義向量、矩陣如下：

對于系統(tǒng)(1)，有如下穩(wěn)定性判據(jù)：

定理 1：存在實(shí)對稱矩陣P(∈ R5n×5n)＞0，R(∈ Rn×n) ＞ 0，任 意 矩 陣Y1、Y2∈R3n×3n， 對 于條件，如果下列不等式組（18）～（20）成立，則系統(tǒng)（1）穩(wěn)定。

式中：

證明：根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定分析需求，構(gòu)建新的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函如下：

當(dāng)P>0，R>0時(shí)，則函數(shù)正定，即V(xt)＞0。對V(xt)求導(dǎo)可得：

由引理1得：

由引理3得：

結(jié)合式（40）～（43），得：

3 案例分析

本節(jié)以典型二階時(shí)滯系統(tǒng)、四機(jī)11節(jié)點(diǎn)時(shí)滯電力系統(tǒng)為例，驗(yàn)證文章所提方法的優(yōu)越性。

3.1 典型二階時(shí)滯系統(tǒng)

（1）考慮如下典型系統(tǒng)1：

（2）考慮如下典型系統(tǒng)2：

利用文獻(xiàn)[13-15]的方法及定理 1計(jì)算，仿真得到系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，結(jié)果見表1、表2。

表1 典型系統(tǒng)1的穩(wěn)定裕度hTab.1 S tability margin h of typical system 1

表2 典型系統(tǒng)2的穩(wěn)定裕度hTab.2 S tability margin h of typical system 2

從上表1、2中可明顯看出，較文獻(xiàn)[13-15]，定理1得到的穩(wěn)定裕度更大一些，由此表明文章所提方法的優(yōu)越性。

3.2 四機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

了進(jìn)一步驗(yàn)證文章方法的實(shí)用性和有效性，考慮如圖1所示四機(jī)11節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)[16]。

圖1 四機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.1 Four-machine 11-bus power system

狀態(tài)矩陣如下：

利用文獻(xiàn)[13-15]的方法及定理 1計(jì)算，仿真得到四機(jī) 11節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，結(jié)果見表3。

表3 四機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度hTab.3 Stability margin h of four-machine 11-bus system

從表3可以明顯看出，較文獻(xiàn)[13-15]，定理1得到的穩(wěn)定裕度更大一些，由此表明文章所提方法具有更小的保守性。

4 結(jié)論

文章為了得到更大的時(shí)滯穩(wěn)定裕度，以及滿足Lyapunov穩(wěn)定分析的需求，提出一種新的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函，合理地利用一種逆凸不等式處理泛函求導(dǎo)后的積分項(xiàng)。通過分析推導(dǎo)，給出了含時(shí)變時(shí)滯的電力系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)，大大降低了現(xiàn)有結(jié)果的保守性。最后，以典型二階時(shí)滯系統(tǒng)、四機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為實(shí)例，通過仿真分析得到系統(tǒng)的時(shí)滯穩(wěn)定裕度，與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，表明了文章方法的優(yōu)越性。