王 聰， 張宏立， 馬 萍

(新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院，烏魯木齊 830047)

近年來，大規(guī)模的電網(wǎng)互聯(lián)為電力生產(chǎn)和消費帶來了極大的便利，但電力系統(tǒng)通常是由大規(guī)模的、地理位置分散的成百上千臺發(fā)電機(jī)并行和同步運行組成，這些電機(jī)在大小和結(jié)構(gòu)上各不相同，且涉及繼電保護(hù)、自動裝置、設(shè)施管理控制和時間調(diào)度裝置等多種控制功能。因此，電力系統(tǒng)是一個典型的強(qiáng)耦合、高度非線性、多變量的動態(tài)系統(tǒng)，具有豐富的非線性動態(tài)特性，更易發(fā)生各類不穩(wěn)定振蕩行為?；煦缧袨樽鳛槠渲幸环N復(fù)雜的動力學(xué)行為，會導(dǎo)致電力系統(tǒng)發(fā)生突發(fā)性的或情節(jié)嚴(yán)重的機(jī)電振蕩，會導(dǎo)致系統(tǒng)大區(qū)域和大面積的停電事故，對電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運行造成了嚴(yán)重的危害。這些混沌振蕩行為很難用傳統(tǒng)的線性控制器來控制或抑制。因此，分析電力系統(tǒng)的混沌振蕩機(jī)理，研究混沌振蕩的有效控制方法是十分必要的。

電力系統(tǒng)的混沌振蕩被認(rèn)為是電壓失穩(wěn)的原因之一，為了有效地抑制電力系統(tǒng)的混沌行為，國內(nèi)學(xué)者提出了大量的混沌抑制機(jī)制和方法。倪駿康等[1]研究了二階電力系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為，并提出一種等效快速終端模糊滑?？刂品椒▉韺崿F(xiàn)混沌電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，該方法設(shè)計簡單，減小了控制能量，降低了抖振；江世明等[2]針對互聯(lián)二階電力系統(tǒng)的混沌行為，基于非線性光滑函數(shù)，設(shè)計了一種新型滑?？刂品椒?，該方法不需要被控對象的數(shù)學(xué)模型，且控制方法魯棒性強(qiáng)；閔富紅等[3]研究了施加功率擾動項的四階電力系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為，并基于具有繼電特性的切換函數(shù)設(shè)計了一種動態(tài)面滑?？刂破?，實現(xiàn)了混沌電力系統(tǒng)的快速控制；Luo[4]針對二階電力系統(tǒng)發(fā)生混沌振蕩的行為，基于無源控制理論設(shè)計了無源控制方法，設(shè)計自適應(yīng)律使系統(tǒng)等效為無源系統(tǒng)，實現(xiàn)混沌控制，該方法對系統(tǒng)參數(shù)和外界擾動具有較好的魯棒性；Ni等[5]研究了四階電力系統(tǒng)的分岔及混沌行為，基于Lyapunuv穩(wěn)定理論設(shè)計了一種簡化控制器，該方法不僅簡化了電力系統(tǒng)控制器的的設(shè)計，而且對系統(tǒng)參數(shù)的不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性；閔富紅等[6]在2017年研究了含勵磁環(huán)節(jié)的分?jǐn)?shù)階四階電力系統(tǒng)的動力學(xué)行為，確定了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的最低階次，以及其他參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，并基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和非線性反饋理論設(shè)計了同步控制器，有效的抑制了系統(tǒng)的混沌行為；Rajagopal等[7]推導(dǎo)了四階分?jǐn)?shù)階電力系統(tǒng)的動力學(xué)模型，研究了其分岔及混沌行為，并提出一種自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑?？刂苹煦绶椒ǎ行У貙崿F(xiàn)了混沌電力系統(tǒng)的控制；Karthikeyan等[8]研究了一類特定的智能電網(wǎng)的非線性行為，證明在一定條件下智能電網(wǎng)存在分岔及混沌行為，并基于滑模控制和PID(proportion integration differentiation)控制提出了混沌抑制方法；Min等[9]研究了受勵磁限制影響的電力系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為，并設(shè)計一種新的自適應(yīng)反推滑?？刂破髟O(shè)計，用于消除差異的角度，使電力系統(tǒng)在穩(wěn)定軌道上運行。

以上控制方法均在電力系統(tǒng)的分岔及混沌控制中取得了較好的效果，但以上控制方法均未考慮到實際工程需求，控制器設(shè)計較復(fù)雜或未考慮控制響應(yīng)時間。研究電力系統(tǒng)的混沌行為，并且有針對性地提出相應(yīng)的混沌控制策略，并考慮實際工程意義問題變得尤為重要。目前，利用有限時間穩(wěn)定原理對系統(tǒng)進(jìn)行控制的研究較多，但在電力系統(tǒng)的混沌控制中應(yīng)用較少。Ni等[10]基于快速有限穩(wěn)定性理論，提出了一種快速定時非奇異終端滑?？刂品椒?，該方法能使混沌電力系統(tǒng)在有限的時間內(nèi)實現(xiàn)穩(wěn)定；同年，Ni等[11]針對三節(jié)點四階電力系統(tǒng)的混沌行為，設(shè)計了一種固定時間的動態(tài)面高階滑?？刂品椒ǎㄟ^構(gòu)造兩個高階滑模面并結(jié)合有限時間理論，實現(xiàn)了混沌控制；趙輝等[12-13]針對四階電力系統(tǒng)的混沌振蕩行為，基于有限時間穩(wěn)定原理，分別設(shè)計了兩種混沌控制器，有效的控制了電力系統(tǒng)的混沌振蕩行為，并驗證了所提方法的有效性和魯棒性；劉利花等[14]證明了Watts-Strogatz 型小世界發(fā)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)參數(shù)處于某些范圍時，會出現(xiàn)混沌振蕩，并基于反饋控制和有限時間穩(wěn)定理論設(shè)計了有限時間控制器，實現(xiàn)了發(fā)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的振蕩控制。

為了提高電力系統(tǒng)的混沌控制效果，簡化控制器的設(shè)計，縮短控制響應(yīng)時間，本文提出了一種基于有限時間穩(wěn)定理論和函數(shù)投影同步思想的混沌控制方法。借鑒混沌同步思想，并結(jié)合有限時間理論，將混沌電力系統(tǒng)與理想狀態(tài)電力系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)完全同步，間接實現(xiàn)電力系統(tǒng)的混沌控制。數(shù)學(xué)理論及仿真結(jié)果表明，該控制器能在有限時間內(nèi)有效地實現(xiàn)了混沌電力系統(tǒng)的控制，且對外部干擾具有較強(qiáng)的魯棒性。

1 理論基礎(chǔ)

函數(shù)投影同步是將驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)按照給定的尺度函數(shù)α(t)實現(xiàn)同步[15]，給出如下的混沌系統(tǒng)

(1)

e=x-α(t)y

(2)

式中，α(t)為尺度函數(shù)。

假設(shè)1α(t)不等于0，且在[0，+∞]內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)且有界。

(3)

有限時間穩(wěn)定理論指的是不穩(wěn)定系統(tǒng)在短時間內(nèi)被控制到穩(wěn)定態(tài)[17]。有限時間穩(wěn)定控制是一種能對非線性系統(tǒng)實現(xiàn)有效控制的方法，能使受控系統(tǒng)變量在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，而且控制器中含有分?jǐn)?shù)冪項，這也大大增加了控制器的魯棒性能和抗干擾性能。有限時間控制可以使函數(shù)投影誤差系統(tǒng)在有限的時間內(nèi)達(dá)到平衡點，不僅減少了控制響應(yīng)時間，也更具有實際工程意義。

函數(shù)投影同步誤差為

(4)

式中：ei(t)∈Rn投影同步誤差的狀態(tài)量；f：D→Rn是D～n維空間D?Rn中的一個連續(xù)函數(shù)，且初始f(0)=0。

定義2如果存在一個時間t*，使混沌電力系統(tǒng)和穩(wěn)定運行電力系統(tǒng)的誤差系統(tǒng)滿足

lim‖ei(t)‖=lim‖xi(t)-α(t)yi(t)‖=0

(5)

‖ei(t)‖=0,t>t*,i=1,2,…,N

(6)

式中： ‖·‖為范數(shù)，則混沌電力系統(tǒng)與穩(wěn)定電力系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)了同步。

定理2若存在一個正定連續(xù)函數(shù)V(x)滿足

(7)

式中：m>0；0<ξ<1是常數(shù)，則對于任意的初始時間，關(guān)于V(t)的如下不等式均成立

V1-ξ(t)≤V1-ξ(t0)-m(1-ξ)(t-t0),t0

(8)

V(t)≡0, ?t>t1

(9)

2 混沌電力系統(tǒng)

電力系統(tǒng)通常用包含系統(tǒng)參數(shù)的高維非線性動力方程組表示，本文以文獻(xiàn)[18-19]提出的三節(jié)點四階電力系統(tǒng)作為研究對象，系統(tǒng)模型如下

(10)

式中：δm為最大功率角；ω為轉(zhuǎn)速；δ為功角；V為電壓；Q1為系統(tǒng)的控制參數(shù)。

研究表明，對于四階電力系統(tǒng)，隨著控制參數(shù)Q1的變化，系統(tǒng)會經(jīng)歷倍周期分岔、霍夫分岔、鞍形分岔及混沌現(xiàn)象等，若參數(shù)變化到一定程度，則會出現(xiàn)電壓和轉(zhuǎn)速崩潰現(xiàn)象。當(dāng)Q1=11.379時電力系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，其相軌跡圖、狀態(tài)變量時序圖、龐加萊截面和功率譜圖見圖1。當(dāng)Q1=11.4時系統(tǒng)電壓崩潰，見圖2。

由圖1(a)和圖1(b)可以看出，混沌運動的狀態(tài)變量都處于不規(guī)則的周期混沌狀態(tài), 由圖1(c)可以看出，龐加萊截面表面呈現(xiàn)密集的點且具有層次結(jié)構(gòu)，映射的結(jié)果反映了電力系統(tǒng)的非線性混沌特征?；煦邕\動是有界非周期運動，由圖1(d)可以看出，功率譜為連續(xù)譜該信號包含高直流分量和低頻分量，功率譜出現(xiàn)寬帶噪聲，是典型的混沌行為特征。從圖2可以看出，隨著Q1的變化，電壓幅值和轉(zhuǎn)速變化緩慢，隨著Q1時間變化，電壓突然下降，發(fā)電機(jī)角速度突然上升，使電力系統(tǒng)處于崩潰狀態(tài)。以上結(jié)果表明，在電力系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，系統(tǒng)電壓、功角等均處于無規(guī)則的運動狀態(tài)，嚴(yán)重威脅電網(wǎng)的穩(wěn)定運行。

圖1 Q1=11.379，電力系統(tǒng)為混沌狀態(tài)

圖2 Q1=11.4，系統(tǒng)崩潰狀態(tài)時序圖

3 混沌電力系統(tǒng)有限時間函數(shù)投影同步控制

3.1 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

有限時間函數(shù)投影控制是基于有限時間穩(wěn)定理論和Lyapunov穩(wěn)定理論，借鑒函數(shù)投影同步思想，提出的電力系統(tǒng)混沌控制方法。該方法通過設(shè)定理想運行狀態(tài)的電力系統(tǒng)為驅(qū)動系統(tǒng)，混沌狀態(tài)的電力系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)，并給定尺度函數(shù)，將混沌電力系統(tǒng)的控制問題轉(zhuǎn)化為混沌系統(tǒng)的同步問題。針對同步誤差設(shè)計控制器u，使驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)同步誤差為0，即混沌電力系統(tǒng)在控制器u的作用下運行于穩(wěn)定狀態(tài)，同時結(jié)合有限時間理論，設(shè)計控制器u使響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)滿足在有限的時間內(nèi)同步誤差趨于0。

當(dāng)Q1=11.379時系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，當(dāng)Q1=0時系統(tǒng)運行在穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定運行時各個狀態(tài)量隨時間的變化曲線，如圖3所示。

圖3 穩(wěn)定運行時各狀態(tài)量隨時間的變化曲線

選取當(dāng)Q1=0時的電力系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，如下

(11)

選取當(dāng)Q1=11.379時，處于混沌運行狀態(tài)的電力系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)，如下

(12)

式中，u1，u2，u3和u4為待設(shè)計的控制器，則有限時間函數(shù)投影同步誤差如下

(13)

式中，α(t)為尺度函數(shù)。對函數(shù)投影同步誤差進(jìn)行求導(dǎo)得

(14)

定理3對于混沌電力系統(tǒng)系統(tǒng)式(12)，設(shè)計如下的控制器可使系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間函數(shù)投影同步控制。

(15)

式中，0

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(16)

對Lyapunov函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得

(17)

將式(11)、式(12)和式(13)代入式(17)得

(18)

又有

(19)

所以

(20)

由以上分析可知，混沌電力系統(tǒng)在控制器式(15)的作用下，可在有限時間內(nèi)實現(xiàn)函數(shù)投影混沌控制。

3.2 數(shù)值仿真

仿真參數(shù)設(shè)置：選取驅(qū)動系統(tǒng)的初始條件為[δm(0),ω(0),δ(0),V(0)]=[0.3,0,0.2,0.97]； 響應(yīng)系統(tǒng)的初始條件為[δm1(0),ω1(0),δ1(0),V1(0)]=[0.3,0,0.2,0.97]， 尺度函數(shù)選擇α(t)=sin(t)+2，E為0.5，仿真時間為150 s。

為了驗證該方法的有效性，在3 s時投入同步控制器，圖4給出了施加控制器后的各個狀態(tài)變量隨時間的變化曲線。 由圖4可以看出，投入控制器后混沌電力系統(tǒng)的四個狀態(tài)迅速響應(yīng)，在極短的時間內(nèi)與穩(wěn)定電力系統(tǒng)的狀態(tài)達(dá)到同步，運行于穩(wěn)定運行狀態(tài)。由圖4(a)～圖4(d)的控制曲線及對應(yīng)的局部放大圖可以看出，在投入同步控制器前，電力系統(tǒng)處于混沌運行狀態(tài)，施加控制器后，施加控制器的混沌電力系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)迅速與穩(wěn)定運行狀態(tài)達(dá)到同步，混沌電力系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定運行狀態(tài)，而未施加控制器的混沌電力系統(tǒng)，仍運行于混沌狀態(tài)。

圖4 施加控制器的混沌電力系統(tǒng)的時間序列圖

圖5給出了有限時間函數(shù)投影同步誤差隨時間變化曲線，由圖5進(jìn)一步可以看出，對響應(yīng)系統(tǒng)施加控制器后，函數(shù)投影同步誤差在極短的時間內(nèi)即可達(dá)到0，表明混沌電力系統(tǒng)在投入控制器后能迅速的同步于穩(wěn)定狀態(tài)的電力系統(tǒng)，實現(xiàn)了混沌控制。

圖5 誤差隨時間的變化曲線

為驗證該控制方法的魯棒性，對受控混沌電力系統(tǒng)施加干擾n(t)=0.001cos(0.2πt)，將干擾施加到系統(tǒng)式(12)的第一個狀態(tài)方程。選擇在3 s時投入同步控制器，圖6給出了有限時間函數(shù)投影同步誤差隨時間變化曲線，圖7給出了施加控制器后的各個狀態(tài)變量隨時間的變化曲線。

圖6 含外部擾動時誤差隨時間的變化曲線

由圖6可以看出，對受到外部干擾的混沌電力系統(tǒng)施加控制器后，誤差信號仍可經(jīng)過短時間的振蕩后衰減到零。由圖7進(jìn)一步可以看出，在有外部噪聲干擾的情況下，施加控制器后，混沌電力系統(tǒng)的各狀態(tài)仍能迅速的與理想狀態(tài)達(dá)到同步。仿真結(jié)果表明,所設(shè)計的有限時間函數(shù)投影控制器對外界干擾具有較好的魯棒性能。

圖7 含外部擾動時施加控制器的混沌電力系統(tǒng)的時間序列圖

有限時間函數(shù)投影同步是利用函數(shù)投影同步思想使混沌電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行于理想狀態(tài)，又結(jié)合有限時間理論保證了控制響應(yīng)時間。該方法結(jié)合了有限時間控制的快速性及函數(shù)投影同步控制的設(shè)計簡單等優(yōu)點，不僅具有很好的控制效果，縮短了控制器響應(yīng)時間，提高了控制器的快速性，而且該方法不需要確定平衡狀態(tài)，根據(jù)函數(shù)投影同步的思想僅需要選擇合適的驅(qū)動系統(tǒng)，靈活性更強(qiáng)。

4 結(jié) 論

本文以四階電力系統(tǒng)為研究對象，利用含有功率擾動項的四階電力系統(tǒng)模型，通過繪制相圖、狀態(tài)序列圖、龐加萊截面以及功率譜圖研究了功率擾動項對系統(tǒng)運動狀態(tài)的影響，驗證了電力系統(tǒng)在一定條件下會發(fā)生混沌行為，且當(dāng)擾動幅值達(dá)到某一值時會引起系統(tǒng)的電壓崩潰。為了提高電力系統(tǒng)的混沌控制效果，簡化控制器的設(shè)計，縮短控制響應(yīng)時間，本文基于有限時間穩(wěn)定理論和函數(shù)投影同步思想，設(shè)計了有限時間函數(shù)投影混沌控制器，將混沌電力系統(tǒng)與理想狀態(tài)電力系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)完全同步，間接的實現(xiàn)了電力系統(tǒng)的混沌控制。理論上證明了該控制器的正確性，數(shù)值仿真進(jìn)一步驗證了所設(shè)計控制器可快速、有效的實現(xiàn)電力系統(tǒng)的混沌控制，并驗證了該控制器對外部干擾的強(qiáng)魯棒性。