李錦華, 張 耀, 張煥濤, 藍(lán)聲寧
(1. 華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院,南昌 330013; 2. 華東交通大學(xué) 土木工程國(guó)家實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,南昌 330013;3. 北部灣大學(xué) 建筑工程學(xué)院,廣西 欽州 535011)
國(guó)內(nèi)外研究人員已對(duì)列車作用下的橋梁振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了廣泛的研究,甚至考慮了風(fēng)荷載和列車制動(dòng)力影響下的橋梁縱、橫向振動(dòng)問(wèn)題[1-2]。隨著我國(guó)高速鐵路的大量建設(shè)以及鐵路系統(tǒng)的升級(jí),高速列車引起的橋梁振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題也日益突出,尤其是關(guān)于列車荷載引起橋梁共振響應(yīng)的問(wèn)題[3]。
對(duì)于列車荷載引起的橋梁共振響應(yīng)問(wèn)題,研究人員采取了各種方法進(jìn)行分析。對(duì)于實(shí)際列車作用下橋梁的振動(dòng)響應(yīng),需考慮列車-橋梁的耦合作用[4-5],然而采用該方法的研究只能通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)分析橋梁跨度,荷載軸距及移動(dòng)速度等因素的影響[6]。這種分析方法雖然貼合于工程實(shí)踐,但求解過(guò)程較為復(fù)雜,通用性不高,因此為了工程實(shí)際的通用性,很多學(xué)者采用解析的方法求解各類橋型結(jié)構(gòu)的共振機(jī)理。Yau[7]根據(jù)移動(dòng)荷載引起簡(jiǎn)支梁的共振公式,采用類比法確定高速列車作用下連續(xù)橋梁的多個(gè)共振峰值;再基于有限元方法研究了跨數(shù)對(duì)連續(xù)梁橋沖擊作用的影響。Wang等[8]通過(guò)振型分析法分析了列車作用下兩跨連續(xù)梁的振動(dòng)響應(yīng),并得到了不同于簡(jiǎn)支梁的兩個(gè)共振速度,且考慮了阻尼比、橋梁跨度對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響。呂龍等[9]采用等效縱向荷載研究了移動(dòng)荷載作用下斜拉橋的縱向振動(dòng)機(jī)理,推導(dǎo)出縱向共振速度的估算公式。
其中對(duì)于列車荷載作用下簡(jiǎn)支梁橋的共振問(wèn)題一直是研究熱點(diǎn)。Yang等[10]將列車荷載簡(jiǎn)化為等軸距的兩個(gè)子系統(tǒng),通過(guò)解析方法確定了控制橋梁動(dòng)力響應(yīng)的關(guān)鍵參數(shù),并根據(jù)移動(dòng)荷載產(chǎn)生的橋梁響應(yīng)曲線給出了有效抑制橋梁共振的優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。李慧樂(lè)等[11-12]從理論推導(dǎo)和分析實(shí)例,研究了車橋系統(tǒng)的共振機(jī)理和發(fā)生共振的條件,并推導(dǎo)出移動(dòng)荷載(單個(gè)集中力、等軸距移動(dòng)荷載列及非等軸距移動(dòng)荷載列)作用下的橋梁振動(dòng)響應(yīng)解析解,獲得了移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁發(fā)生共振及兩類消振響應(yīng)下車速計(jì)算公式。張鐸等[13]研究一系列移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下簡(jiǎn)支梁豎向動(dòng)力響應(yīng),首先理論推導(dǎo)出了橋梁響應(yīng)的解析表達(dá)式;然后通過(guò)數(shù)值模擬分析了荷載移動(dòng)速度、諧振頻率以及橋梁阻尼比等參數(shù)對(duì)橋梁共振的影響。然而當(dāng)移動(dòng)荷載以共振速度勻速通過(guò)簡(jiǎn)支梁后,并不能引起橋梁的最大響應(yīng)[14-16]。
目前,對(duì)于橋梁振動(dòng)理論的研究主要是從時(shí)域角度進(jìn)行分析,然而頻域相對(duì)時(shí)域而言,直觀且無(wú)需求解微分方程。為了直觀有效地分析橋梁自由振動(dòng)最大響應(yīng)的影響參數(shù),建立起各參數(shù)與橋梁自由振動(dòng)最大響應(yīng)的關(guān)系,本文將考慮列車荷載為兩軸車輛荷載,從頻域角度出發(fā),采用傅里葉變換推導(dǎo)出兩軸車輛荷載通過(guò)橋梁時(shí)的移動(dòng)荷載譜及橋梁振動(dòng)響應(yīng)譜,再通過(guò)對(duì)移動(dòng)荷載譜的分析,獲得引起橋梁自由振動(dòng)最大響應(yīng)時(shí)的移動(dòng)荷載速度,并通過(guò)算例驗(yàn)證相關(guān)理論研究的有效性。
為了分析列車速度、荷載軸距對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)的影響,將列車荷載考慮為兩軸集中力荷載模型,如圖1所示。集中力荷載大小為P,軸距為d,該荷載以速度v勻速行駛在跨度為L(zhǎng)的橋梁上,該橋梁的運(yùn)動(dòng)方程可表示為
圖1 橋梁及移動(dòng)荷載模型
(1)
式中:qj為橋梁第j階振型的廣義坐標(biāo);m為橋梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量;ωj,ξj分別為橋梁的第j階自振頻率和阻尼比;fj(t)為兩軸移動(dòng)集中力荷載產(chǎn)生的第j階振型荷載,其表達(dá)式為
(2)
式中,S(t)=S0(t)-S0(t-L/v)可判斷移動(dòng)集中力是否作用在橋梁上,S0(t)為Heaviside函數(shù)。
本文對(duì)兩軸移動(dòng)荷載作用下橋梁的運(yùn)動(dòng)方程編寫(xiě)了相關(guān)求解程序,算例采用了文獻(xiàn)[17]中的橋梁及兩軸移動(dòng)荷載數(shù)據(jù),如表1所示。當(dāng)移動(dòng)荷載以速度100 km/h勻速通過(guò)橋梁時(shí),橋梁跨中位移振動(dòng)響應(yīng)如圖2所示。由圖2可知,本文運(yùn)用振型疊加法計(jì)算的橋梁跨中豎向位移振動(dòng)響應(yīng),與文獻(xiàn)[17]中的數(shù)據(jù)相互吻合,驗(yàn)證了上述運(yùn)動(dòng)方程及計(jì)算程序的正確性。
表1 橋梁參數(shù)及荷載參數(shù)
圖2 橋梁跨中豎向位移響應(yīng)
目前,對(duì)于移動(dòng)荷載作用下橋梁自由振動(dòng)響應(yīng)幅值的分析,主要采用時(shí)域數(shù)值計(jì)算方法,而該方法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程需要進(jìn)行反復(fù)計(jì)算求解。為了快速有效地分析移動(dòng)荷載作用下橋梁自由振動(dòng)響應(yīng),本章將建立有效的頻域分析法對(duì)此進(jìn)行分析。
對(duì)式(1)兩邊進(jìn)行傅里葉變換可得橋梁豎向位移的第j階模態(tài)響應(yīng)分量
Qj(ω)=Hj(ω)Fj(ω)
(3)
于是,移動(dòng)荷載引起的橋梁振動(dòng)位移響應(yīng)譜Y(ω)為
式中:φj(x)為橋梁的第j階振型函數(shù);Hj(ω)為傳遞函數(shù)
(5)
Fj(ω)為第j階振型移動(dòng)荷載譜,可由式(2)進(jìn)行傅里葉變換得到
當(dāng)振型為奇數(shù)時(shí),即j=1,3,5,…,第j階振型移動(dòng)荷載譜為
(7)
當(dāng)振型為偶數(shù)時(shí),即j=2,4,6,…,第j階振型移動(dòng)荷載譜為
(8)
考慮橋梁的第一階振型,并忽略橋梁結(jié)構(gòu)阻尼的影響,根據(jù)式(4)可得移動(dòng)荷載激勵(lì)的橋梁振動(dòng)位移響應(yīng)譜為
Y1(ω)=H1(ω)·F1(ω)·φ1(x)=
(9)
對(duì)其取模,即橋梁位移響應(yīng)幅值譜|Y1(ω)|
(10)
由式(10)中振型函數(shù)sin(πx/L)的表達(dá)式可知,當(dāng)x=0.5L時(shí),即在橋梁的跨中位置會(huì)產(chǎn)生最大值;而根據(jù)傳遞函數(shù)|H1(ω)|可知,當(dāng)移動(dòng)荷載激勵(lì)頻率等于橋梁自振頻率時(shí)即ω=ω1,傳遞函數(shù)達(dá)到最大值。此時(shí),跨中橋梁位移響應(yīng)幅值譜的最大值,僅與移動(dòng)荷載幅值譜的最大值有關(guān)。其移動(dòng)荷載幅值譜大小為
(11)
令κ=v/ω1L為移動(dòng)荷載無(wú)量綱速度,γ=d/L為移動(dòng)荷載軸距與橋梁跨度的比值,簡(jiǎn)稱軸跨比。因此,式(11)可寫(xiě)為
(12)
根據(jù)式(12)可知,當(dāng)ω=ω1時(shí),移動(dòng)荷載幅值譜僅含有兩個(gè)未知變量κ,γ。實(shí)際中軸跨比γ通常小于2,因此本章考慮γ在0~2內(nèi)。
圖3 不同軸跨比對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載幅值譜最大值
圖4 移動(dòng)荷載幅值譜最大值時(shí)的曲線
圖5 移動(dòng)荷載幅值譜最大值時(shí)的擬合曲線
(13)
(14)
移動(dòng)荷載作用在橋梁結(jié)構(gòu)上存在自由振動(dòng)與受迫振動(dòng)兩部分的響應(yīng),如不考慮阻尼的影響,受迫振動(dòng)的時(shí)間要遠(yuǎn)小于自由振動(dòng)的時(shí)間。而頻域分析是對(duì)運(yùn)動(dòng)方程在整個(gè)時(shí)域內(nèi)進(jìn)行積分,因此對(duì)于傅里葉變換得到的移動(dòng)荷載譜、橋梁位移響應(yīng)譜,能夠有效地反映橋梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)。因此,基于頻域分析法得到的式(14)移動(dòng)荷載速度,將會(huì)使得橋梁自由振動(dòng)產(chǎn)生最大位移響應(yīng),該速度僅與橋梁自振頻率、跨徑,移動(dòng)荷載軸距有關(guān)。下面將采用數(shù)值算例,對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。
首先根據(jù)表1中的橋梁與荷載參數(shù),得到不同移動(dòng)荷載速度下對(duì)應(yīng)的橋梁自由振動(dòng)幅值與移動(dòng)荷載幅值譜|F1(ω1)|如圖6、圖7所示。圖6是基于時(shí)域方法得到的不同速度下移動(dòng)荷載引起的橋梁自由振動(dòng)幅值,該方法需要對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行反復(fù)求解;圖7是基于頻域分析法得到的不同速度下移動(dòng)荷載幅值譜|F1(ω1)|。
圖6 不同時(shí)速下橋梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)幅值
圖7 不同時(shí)速下移動(dòng)荷載幅值譜
根據(jù)圖6可知,移動(dòng)荷載分別從低速到高速勻速通過(guò)橋梁,對(duì)于不同的移動(dòng)荷載速度,橋梁自由振動(dòng)幅值出現(xiàn)了一系列極值點(diǎn),其中極大值與極小值交替出現(xiàn),圖7的不同速度下移動(dòng)荷載幅值譜|F1(ω1)|也具有類似的規(guī)律。對(duì)比圖6、圖7可以觀察出,橋梁自由振動(dòng)幅值與移動(dòng)荷載幅值譜|F1|中各個(gè)極值點(diǎn),所對(duì)應(yīng)的荷載移動(dòng)速度是相互吻合的,說(shuō)明了文中頻域推導(dǎo)的移動(dòng)荷載幅值譜|F1(ω1)|能夠有效反映出各移動(dòng)荷載速度下橋梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)幅值的大小關(guān)系。
根據(jù)圖6、圖7可知,對(duì)于橋梁自由振動(dòng)幅值與移動(dòng)荷載幅值譜|F1(ω1)|各個(gè)極值點(diǎn),其所對(duì)應(yīng)的荷載移動(dòng)速度是相互吻合的,這說(shuō)明式(14)用于確定某移動(dòng)荷載速度下,橋梁自由振動(dòng)發(fā)生最大位移響可行的。為了進(jìn)一步表明該速度公式的廣泛適用性和有效性,下面將采用文獻(xiàn)[17]中的另一橋梁及荷載數(shù)據(jù)(見(jiàn)表2),并考慮不同的移動(dòng)荷載軸距d,即不同的軸跨比γ,進(jìn)行分析驗(yàn)證。
表2 另一組橋梁及荷載參數(shù)
根據(jù)式(14)可知,移動(dòng)荷載速度公式在γ為0.72處進(jìn)行了分段。因此,為了驗(yàn)證整個(gè)移動(dòng)荷載速度公式的有效性,對(duì)γ分別在0~0.72與0.72~2.00內(nèi)取值進(jìn)行分析驗(yàn)證,其取值為0.4,0.72和1.5,即移動(dòng)荷載軸距分別為8 m,14.4 m和30 m。根據(jù)表2的橋梁與荷載參數(shù),不同移動(dòng)荷載速度下對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載幅值譜|F1(ω1)|與橋梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)幅值如圖8、圖9所示。
圖8 不同軸跨比γ的移動(dòng)荷載幅值譜
圖9 不同軸跨比γ的橋梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)幅值
對(duì)比圖8(a)~圖8(c)可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于不同的軸跨比γ,對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載幅值譜最大值的大小為max{|F1(ω1)|}γ=0.72 為了進(jìn)一步驗(yàn)證頻域分析的移動(dòng)荷載速度與時(shí)域計(jì)算結(jié)果相互吻合,分別在圖8和圖9中任意取極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度見(jiàn)表3所示。表中V1,V3,V4,V5,V6,V7為時(shí)域內(nèi)橋梁自由振動(dòng)幅值中極大值對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度,與之相應(yīng)的頻域內(nèi)移動(dòng)荷載幅值譜極大值對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度分別為V1-1,V3-1,V4-1,V5-1,V6-1,V7-1;而對(duì)于時(shí)域內(nèi)橋梁自由振動(dòng)幅值中極小值對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度為V2,V8,與之相應(yīng)的頻域內(nèi)移動(dòng)荷載幅值譜極小值對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度分別為V2-1,V8-1。如表3所示,頻域內(nèi)的8個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度,與時(shí)域內(nèi)相應(yīng)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度對(duì)比,誤差非常小,說(shuō)明了頻域分析移動(dòng)荷載速度的有效性。 表3 各個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載速度 當(dāng)移動(dòng)荷載分別以時(shí)域內(nèi)8個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度移動(dòng),橋梁跨中位移時(shí)程曲線如圖10所示。根據(jù)圖10(a)可知,移動(dòng)荷載以速度V1,V2,V3通過(guò)橋梁,引起橋梁自由振動(dòng)幅值的大小關(guān)系為:max{|y1|max}V2 圖10 考慮不同軸跨比γ的跨中豎向位移時(shí)程曲線 如圖10所示,當(dāng)移動(dòng)荷載以V2,V8速度行駛出橋后,橋梁自由振動(dòng),幾乎處于靜止?fàn)顟B(tài),但當(dāng)移動(dòng)荷載以V1,V4,V5,V6速度行駛時(shí),橋梁自由振動(dòng)將發(fā)生最大振幅的位移響應(yīng)。因此,為了避免橋梁自由振動(dòng)發(fā)生最大振幅的位移響應(yīng),快速有效確定相應(yīng)移動(dòng)荷載速度非常有必要。 對(duì)于傅里葉變換得到的移動(dòng)荷載譜、橋梁位移響應(yīng)譜,能夠有效反映移動(dòng)荷載作用下橋梁自由振動(dòng)響應(yīng),其中移動(dòng)荷載幅值譜與時(shí)域角度得到的橋梁自由振動(dòng)響應(yīng)幅值規(guī)律一致。 當(dāng)軸跨比γ為0,0.72,1.47時(shí),移動(dòng)荷載幅值譜最大值曲線存在極值;其中在軸跨比γ為0.72時(shí),對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載幅值譜最大值最??;而在軸跨比γ為0與1.47時(shí),對(duì)應(yīng)的移動(dòng)荷載幅值譜最大值相同,均為最大。 兩軸集中力移動(dòng)荷載以文中速度式(14)得到的速度通過(guò)橋梁后,會(huì)引起橋梁自由振動(dòng)產(chǎn)生最大位移響應(yīng),該速度不僅與橋梁自振頻率有關(guān),還與軸跨比γ有關(guān)。 移動(dòng)荷載以共振速度Vres=(ω1d)/(2π)勻速通過(guò)梁橋后,引起橋梁的受迫與自由振動(dòng)響應(yīng)均不是最大響應(yīng),甚至不是極值響應(yīng),僅當(dāng)軸跨比γ在1.5左右時(shí),共振速度Vres才能使得橋梁自由振動(dòng)位移響應(yīng)近似達(dá)到最大值。這是因?yàn)閷?duì)于其他軸跨比γ,共振速度作用在橋梁上的有限時(shí)間內(nèi),未能激勵(lì)起橋梁最大響應(yīng)。4 結(jié) 論