王 吉， 高芳清,2

(1. 西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031；2. 西南交通大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031)

彈性地基上矩形薄板作為一種常用的結(jié)構(gòu)單元，廣泛應(yīng)用于工程建設(shè)中，如航天發(fā)射場(chǎng)坪、碼頭平臺(tái)、高速公路剛性路面等。在彈性地基的研究中，雙參數(shù)地基模型不僅改進(jìn)了Winkler地基不連續(xù)的缺陷，在數(shù)學(xué)處理上也比彈性半空間模型簡(jiǎn)單，同時(shí)也能較好地模擬土體的力學(xué)性能[1]。因此，雙參數(shù)地基模型受到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)雙參數(shù)地基上矩形板的振動(dòng)問題進(jìn)行了大量的研究[2-7]。Yang[8]基于Vlazov假定考慮了板外域地基沉降，利用有限元方法研究了雙參數(shù)地基上四邊自由矩形薄板的彎曲問題。竹學(xué)葉等[9]通過變分法導(dǎo)出了雙參數(shù)地基上自由矩形薄板的邊界條件，并用有限元方法對(duì)該問題進(jìn)行了分析。Lam等[10]將格林函數(shù)應(yīng)用到研究雙參數(shù)地基上一組對(duì)邊簡(jiǎn)支另一組對(duì)邊任意的矩形薄板自由振動(dòng)問題上，但理論建模中對(duì)含自由邊界的情況未考慮板外域地基沉降的影響。Trong[11]利用有限差分法研究了不同邊界條件下Winkler地基和雙參數(shù)地基上矩形薄板的彎曲問題，并基于Vlazov假定研究了雙參數(shù)地基上四邊自由矩形板的彎曲問題。楊端生等[12]針對(duì)雙參數(shù)地基上正交異性矩形薄板的穩(wěn)定和振動(dòng)問題給出了一般解析解，同樣未考慮板外域地基沉降的影響。

目前，關(guān)于雙參數(shù)地基上板結(jié)構(gòu)的研究?jī)H局限于三種經(jīng)典邊界條件的組合形式，且對(duì)不同的邊界條件，需重新假設(shè)位移函數(shù)，求解過于復(fù)雜且缺乏統(tǒng)一性。同時(shí)，因邊界條件的局限性，現(xiàn)有關(guān)于雙參數(shù)地基上含自由邊界或彈性邊界矩形薄板振動(dòng)問題的研究，忽略了板外域地基的沉降，而結(jié)構(gòu)在該類邊界上彎曲位移不為零，將導(dǎo)致基底壓力向地基板外域傳遞和擴(kuò)散，忽略其影響會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，且誤差值對(duì)地基參數(shù)極為敏感。

因此，本文針對(duì)雙參數(shù)地基上任意邊界矩形薄板的彎曲振動(dòng)問題進(jìn)行研究，基于Kirchhoff薄板理論，采用改進(jìn)Fourier級(jí)數(shù)方法[13-14]來描述彎曲位移函數(shù)，以嚴(yán)格滿足任意邊界上位移協(xié)變條件和力的平衡條件；通過豎向和扭轉(zhuǎn)方向的彈性組件及其參數(shù)設(shè)定來模擬邊界約束類別與狀態(tài)；根據(jù)Vlazov假定[15]，分別將雙參數(shù)地基板外域的沉降表示為板邊、板角的位移和一個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)的乘積；結(jié)合Hamilton原理，建立可統(tǒng)一解決雙參數(shù)地基上任意邊界矩形薄板彎曲振動(dòng)問題的分析模型。通過參數(shù)化分析，并與文獻(xiàn)結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法具有較快的收斂速度和較高的計(jì)算精度；在此基礎(chǔ)上，研究了不同自由邊界數(shù)組合和彈性邊界下地基沉降對(duì)振動(dòng)特性的影響。

1 理論模型

1.1 Vlazov地基模型簡(jiǎn)介

對(duì)于單一薄壓縮層和抗剪強(qiáng)度較低的軟土質(zhì)地基，單參數(shù)的Winkler地基模型較為適用，其采用相互獨(dú)立且均勻分布的豎向彈簧單元模擬地基作用，并假設(shè)土介質(zhì)表面任一點(diǎn)處的位移w與作用在該點(diǎn)的應(yīng)力q成正比，而與作用在其他各點(diǎn)的應(yīng)力無關(guān)，其表達(dá)式為

kw(x,y)=q(x,y)

(1)

式中，k為地基反力系數(shù)，也可稱為基床系數(shù)。

對(duì)于密實(shí)厚土層或整體巖石土層的分析，Winkler地基模型忽略了土體間存在的相互剪切作用。為更好地模擬土體的連續(xù)性，雙參數(shù)地基模型采用兩個(gè)獨(dú)立的彈性參數(shù)分別表示土體的抗壓和剪切性能，且經(jīng)適當(dāng)?shù)膮?shù)選取能夠恰當(dāng)?shù)孛枋龅鼗牧W(xué)性能。

雙參數(shù)地基模型中Vlazov模型的兩個(gè)地基參數(shù)物理意義明確，且理論體系嚴(yán)密，所以本文主要針對(duì)Vlazov地基模型進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。

該模型從彈性力學(xué)空間問題的基本方程出發(fā)，對(duì)于平面尺寸為無限大，豎向?yàn)橛邢藁驘o限深度的彈性層，假設(shè)其豎向位移沿豎向按某一設(shè)定的函數(shù)關(guān)系變化，其土體特征函數(shù)表示為

kw(x,y)-2t?2w(x,y)=q(x,y)

(2)

式中，k和2t分別為地基的壓縮基床系數(shù)和剪切基床系數(shù)。從式(1)和式(2)可看出，當(dāng)剪切基床系數(shù)2t趨于零時(shí)，雙參數(shù)地基模型將轉(zhuǎn)化為Winkler地基模型。其中，k，2t與地基彈性模量Es，泊松比μs，地基深度H及地基豎向位移沿豎向的變化函數(shù)h(z)有關(guān)，可表示為

(3)

(4)

Vlazov和Leontiev提出了多種豎向變化函數(shù)，如按線性函數(shù)或指數(shù)函數(shù)變化

(5)

式中：γ為地基相關(guān)常數(shù)；L為結(jié)構(gòu)某一特征尺寸。

目前，對(duì)于雙參數(shù)地基中兩參數(shù)的確定需要通過大量的實(shí)驗(yàn)方法得到，而本文重點(diǎn)針對(duì)雙參數(shù)地基上任意邊界矩形薄板的振動(dòng)建模方法進(jìn)行研究。因此，本文對(duì)雙參數(shù)地基的壓縮基床系數(shù)k和剪切基床系數(shù)2t的確定方法不做研究，在參數(shù)化分析中直接引用文獻(xiàn)中的數(shù)值進(jìn)行分析。

1.2 雙參數(shù)地基上任意邊界矩形薄板振動(dòng)理論建模

雙參數(shù)地基上的矩形薄板沿邊界處采用均勻分布的豎向彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧來模擬邊界約束作用，如圖1所示。通過改變彈性組件參數(shù)實(shí)現(xiàn)各類邊界條件的設(shè)定，以x=0邊界為例，如表1所示，表中邊界條件通過設(shè)置約束彈簧剛度的指數(shù)系數(shù)ks進(jìn)行模擬。

圖1 矩形薄板彎曲振動(dòng)模型

表1 彈性組件參數(shù)與邊界條件關(guān)系

為得到雙參數(shù)地基上矩形薄板的彎曲振動(dòng)方程，采用Hamilton原理進(jìn)行建模，其方程可表示為

(6)

式中：T為系統(tǒng)的總動(dòng)能；V為系統(tǒng)的總勢(shì)能。

系統(tǒng)的總勢(shì)能V可表示為

V=Vbending+Vspring+Vfoundation,in+Vfoundation,out

(7)

式中：Vbending為其上矩形薄板的彎曲勢(shì)能；Vspring為邊界約束彈簧的彈性勢(shì)能；Vfoundation,in為板內(nèi)地基的變形勢(shì)能；Vfoundation,out為板外域地基的變形勢(shì)能。

基于Kirchhoff薄板理論，圖1中矩形薄板的彎曲勢(shì)能和邊界約束彈簧的彈性勢(shì)能可具體表示為

(8)

(9)

式中：kx0,kxa,Kx0,Kxa分別為x=0和x=a邊界上的豎向彈簧剛度和扭轉(zhuǎn)彈簧剛度；ky0,kyb,Ky0,Kyb分別為y=0和y=b邊界上的豎向彈簧剛度和扭轉(zhuǎn)彈簧剛度；D=Eh3/(12(1-μ2))為板的彎曲剛度。

雙參數(shù)地基中，由于土體間存在相互剪切作用，會(huì)導(dǎo)致基底壓力向周邊傳遞和擴(kuò)散。因此，除考慮板內(nèi)地基的變形勢(shì)能外，還需考慮板外域地基的變形勢(shì)能。板內(nèi)地基變形勢(shì)能[16]為

(10)

針對(duì)板外域地基的變形勢(shì)能，可將板外地基分為八個(gè)區(qū)域，如圖2所示，圖中區(qū)域Ω1，Ω2和Ω4的公共交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。

圖2 雙參數(shù)地基系統(tǒng)板外域地基沉降

根據(jù)Vlazov假定，分別將每個(gè)區(qū)域的沉降表示為板邊、板角的位移和一個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)的乘積，如表2所示。

表2 板外域位移函數(shù)表達(dá)式

板外域地基應(yīng)變能為

(11)

系統(tǒng)的總動(dòng)能具體表達(dá)式為

(12)

式中：ω為角頻率；ρ，h，μ分別為板的密度、厚度和泊松比。

1.3 彎曲位移函數(shù)的改進(jìn)Fourier級(jí)數(shù)表達(dá)式

為模擬彈性邊界條件，本文引入改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法，使彎曲位移函數(shù)能夠嚴(yán)格滿足任意邊界條件，其表達(dá)式為

(13)

式中：λam=mπ/a；λbn=nπ/b； 與x相關(guān)的輔助函數(shù)ξia(x)可表示為

(14)

(15)

(16)

(17)

式(14)～式(17)需滿足ξ′1a(0)=ξ′1a(a)=ξ?1a(0)=ξ?1a(a)=1，且其他一階和三階導(dǎo)數(shù)沿x=0和x=a邊界都為零。相應(yīng)地，輔助函數(shù)ξib(y)可將式(14)～式(17)中a和x分別替換為b和y。通過輔助函數(shù)的引入，可將彎曲位移函數(shù)在邊界處關(guān)于x和y的一階和三階偏導(dǎo)潛在的不連續(xù)有效地轉(zhuǎn)移到輔助項(xiàng)，從而改善級(jí)數(shù)的收斂性。

將彎曲位移函數(shù)(13)代入Hamilton方程式(6)中，并對(duì)未知的Fourier系數(shù)求極值，可以得到一個(gè)線性方程組，將其寫成矩陣表達(dá)式為

(K-ω2M)A=0

(18)

式中：A為位移函數(shù)w(x,y)中二維Fourier級(jí)數(shù)和輔助級(jí)數(shù)的未知系數(shù)向量，其形式為

(19)

K，M分別為雙參數(shù)地基上矩形薄板彎曲振動(dòng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，其形式分別為

(20)

(21)

為表述簡(jiǎn)潔，下列僅給出剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M第1行第1列的子矩陣表達(dá)式，類似地，可表述出其他子矩陣表達(dá)式。表達(dá)式中，將引入新的符號(hào)來描述子矩陣中每一元素的位置，s=m(N+1)+n+1，l=m1(N+1)+n1+1，m=0,1,…,M，n=0,1,…,N，m1=0,1,…,M，n1=0,1,…,N，M，N表示展開級(jí)數(shù)的截?cái)鄶?shù)。

(22)

(23)

2 參數(shù)化分析

為檢驗(yàn)本文方法的收斂性，通過求解矩陣表達(dá)式(18)，得到了雙參數(shù)地基上矩形薄板在FFFF邊界下截?cái)鄶?shù)M和N取不同值時(shí)的無量綱固有頻率，如表3所示。其中，F(xiàn)FFF表示邊界x=0，x=a，y=0，y=b上均為自由。為評(píng)價(jià)收斂精度，表中同時(shí)給出了相對(duì)誤差，表示當(dāng)截?cái)鄶?shù)取相鄰的兩整數(shù)時(shí)前六階頻率的最大相對(duì)誤差(最大相對(duì)誤差=max{[(Ωj)Z-(Ωj)Z+1]/(Ωj)Z+1×100%}，其中，(Ωj)Z表示截?cái)鄶?shù)M=N=Z時(shí)，系統(tǒng)第j階無量綱固有頻率)。從表中可知，當(dāng)M=N>3時(shí)，最大相對(duì)誤差趨于零，求解結(jié)果趨于穩(wěn)定。

表3 雙參數(shù)地基上FFFF矩形薄板在不同截?cái)鄶?shù)下的無量綱固有頻率

探究彈性約束邊界和地基沉降對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響(考慮板外域地基沉降時(shí)k=k1, 2t=2t1，不考慮板外域地基沉降時(shí)k≠k1=0, 2t≠2t1=0)，考慮豎向彈簧剛度系數(shù)kx0=kxa=ky0=kyb=D×10ks，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)均為零，繪制有無地基沉降下系統(tǒng)基頻隨豎向彈簧剛度系數(shù)的變化曲線，如圖3所示，標(biāo)記為“豎有/無沉降”；扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)Kx0=Kxa=Ky0=Kyb=D×10ks，豎向彈簧剛度系數(shù)均為零，繪制有無地基沉降下系統(tǒng)基頻隨扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)的變化曲線，如圖3所示，標(biāo)記為“扭有/無沉降”；豎向和扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)一致性變化kx0=kxa=ky0=kyb=Kx0=Kxa=Ky0=Kyb=D×10ks，繪制有無地基沉降下系統(tǒng)基頻隨兩類彈簧剛度系數(shù)的變化曲線，如圖3所示，標(biāo)記為“合有/無沉降”。

從圖3中可知，約束彈簧剛度系數(shù)大于D×106(數(shù)值上≈5×1010)時(shí)，結(jié)構(gòu)基頻保持恒定，且板外域地基幾乎不會(huì)產(chǎn)生沉降，以下分析中，可取該值模擬剛性約束；約束彈簧剛度系數(shù)小于D×104(≈5×108)時(shí)，不考慮板外域地基沉降對(duì)結(jié)果影響較大，且隨約束彈簧剛度系數(shù)的減小而增加；相較扭轉(zhuǎn)彈簧，板外域地基沉降產(chǎn)生的影響對(duì)豎向彈簧剛度系數(shù)的變化更為敏感。

圖3 邊界約束彈簧剛度系數(shù)和地基沉降對(duì)系統(tǒng)基頻的影響曲線

表4 Winkler地基上不同邊界矩形薄板的無量綱固有頻率

為進(jìn)一步檢驗(yàn)本文方法的準(zhǔn)確性，分別給出雙參數(shù)地基上SSSS,SCSC, SSSC, SSCF, SSSF, SFSF矩形薄板第一階和第六階無量綱頻率，并將Lam等方法的結(jié)果與本文方法進(jìn)行對(duì)比。需要特別說明的是，Lam等的建模方法中并未考慮板外域地基的沉降，即k≠k1=0, 2t≠2t1=0。綜合表5和表6可知，最大相對(duì)誤差為0.310%，兩種結(jié)果吻合良好，進(jìn)而驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

表5 雙參數(shù)地基上矩形薄板在不同邊界條件下的第一階固有頻率

表6 雙參數(shù)地基上矩形薄板在不同邊界條件下的第六階固有頻率

基于以上研究，將進(jìn)一步探究雙參數(shù)地基系統(tǒng)在不同自由邊界數(shù)組合下板外域地基沉降對(duì)固有頻率的影響。通過數(shù)值求解，分別給出了考慮地基沉降和不考慮地基沉降情況下SSSF，SFSF，SSFF，SFFF，F(xiàn)FFF邊界條件下系統(tǒng)的基頻，如表7所示。表中，給出兩種結(jié)果的相對(duì)偏差，以評(píng)價(jià)地基沉降的影響效果。

從表7中可知，F(xiàn)FFF邊界的基頻相對(duì)偏差最大，為28.15%。即，含自由邊界數(shù)越多，相對(duì)偏差越大，地基沉降影響越大；自由邊界數(shù)相同但位置分布不同的SFSF與SSFF結(jié)果相比，SSFF邊界條件下偏差更大，這是因?yàn)镾SFF邊界下，不僅需要考慮自由邊上的地基沉降，還需考慮兩相鄰自由邊角點(diǎn)域的地基沉降。

表7 雙參數(shù)地基上不同自由邊界數(shù)及位置分布的矩形薄板基頻

3 結(jié) 論

(1) 本文針對(duì)雙參數(shù)地基上矩形薄板的彎曲振動(dòng)問題，基于改進(jìn)Fourier級(jí)數(shù)方法和Vlazov假定，提出了一種使其能在任意邊界條件下考慮板外域地基沉降的振動(dòng)分析方法。通過數(shù)值算例，并與文獻(xiàn)結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本方法具有較快的收斂速度(M=N>3時(shí)結(jié)果趨于穩(wěn)定)和較高的計(jì)算精度(誤差小于0.353%)。

(2) 不考慮板外域地基沉降對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率影響較大，且隨約束彈簧剛度系數(shù)的減小而增加；當(dāng)約束彈簧剛度系數(shù)大于D×1010(數(shù)值上≈5×1010)時(shí)，板外域地基幾乎不再產(chǎn)生沉降；相較扭轉(zhuǎn)彈簧，板外域地基沉降產(chǎn)生的影響對(duì)豎向彈簧剛度系數(shù)的變化更為敏感。

(3) 通過參數(shù)化分析，本模型可適用于Winkler地基上任意邊界矩形薄板振動(dòng)問題的研究，拓展了本模型的適用范圍。

(4) 探究不同自由邊界數(shù)組合下板外域地基沉降對(duì)固有頻率的影響發(fā)現(xiàn)，僅含一條自由邊界時(shí)，不考慮板外域地基沉降產(chǎn)生的誤差為9.83%，且誤差值隨自由邊界數(shù)的增加而增加；自由邊界數(shù)相同但位置分布不同時(shí)，含相鄰自由邊界產(chǎn)生的誤差更大。