劉 濤 楊煒明 胡瑞婷

（重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067）

一、引言

黨的十九大報告指出：“在我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)的背景下，宏觀調(diào)控牢牢把握速度變化、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、動能轉(zhuǎn)換三大特征，不斷調(diào)適理念、調(diào)適政策、調(diào)適方法強化經(jīng)濟形勢監(jiān)測預(yù)測和政策措施預(yù)研儲備，加強宏觀政策組合運用，更加注重市場行為和社會預(yù)測，宏觀調(diào)控各項指標符合預(yù)測?！蹦壳拔覈堰M入新發(fā)展階段，如何實現(xiàn)經(jīng)濟穩(wěn)步發(fā)展成為國家當前面臨的難題。這就需要對我國宏觀經(jīng)濟指標進行短期預(yù)測，以此防范各種突發(fā)情況帶來的不確定性。而在眾多的宏觀經(jīng)濟指標中又以GDP尤為重要，GDP反映一個國家或地區(qū)的綜合經(jīng)濟實力和市場規(guī)模，是國民經(jīng)濟核算體系中的核心指標之一。因此對GDP進行預(yù)測，對于國家宏觀調(diào)控以及政策引導(dǎo)都具有重要意義。

Clements和Galvao在2005年首次將MIDAS模型應(yīng)用于宏觀經(jīng)濟領(lǐng)域。Marcellino和Schumacher在2007年將因子分析模型引入到MIDAS模型中，并發(fā)現(xiàn)MIDAS模型在短期預(yù)測中的預(yù)測效果良好。Clements和Galvao在2008年基于季度GDP和月度非農(nóng)就業(yè)總額，應(yīng)用MIDAS-AR模型來預(yù)測下一季度GDP增長率，結(jié)果顯示MIDAS-AR模型在宏觀經(jīng)濟總量的短期預(yù)測相比傳統(tǒng)計量模型更具優(yōu)勢。Hogrefe在2008年比較單頻、混頻以及插值法在美國GDP修訂數(shù)據(jù)中的優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)MIDAS模型在樣本外的預(yù)測精度最好。劉金全、劉漢等在2010年探尋MIDAS模型對中國宏觀經(jīng)濟的實證分析中提出遇到混頻數(shù)據(jù)時，應(yīng)優(yōu)先考慮使用混頻數(shù)據(jù)模型。劉漢、劉金全在2011年應(yīng)用MIDAS模型對中國宏觀經(jīng)濟總量進行實時預(yù)報和短期預(yù)測，發(fā)現(xiàn)MIDAS模型對中國宏觀經(jīng)濟總量的短期預(yù)測精度較高，預(yù)測結(jié)果具有顯著的可行性和時效性。張旭和劉曉星在應(yīng)用MIDAS模型時，利用AIC信息準則選取最優(yōu)模型，最終得出MIDAS在貨幣政策中的應(yīng)用是有效的，能有效提高貨幣政策估計效果。

在近十年的混頻數(shù)據(jù)模型研究中，大部分混頻數(shù)據(jù)模型都是直接給定固定的滯后階數(shù)或直接選取多項式權(quán)重函數(shù)來研究不同的經(jīng)濟問題，并沒有討論滯后階數(shù)的最優(yōu)值以及最優(yōu)多項式權(quán)重函數(shù)的選取。本文選取2000年第一季度至2017年第四季度的宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)，選取2000年第一季度至2017年第二季度的數(shù)據(jù)構(gòu)建MIDAS模型，應(yīng)用混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（MIDAS）預(yù)測中國2017年第三季度和第四季度GDP，在給定滯后階數(shù)范圍（k從3到10）并賦予高頻解釋變量不同的多項式權(quán)重函數(shù)來討論混頻數(shù)據(jù)模型的預(yù)測精度，在AIC信息準則下選取最優(yōu)的MIDAS預(yù)測模型時發(fā)現(xiàn)：AIC值最小的模型預(yù)測精度并不是最優(yōu)模型。故討論在最優(yōu)滯后階數(shù)的情況下，對比AIC最小模型和其他多項式權(quán)重函數(shù)模型的預(yù)測精度，給出預(yù)測精度最好的模型并進行短期預(yù)測。

二、研究方法及模型簡介

混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（MIDAS）由Ghysels在2004年首次提出，加入高頻解釋變量后能有效提升時間序列的預(yù)測精度，并在2013年利用MIDAS模型來預(yù)測下一季度的GDP。MIDAS模型源于分布滯后模型，基本思想為：按變量出現(xiàn)的頻率將變量歸類為高頻變量和低頻變量，通過多項式權(quán)重函數(shù)對高頻變量和低頻變量建立回歸模型，在非線性最小二乘法估計的情況下，對低頻數(shù)據(jù)變量進行解釋和預(yù)測。

本文先介紹單變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型，在單變量的基礎(chǔ)上，衍生到多變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型。

（一）單變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型

單變量MIDAS模型是MIDAS模型中最簡單的一種形式，該模型是針對一個高頻數(shù)據(jù)變量和一個低頻被解釋變量之間使用多項式權(quán)重函數(shù)來建立回歸模型，應(yīng)用非線性最小二乘法對模型進行估計，從而實現(xiàn)高頻數(shù)據(jù)變量對低頻被解釋變量的預(yù)測。

單變量MIDAS（m，k）模型基本表達式如下：

在目前的理論研究中，存在四種不同的參數(shù)化多項式函數(shù)，分別為Beta、Almon、指數(shù)Almon和步函數(shù)四種多項式函數(shù)。Ghysels曾在2007年給出以上四種權(quán)重多項式函數(shù)的形式，具體表達式如下：

1.Beta多項式：

2.Almon滯后多項式：

3.指數(shù)Almon滯后多項式：

4.步函數(shù)多項式：

（二）混頻抽樣自回歸模型

由于經(jīng)濟系統(tǒng)中的指標數(shù)據(jù)往往存在慣性，并且時間序列中前一期數(shù)據(jù)和后一期數(shù)據(jù)也存在自相關(guān)關(guān)系，因此我們在混頻數(shù)據(jù)抽樣模型中加入自回歸項。在MIDAS模型中引入一階自回歸項的h步預(yù)測的AR-MIDAS模型表達式如下：

（三）多元混頻數(shù)據(jù)抽樣（M（n）-MIDAS）模型

在單變量MIDAS模型基礎(chǔ)之上，引入多個高頻解釋變量，擴展為多元MIDAS模型，表達式如下：

（四）多元混頻數(shù)據(jù)抽樣自回歸（M（n）-MIDASAR）模型

當考慮到低頻被解釋變量可能存在自相關(guān)性時，那么在M（n）-MIDAS模型中引入自回歸因子，則M（n）-MIDAS-AR模型表達式如下

其中，n為高頻解釋變量的數(shù)量，p為滯后階數(shù)，對于解釋變量xi（m）應(yīng)單獨設(shè)定其多項式函數(shù)形式和參數(shù)變量 θi來估計 β1i。

（五）MIDAS模型的估計方法

Ghysels在2004年提出混頻數(shù)據(jù)模型時就嘗試使用NLS（非線性最小二乘估計）方法估計單變量和多變量MIDAS模型中的參數(shù)，假定在參數(shù)變量為θ的情況下，通過NLS可以得出：

其中，xt-h（θ）=[1，W（L1/m；θ）xt-h（m）]，β=（β0，β1）'在優(yōu)化前需要給出約束條件：θ1≤300，θ2≤0，再通過給參數(shù)θ設(shè)定不同的取值來檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化過程和初始取值之間相互獨立。

（六）hah_test及AIC信息準則

hah_test是測試滯后項和權(quán)重函數(shù)對MIDAS回歸系數(shù)的約束是否成立。給出MIDAS模型的約束：

檢驗以下約束成立的原假設(shè)為：θ=g（h，λ），h=0，1，…，K，K+1，…，m

AIC信息準則用于體現(xiàn)估計模型的復(fù)雜度和數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)良性，在當下研究中主要作為衡量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)度的一個標準。通常情況下：

K為參數(shù)變量的數(shù)量，L為模型的極大似然函數(shù)。AIC準則假設(shè)模型誤差是服從獨立正態(tài)分布，研究表明增加變量個數(shù)可以達到提高模型擬合精度的效果，AIC信息準則是在保證數(shù)據(jù)擬合良好的情況下盡量避免出現(xiàn)過度擬合的情況，所以優(yōu)先考慮AIC值最小的模型。AIC信息準則是用來尋找最少的自由參數(shù)同時具有最優(yōu)解釋數(shù)據(jù)的模型。

三、實證分析

當下的宏觀經(jīng)濟發(fā)展系統(tǒng)中，有眾多影響季度GDP的指標。劉漢、劉金全2011年發(fā)表的中國宏觀經(jīng)濟總量的實時預(yù)報與短期預(yù)測，李正輝、鄭玉航2015年發(fā)表的基于混頻數(shù)據(jù)模型的中國經(jīng)濟周期區(qū)制檢測等研究文章，提出固定資產(chǎn)投資、出口額、社會消費品零售總額、規(guī)模以上工業(yè)增加值、稅收總額、居民消費價格指數(shù)以及貨幣供應(yīng)量等指標對季度GDP的影響效果最為顯著。古典經(jīng)濟學(xué)認為GDP主要由投資、出口、消費“三駕馬車”共同影響。根據(jù)國家統(tǒng)計局和中國經(jīng)濟信息網(wǎng)公布的信息，GDP按季度發(fā)布，而固定資產(chǎn)投資、出口、社會消費品零售總額等指標按月度發(fā)布。由于以上數(shù)據(jù)的頻率不同并且公布時間也各不相同，導(dǎo)致無法對目前實際的GDP增長狀態(tài)和未來的經(jīng)濟發(fā)展形勢做出準確的預(yù)測和判斷。因此，本文采用國家統(tǒng)計局最新公布的高頻月度數(shù)據(jù)，應(yīng)用Ghysels提出的MIDAS混頻數(shù)據(jù)模型，并通過構(gòu)建不同的滯后項多項式來實現(xiàn)對GDP總額的短期預(yù)測并對預(yù)測精度進行比較。

（一）數(shù)據(jù)來源及處理方法

本文選取季度GDP作為低頻被解釋變量，選取固定資產(chǎn)投資、社會消費品零售總額和出口額作為影響季度GDP總額的高頻解釋變量。使用2000年第一季度至2017年第四季度的實際GDPμ以及2000年1月至2017年12月的社會消費品零售總額x1，t、出口額x2，t和固定資產(chǎn)投資總額x3，t來構(gòu)建混頻數(shù)據(jù)模型。本文對所有數(shù)據(jù)進行了取對數(shù)、差分等平穩(wěn)化處理。

本文首先采用單變量MIDAS（m，k）分別構(gòu)建季度GDP，μ 與單個解釋變量 xi，t（i=1，2，3） 的混頻數(shù)據(jù)模型，選取2000年第一季度至2017年第二季度的數(shù)據(jù)構(gòu)建MIDAS模型，預(yù)測2017年第三季度和第四季度的GDP，在AIC最小準則下確定最優(yōu)滯后階數(shù)K，再加入不同的多項式權(quán)重函數(shù)對數(shù)據(jù)進行預(yù)測并比較分析。其次，構(gòu)建多變量 M（n）-MIDAS（m，K，h）模型，選取不同權(quán)重函數(shù)對模型進行預(yù)測并對比。最后，引入低頻變量的自回歸項，構(gòu)建多變量的M（n）-MIDAS（m，K，h）-AR（p）模型，在 AIC準則下賦予高頻解釋變量最優(yōu)的滯后階數(shù)，對比不同多項式權(quán)重函數(shù)的情況下 M（n）-MIDAS（m，K，h）-AR（p）模型在當前數(shù)據(jù)內(nèi)的預(yù)測精度。

（二）單變量MIDAS模型及預(yù)測

MIDAS模型在預(yù)測時須先確定高頻解釋變量的最優(yōu)滯后階數(shù)K和最優(yōu)權(quán)重多項式函數(shù)。最新的理論研究表明，選擇的滯后階數(shù)越長越能體現(xiàn)信息的完整性，估計模型的顯著性越高，預(yù)測的精度更好。但是高頻解釋變量的滯后階數(shù)太長會導(dǎo)致數(shù)據(jù)的損失，長滯后階數(shù)在高頻金融數(shù)據(jù)中相對更具有可行性，但是宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)的滯后長度都較短，如果也取較長的滯后階數(shù)，會導(dǎo)致用于MIDAS模型的樣本數(shù)據(jù)減少，反而會影響到模型的估計值和預(yù)測精度。并且不同的權(quán)重多項式函數(shù)對模型的估計不同，Almon多項式函數(shù)在金融市場波動的預(yù)測中使用較多，指數(shù)Almon和Beta多項式函數(shù)在宏觀經(jīng)濟分析和預(yù)測中應(yīng)用較多，不同多項式函數(shù)的MIDAS模型預(yù)測的精度也各不相同。本文在選擇高頻解釋變量的滯后階數(shù)和權(quán)重多項式函數(shù)時，滯后階數(shù)從3階一直取到10階，權(quán)重函數(shù)分別取 beta、Almon、指數(shù) Almon，并通過 AIC信息準則，取出最優(yōu)滯后階數(shù)K和最優(yōu)的多項式函數(shù)，并對比最優(yōu)滯后階數(shù)K下最優(yōu)多項式和其余多項式函數(shù)模型的預(yù)測精度。

1.單變量MIDAS（m，k）模型的估計與預(yù)測

首先，本文分別建立季度GDPμ與單個解釋變量xi，t（i=1，2，3）的混頻數(shù)據(jù)模型，混頻數(shù)據(jù)圖形見圖1。

圖1 MIDAS模型中的混頻數(shù)據(jù)圖形

然后列出所有模型的AIC.restricted、AIC.unrestricted、BIC.restricted、BIC.unrestricted以及hah_test等參數(shù)值，通過AIC.restricted曲線確定最小值，從而確定季度GDP和社會消費品零售總額、出口額和固定資產(chǎn)投資的最優(yōu)滯后階數(shù)和最優(yōu)權(quán)重函數(shù)，圖2為AIC趨勢圖。

圖2 AIC趨勢圖

遵循AIC最小準則，我們篩選出單變量MIDAS對應(yīng)的最優(yōu)模型。

表2 AIC準則下的最優(yōu)滯后階數(shù)

社會消費品零售總額x1，t的最優(yōu)滯后階數(shù)K1=5，最優(yōu)權(quán)重函數(shù)為指數(shù)almon函數(shù)。hah_test的值大于臨界值 0.05，為 0.189，說明模型約束充分；出口額 x2，t的最優(yōu)滯后階數(shù)K2=5，最優(yōu)權(quán)重函數(shù)為beta函數(shù)，hah_test值為0.380，大于臨界值，表明模型約束充分；固定資產(chǎn)投資x3，t的最優(yōu)滯后階數(shù)K3=6，最優(yōu)權(quán)重函數(shù)為指數(shù)almon函數(shù)，hah_test值為0.945，模型約束充分。

在最優(yōu)滯后階數(shù)確定的情況下，本文分別選取指數(shù)almon、almon以及beta等多項式權(quán)重函數(shù)對比預(yù)測精度，選取2000—2017年的數(shù)據(jù)進行樣本內(nèi)估計，對2017年的第三季度和第四季度GDP進行預(yù)測估計，再給出各自模型的預(yù)測值以及樣本內(nèi)樣本外MASE和MAPE等參數(shù)，發(fā)現(xiàn)通過AIC信息準則確定的模型預(yù)測精度并不是最好的。單變量混頻數(shù)據(jù)模型的估計結(jié)果如表3—表5所示，其中：EW表示基于特征值加權(quán)組合后的預(yù)測值；BICW：BIC信息準則加權(quán)后的預(yù)測值；MSFE：均方誤差加權(quán)組合的預(yù)測值；DMSFE：基于MSFE組合的預(yù)測值。

表3 基于單變量MIDAS模型的預(yù)測值

表4 各自模型的EW、BICW、MSFE和DMSFE預(yù)測值

表5 單變量MIDAS模型樣本內(nèi)和樣本外的MSE、MAP值

在AIC信息準則下，x1最優(yōu)多項式權(quán)重函數(shù)為指數(shù)almon，根據(jù)表5可知，x1在指數(shù)almon多項式權(quán)重下樣本外的均方誤差（MSE）為12.154，平均絕對百分比誤差（MAPE）為41.106%，而x1在多項式almon權(quán)重函數(shù)下，樣本外的MSE值為10.522，MAPE為38.294，預(yù)測精度優(yōu)于指數(shù)almon權(quán)重函數(shù)；x2在指數(shù)almon權(quán)重函數(shù)下，樣本外MSE為9.665，MAPE為36.195，預(yù)測精度也優(yōu)于通過AIC信息準則確定的beta權(quán)重函數(shù)；x3在almon權(quán)重函數(shù)中樣本外MSE值為14.435，MAPE為44.802，也比指數(shù)almon權(quán)重函數(shù)的預(yù)測精度更好。并且單變量MIDAS的MAPE值都比較大，預(yù)測的精度并不理想，故下一步使用多變量MIDAS預(yù)測季度GDP，看預(yù)測精度會不會更優(yōu)。

（三）多變量MIDAS模型估計及預(yù)測

在單變量MIDAS模型預(yù)測精度不理想的情況下，我們引入多變量MIDAS模型，將3個高頻解釋變量一起納入混頻數(shù)據(jù)模型中，再對我國季度GDP進行實證研究。本文為估計精度的需要，在AIC信息準則選取的最優(yōu)模型基礎(chǔ)上，還使用不同權(quán)重函數(shù)來估計多變量MIDAS模型的精度，模型估計、樣本預(yù)測以及樣本內(nèi)外所需要的數(shù)據(jù)均與上述單變量MIDAS模型保持一致，下文不再贅述。

1.多變量M（n）-MIDAS模型估計結(jié)果及預(yù)測

在多變量的條件下，滯后階數(shù)k是從3取到10，多項式函數(shù)取指數(shù)almon、almon和beta，故多變量模型一共存在6965種不同組合的模型，通過AIC最小準則，我們篩選出最優(yōu)滯后階數(shù)和權(quán)重函數(shù)分別為：社會消費品零售總額x1，t為滯后10階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)；出口額x2，t為滯后5階的beta權(quán)重函數(shù)；固定資產(chǎn)投資x3，t為滯后8階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)，AIC值最小為398.305，模型的hah_test=0.9667，模型約束充分，然后對比最優(yōu)模型和最優(yōu)滯后階數(shù)下其他模型的預(yù)測精度。因模型滯后階數(shù)以及多項式函數(shù)選取的不同，本文選取具有代表性的五種組合模型，模型及估計結(jié)果如表6、表7、表8所示。

表6 多變量組合模型命名

表7 多變量MIDAS模型在h=1和h=2的預(yù)測值

表8 多變量MIDAS模型樣本外及樣本內(nèi)的MSE、MAPE值

在多變量MIDAS模型中，通過對比樣本外的MSE和MAPE值可知，AIC最小的模型并不是預(yù)測精度最好的模型，在各自高頻解釋變量的最優(yōu)滯后階數(shù)下，當x1取almon加權(quán)函數(shù)，x2取almon加權(quán)函數(shù)，x3取beta加權(quán)函數(shù)時，模型在樣本外的MSE值最小，為3.864，MAPE值為23.181%。相比單變量MIDAS模型，引入更多高頻解釋變量能有效提升模型的預(yù)測精度，但是模型的MAPE值還是較大，若能進一步降低MAPE的值，模型預(yù)測精度將進一步提升。

2.自回歸多變量 MIDAS（AR-M（n）-MIDAS）模型估計及預(yù)測

由于宏觀經(jīng)濟變量大多存在慣性，經(jīng)濟類數(shù)據(jù)大多是時間序列，具有自相關(guān)性，故我們在多向量MIDAS的基礎(chǔ)上引入因變量的自回歸項，構(gòu)建AR-M（n）-MIDAS模型來檢驗?zāi)芊襁M一步提升模型樣本外的預(yù)測精度，模型及估計結(jié)果如表9、表10、表11所示：

表1 變量數(shù)據(jù)及來源

表9 加入自回歸項的多變量組合模型命名

表10 AR-M（n）-MIDAS模型在不同步長值下的預(yù)測值

表11 AR-M（n）-MIDAS樣本內(nèi)外的MSE、MAPE值

圖3 多變量MIDAS模型預(yù)測誤差百分比趨勢

通過上述預(yù)測精度趨勢圖可以看出，在沒加入自回歸項前，多變量MIDAS模型的MSE值和MAPE值都相對較大，通過預(yù)測2017年第3季度和第4季度GDP的預(yù)測誤差來看，誤差值都偏高，短期預(yù)測效果并不理想。再加入自回歸項后，樣本外的MSE和MAPE值都顯著降低，說明模型的預(yù)測精度進一步提升。本次自回歸多變量MIDAS模型共存在6848種不同組合的模型，通過AIC準則確定最優(yōu)模型為：社會消費品零售總額x1，t為滯后10階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)；出口額x2，t為滯后5階的beta權(quán)重函數(shù)；固定資產(chǎn)投資x3，t為滯后6階的指數(shù) Almon權(quán)重函數(shù)，AIC值為 398.305，hah-test值為0.966，模型的約束良好，最優(yōu)模型的MSE值為2.111，MAPE值為17.125%，模型的預(yù)測精度已經(jīng)達到不錯的水平，但是在社會消費品零售總額x1，t為滯后10階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù)，出口額x2，t為滯后5階的almon權(quán)重函數(shù)，固定資產(chǎn)投資x3，t為滯后6階的指數(shù)beta權(quán)重函數(shù)的M（n）-MIDAS-AR模型中，樣本外的MSE值為0.646，MAPE值為8.581%，說明后者模型擬合和預(yù)測的效果更加良好。

四、結(jié)論及建議

在以往的文獻中，混頻數(shù)據(jù)模型的最優(yōu)滯后階數(shù)都是直接給出的，一般都是取 3，6，12，18，24，30 等具體數(shù)字，沒有給出一個范圍并討論范圍中的最優(yōu)滯后階數(shù)，對于學(xué)術(shù)研究而言，給出的滯后階數(shù)并不能代表最優(yōu)的滯后階數(shù)，本文在選取滯后階數(shù)時，先根據(jù)實際情況和經(jīng)濟意義給出滯后階數(shù)的范圍，然后通過AIC信息準則選取最優(yōu)滯后階數(shù)再來討論模型的預(yù)測精度，力求研究的準確性。當下眾多的研究中，很多文獻并沒有告知最優(yōu)多項式如何選取，大部分多項式函數(shù)都是根據(jù)經(jīng)驗或者自己直接給定，并沒有討論高頻解釋變量會因多項式函數(shù)的不同而影響最終的預(yù)測精度。本文實證在AIC最優(yōu)條件下的混頻數(shù)據(jù)模型并不是預(yù)測精度最好的模型，AIC信息準則可以用來確定高頻解釋變量的最優(yōu)滯后階數(shù)，但不能選出最優(yōu)的多項式函數(shù)。在最優(yōu)滯后階數(shù)的情況下，我們可以通過MSE、MAPE以及與預(yù)測誤差等指標來確定最優(yōu)多項式函數(shù)，從而確定預(yù)測精度最好的混頻數(shù)據(jù)模型。對于目前的混頻數(shù)據(jù)模型而言，可以嘗試加入新的數(shù)理統(tǒng)計方法，如采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者蒙德卡羅等方法來檢驗混頻數(shù)據(jù)模型擬合優(yōu)劣以及預(yù)測精度等。◆