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        基于AIC準則的混頻數(shù)據(jù)季度GDP預(yù)測實證研究

        2021-07-21 09:07:10楊煒明胡瑞婷
        統(tǒng)計理論與實踐 2021年6期
        關(guān)鍵詞:模型

        劉 濤 楊煒明 胡瑞婷

        (重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶 400067)

        一、引言

        黨的十九大報告指出:“在我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)的背景下,宏觀調(diào)控牢牢把握速度變化、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、動能轉(zhuǎn)換三大特征,不斷調(diào)適理念、調(diào)適政策、調(diào)適方法強化經(jīng)濟形勢監(jiān)測預(yù)測和政策措施預(yù)研儲備,加強宏觀政策組合運用,更加注重市場行為和社會預(yù)測,宏觀調(diào)控各項指標符合預(yù)測?!蹦壳拔覈堰M入新發(fā)展階段,如何實現(xiàn)經(jīng)濟穩(wěn)步發(fā)展成為國家當前面臨的難題。這就需要對我國宏觀經(jīng)濟指標進行短期預(yù)測,以此防范各種突發(fā)情況帶來的不確定性。而在眾多的宏觀經(jīng)濟指標中又以GDP尤為重要,GDP反映一個國家或地區(qū)的綜合經(jīng)濟實力和市場規(guī)模,是國民經(jīng)濟核算體系中的核心指標之一。因此對GDP進行預(yù)測,對于國家宏觀調(diào)控以及政策引導(dǎo)都具有重要意義。

        Clements和Galvao在2005年首次將MIDAS模型應(yīng)用于宏觀經(jīng)濟領(lǐng)域。Marcellino和Schumacher在2007年將因子分析模型引入到MIDAS模型中,并發(fā)現(xiàn)MIDAS模型在短期預(yù)測中的預(yù)測效果良好。Clements和Galvao在2008年基于季度GDP和月度非農(nóng)就業(yè)總額,應(yīng)用MIDAS-AR模型來預(yù)測下一季度GDP增長率,結(jié)果顯示MIDAS-AR模型在宏觀經(jīng)濟總量的短期預(yù)測相比傳統(tǒng)計量模型更具優(yōu)勢。Hogrefe在2008年比較單頻、混頻以及插值法在美國GDP修訂數(shù)據(jù)中的優(yōu)劣,發(fā)現(xiàn)MIDAS模型在樣本外的預(yù)測精度最好。劉金全、劉漢等在2010年探尋MIDAS模型對中國宏觀經(jīng)濟的實證分析中提出遇到混頻數(shù)據(jù)時,應(yīng)優(yōu)先考慮使用混頻數(shù)據(jù)模型。劉漢、劉金全在2011年應(yīng)用MIDAS模型對中國宏觀經(jīng)濟總量進行實時預(yù)報和短期預(yù)測,發(fā)現(xiàn)MIDAS模型對中國宏觀經(jīng)濟總量的短期預(yù)測精度較高,預(yù)測結(jié)果具有顯著的可行性和時效性。張旭和劉曉星在應(yīng)用MIDAS模型時,利用AIC信息準則選取最優(yōu)模型,最終得出MIDAS在貨幣政策中的應(yīng)用是有效的,能有效提高貨幣政策估計效果。

        在近十年的混頻數(shù)據(jù)模型研究中,大部分混頻數(shù)據(jù)模型都是直接給定固定的滯后階數(shù)或直接選取多項式權(quán)重函數(shù)來研究不同的經(jīng)濟問題,并沒有討論滯后階數(shù)的最優(yōu)值以及最優(yōu)多項式權(quán)重函數(shù)的選取。本文選取2000年第一季度至2017年第四季度的宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù),選取2000年第一季度至2017年第二季度的數(shù)據(jù)構(gòu)建MIDAS模型,應(yīng)用混頻數(shù)據(jù)抽樣模型(MIDAS)預(yù)測中國2017年第三季度和第四季度GDP,在給定滯后階數(shù)范圍(k從3到10)并賦予高頻解釋變量不同的多項式權(quán)重函數(shù)來討論混頻數(shù)據(jù)模型的預(yù)測精度,在AIC信息準則下選取最優(yōu)的MIDAS預(yù)測模型時發(fā)現(xiàn):AIC值最小的模型預(yù)測精度并不是最優(yōu)模型。故討論在最優(yōu)滯后階數(shù)的情況下,對比AIC最小模型和其他多項式權(quán)重函數(shù)模型的預(yù)測精度,給出預(yù)測精度最好的模型并進行短期預(yù)測。

        二、研究方法及模型簡介

        混頻數(shù)據(jù)抽樣模型(MIDAS)由Ghysels在2004年首次提出,加入高頻解釋變量后能有效提升時間序列的預(yù)測精度,并在2013年利用MIDAS模型來預(yù)測下一季度的GDP。MIDAS模型源于分布滯后模型,基本思想為:按變量出現(xiàn)的頻率將變量歸類為高頻變量和低頻變量,通過多項式權(quán)重函數(shù)對高頻變量和低頻變量建立回歸模型,在非線性最小二乘法估計的情況下,對低頻數(shù)據(jù)變量進行解釋和預(yù)測。

        本文先介紹單變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型,在單變量的基礎(chǔ)上,衍生到多變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型。

        (一)單變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型

        單變量MIDAS模型是MIDAS模型中最簡單的一種形式,該模型是針對一個高頻數(shù)據(jù)變量和一個低頻被解釋變量之間使用多項式權(quán)重函數(shù)來建立回歸模型,應(yīng)用非線性最小二乘法對模型進行估計,從而實現(xiàn)高頻數(shù)據(jù)變量對低頻被解釋變量的預(yù)測。

        單變量MIDAS(m,k)模型基本表達式如下:

        在目前的理論研究中,存在四種不同的參數(shù)化多項式函數(shù),分別為Beta、Almon、指數(shù)Almon和步函數(shù)四種多項式函數(shù)。Ghysels曾在2007年給出以上四種權(quán)重多項式函數(shù)的形式,具體表達式如下:

        1.Beta多項式:

        2.Almon滯后多項式:

        3.指數(shù)Almon滯后多項式:

        4.步函數(shù)多項式:

        (二)混頻抽樣自回歸模型

        由于經(jīng)濟系統(tǒng)中的指標數(shù)據(jù)往往存在慣性,并且時間序列中前一期數(shù)據(jù)和后一期數(shù)據(jù)也存在自相關(guān)關(guān)系,因此我們在混頻數(shù)據(jù)抽樣模型中加入自回歸項。在MIDAS模型中引入一階自回歸項的h步預(yù)測的AR-MIDAS模型表達式如下:

        (三)多元混頻數(shù)據(jù)抽樣(M(n)-MIDAS)模型

        在單變量MIDAS模型基礎(chǔ)之上,引入多個高頻解釋變量,擴展為多元MIDAS模型,表達式如下:

        (四)多元混頻數(shù)據(jù)抽樣自回歸(M(n)-MIDASAR)模型

        當考慮到低頻被解釋變量可能存在自相關(guān)性時,那么在M(n)-MIDAS模型中引入自回歸因子,則M(n)-MIDAS-AR模型表達式如下

        其中,n為高頻解釋變量的數(shù)量,p為滯后階數(shù),對于解釋變量xi(m)應(yīng)單獨設(shè)定其多項式函數(shù)形式和參數(shù)變量 θi來估計 β1i。

        (五)MIDAS模型的估計方法

        Ghysels在2004年提出混頻數(shù)據(jù)模型時就嘗試使用NLS(非線性最小二乘估計)方法估計單變量和多變量MIDAS模型中的參數(shù),假定在參數(shù)變量為θ的情況下,通過NLS可以得出:

        其中,xt-h(θ)=[1,W(L1/m;θ)xt-h(m)],β=(β0,β1)'在優(yōu)化前需要給出約束條件:θ1≤300,θ2≤0,再通過給參數(shù)θ設(shè)定不同的取值來檢驗?zāi)P蛢?yōu)化過程和初始取值之間相互獨立。

        (六)hah_test及AIC信息準則

        hah_test是測試滯后項和權(quán)重函數(shù)對MIDAS回歸系數(shù)的約束是否成立。給出MIDAS模型的約束:

        檢驗以下約束成立的原假設(shè)為:θ=g(h,λ),h=0,1,…,K,K+1,…,m

        AIC信息準則用于體現(xiàn)估計模型的復(fù)雜度和數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)良性,在當下研究中主要作為衡量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)度的一個標準。通常情況下:

        K為參數(shù)變量的數(shù)量,L為模型的極大似然函數(shù)。AIC準則假設(shè)模型誤差是服從獨立正態(tài)分布,研究表明增加變量個數(shù)可以達到提高模型擬合精度的效果,AIC信息準則是在保證數(shù)據(jù)擬合良好的情況下盡量避免出現(xiàn)過度擬合的情況,所以優(yōu)先考慮AIC值最小的模型。AIC信息準則是用來尋找最少的自由參數(shù)同時具有最優(yōu)解釋數(shù)據(jù)的模型。

        三、實證分析

        當下的宏觀經(jīng)濟發(fā)展系統(tǒng)中,有眾多影響季度GDP的指標。劉漢、劉金全2011年發(fā)表的中國宏觀經(jīng)濟總量的實時預(yù)報與短期預(yù)測,李正輝、鄭玉航2015年發(fā)表的基于混頻數(shù)據(jù)模型的中國經(jīng)濟周期區(qū)制檢測等研究文章,提出固定資產(chǎn)投資、出口額、社會消費品零售總額、規(guī)模以上工業(yè)增加值、稅收總額、居民消費價格指數(shù)以及貨幣供應(yīng)量等指標對季度GDP的影響效果最為顯著。古典經(jīng)濟學(xué)認為GDP主要由投資、出口、消費“三駕馬車”共同影響。根據(jù)國家統(tǒng)計局和中國經(jīng)濟信息網(wǎng)公布的信息,GDP按季度發(fā)布,而固定資產(chǎn)投資、出口、社會消費品零售總額等指標按月度發(fā)布。由于以上數(shù)據(jù)的頻率不同并且公布時間也各不相同,導(dǎo)致無法對目前實際的GDP增長狀態(tài)和未來的經(jīng)濟發(fā)展形勢做出準確的預(yù)測和判斷。因此,本文采用國家統(tǒng)計局最新公布的高頻月度數(shù)據(jù),應(yīng)用Ghysels提出的MIDAS混頻數(shù)據(jù)模型,并通過構(gòu)建不同的滯后項多項式來實現(xiàn)對GDP總額的短期預(yù)測并對預(yù)測精度進行比較。

        (一)數(shù)據(jù)來源及處理方法

        本文選取季度GDP作為低頻被解釋變量,選取固定資產(chǎn)投資、社會消費品零售總額和出口額作為影響季度GDP總額的高頻解釋變量。使用2000年第一季度至2017年第四季度的實際GDPμ以及2000年1月至2017年12月的社會消費品零售總額x1,t、出口額x2,t和固定資產(chǎn)投資總額x3,t來構(gòu)建混頻數(shù)據(jù)模型。本文對所有數(shù)據(jù)進行了取對數(shù)、差分等平穩(wěn)化處理。

        本文首先采用單變量MIDAS(m,k)分別構(gòu)建季度GDP,μ 與單個解釋變量 xi,t(i=1,2,3) 的混頻數(shù)據(jù)模型,選取2000年第一季度至2017年第二季度的數(shù)據(jù)構(gòu)建MIDAS模型,預(yù)測2017年第三季度和第四季度的GDP,在AIC最小準則下確定最優(yōu)滯后階數(shù)K,再加入不同的多項式權(quán)重函數(shù)對數(shù)據(jù)進行預(yù)測并比較分析。其次,構(gòu)建多變量 M(n)-MIDAS(m,K,h)模型,選取不同權(quán)重函數(shù)對模型進行預(yù)測并對比。最后,引入低頻變量的自回歸項,構(gòu)建多變量的M(n)-MIDAS(m,K,h)-AR(p)模型,在 AIC準則下賦予高頻解釋變量最優(yōu)的滯后階數(shù),對比不同多項式權(quán)重函數(shù)的情況下 M(n)-MIDAS(m,K,h)-AR(p)模型在當前數(shù)據(jù)內(nèi)的預(yù)測精度。

        (二)單變量MIDAS模型及預(yù)測

        MIDAS模型在預(yù)測時須先確定高頻解釋變量的最優(yōu)滯后階數(shù)K和最優(yōu)權(quán)重多項式函數(shù)。最新的理論研究表明,選擇的滯后階數(shù)越長越能體現(xiàn)信息的完整性,估計模型的顯著性越高,預(yù)測的精度更好。但是高頻解釋變量的滯后階數(shù)太長會導(dǎo)致數(shù)據(jù)的損失,長滯后階數(shù)在高頻金融數(shù)據(jù)中相對更具有可行性,但是宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)的滯后長度都較短,如果也取較長的滯后階數(shù),會導(dǎo)致用于MIDAS模型的樣本數(shù)據(jù)減少,反而會影響到模型的估計值和預(yù)測精度。并且不同的權(quán)重多項式函數(shù)對模型的估計不同,Almon多項式函數(shù)在金融市場波動的預(yù)測中使用較多,指數(shù)Almon和Beta多項式函數(shù)在宏觀經(jīng)濟分析和預(yù)測中應(yīng)用較多,不同多項式函數(shù)的MIDAS模型預(yù)測的精度也各不相同。本文在選擇高頻解釋變量的滯后階數(shù)和權(quán)重多項式函數(shù)時,滯后階數(shù)從3階一直取到10階,權(quán)重函數(shù)分別取 beta、Almon、指數(shù) Almon,并通過 AIC信息準則,取出最優(yōu)滯后階數(shù)K和最優(yōu)的多項式函數(shù),并對比最優(yōu)滯后階數(shù)K下最優(yōu)多項式和其余多項式函數(shù)模型的預(yù)測精度。

        1.單變量MIDAS(m,k)模型的估計與預(yù)測

        首先,本文分別建立季度GDPμ與單個解釋變量xi,t(i=1,2,3)的混頻數(shù)據(jù)模型,混頻數(shù)據(jù)圖形見圖1。

        圖1 MIDAS模型中的混頻數(shù)據(jù)圖形

        然后列出所有模型的AIC.restricted、AIC.unrestricted、BIC.restricted、BIC.unrestricted以及hah_test等參數(shù)值,通過AIC.restricted曲線確定最小值,從而確定季度GDP和社會消費品零售總額、出口額和固定資產(chǎn)投資的最優(yōu)滯后階數(shù)和最優(yōu)權(quán)重函數(shù),圖2為AIC趨勢圖。

        圖2 AIC趨勢圖

        遵循AIC最小準則,我們篩選出單變量MIDAS對應(yīng)的最優(yōu)模型。

        表2 AIC準則下的最優(yōu)滯后階數(shù)

        社會消費品零售總額x1,t的最優(yōu)滯后階數(shù)K1=5,最優(yōu)權(quán)重函數(shù)為指數(shù)almon函數(shù)。hah_test的值大于臨界值 0.05,為 0.189,說明模型約束充分;出口額 x2,t的最優(yōu)滯后階數(shù)K2=5,最優(yōu)權(quán)重函數(shù)為beta函數(shù),hah_test值為0.380,大于臨界值,表明模型約束充分;固定資產(chǎn)投資x3,t的最優(yōu)滯后階數(shù)K3=6,最優(yōu)權(quán)重函數(shù)為指數(shù)almon函數(shù),hah_test值為0.945,模型約束充分。

        在最優(yōu)滯后階數(shù)確定的情況下,本文分別選取指數(shù)almon、almon以及beta等多項式權(quán)重函數(shù)對比預(yù)測精度,選取2000—2017年的數(shù)據(jù)進行樣本內(nèi)估計,對2017年的第三季度和第四季度GDP進行預(yù)測估計,再給出各自模型的預(yù)測值以及樣本內(nèi)樣本外MASE和MAPE等參數(shù),發(fā)現(xiàn)通過AIC信息準則確定的模型預(yù)測精度并不是最好的。單變量混頻數(shù)據(jù)模型的估計結(jié)果如表3—表5所示,其中:EW表示基于特征值加權(quán)組合后的預(yù)測值;BICW:BIC信息準則加權(quán)后的預(yù)測值;MSFE:均方誤差加權(quán)組合的預(yù)測值;DMSFE:基于MSFE組合的預(yù)測值。

        表3 基于單變量MIDAS模型的預(yù)測值

        表4 各自模型的EW、BICW、MSFE和DMSFE預(yù)測值

        表5 單變量MIDAS模型樣本內(nèi)和樣本外的MSE、MAP值

        在AIC信息準則下,x1最優(yōu)多項式權(quán)重函數(shù)為指數(shù)almon,根據(jù)表5可知,x1在指數(shù)almon多項式權(quán)重下樣本外的均方誤差(MSE)為12.154,平均絕對百分比誤差(MAPE)為41.106%,而x1在多項式almon權(quán)重函數(shù)下,樣本外的MSE值為10.522,MAPE為38.294,預(yù)測精度優(yōu)于指數(shù)almon權(quán)重函數(shù);x2在指數(shù)almon權(quán)重函數(shù)下,樣本外MSE為9.665,MAPE為36.195,預(yù)測精度也優(yōu)于通過AIC信息準則確定的beta權(quán)重函數(shù);x3在almon權(quán)重函數(shù)中樣本外MSE值為14.435,MAPE為44.802,也比指數(shù)almon權(quán)重函數(shù)的預(yù)測精度更好。并且單變量MIDAS的MAPE值都比較大,預(yù)測的精度并不理想,故下一步使用多變量MIDAS預(yù)測季度GDP,看預(yù)測精度會不會更優(yōu)。

        (三)多變量MIDAS模型估計及預(yù)測

        在單變量MIDAS模型預(yù)測精度不理想的情況下,我們引入多變量MIDAS模型,將3個高頻解釋變量一起納入混頻數(shù)據(jù)模型中,再對我國季度GDP進行實證研究。本文為估計精度的需要,在AIC信息準則選取的最優(yōu)模型基礎(chǔ)上,還使用不同權(quán)重函數(shù)來估計多變量MIDAS模型的精度,模型估計、樣本預(yù)測以及樣本內(nèi)外所需要的數(shù)據(jù)均與上述單變量MIDAS模型保持一致,下文不再贅述。

        1.多變量M(n)-MIDAS模型估計結(jié)果及預(yù)測

        在多變量的條件下,滯后階數(shù)k是從3取到10,多項式函數(shù)取指數(shù)almon、almon和beta,故多變量模型一共存在6965種不同組合的模型,通過AIC最小準則,我們篩選出最優(yōu)滯后階數(shù)和權(quán)重函數(shù)分別為:社會消費品零售總額x1,t為滯后10階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù);出口額x2,t為滯后5階的beta權(quán)重函數(shù);固定資產(chǎn)投資x3,t為滯后8階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù),AIC值最小為398.305,模型的hah_test=0.9667,模型約束充分,然后對比最優(yōu)模型和最優(yōu)滯后階數(shù)下其他模型的預(yù)測精度。因模型滯后階數(shù)以及多項式函數(shù)選取的不同,本文選取具有代表性的五種組合模型,模型及估計結(jié)果如表6、表7、表8所示。

        表6 多變量組合模型命名

        表7 多變量MIDAS模型在h=1和h=2的預(yù)測值

        表8 多變量MIDAS模型樣本外及樣本內(nèi)的MSE、MAPE值

        在多變量MIDAS模型中,通過對比樣本外的MSE和MAPE值可知,AIC最小的模型并不是預(yù)測精度最好的模型,在各自高頻解釋變量的最優(yōu)滯后階數(shù)下,當x1取almon加權(quán)函數(shù),x2取almon加權(quán)函數(shù),x3取beta加權(quán)函數(shù)時,模型在樣本外的MSE值最小,為3.864,MAPE值為23.181%。相比單變量MIDAS模型,引入更多高頻解釋變量能有效提升模型的預(yù)測精度,但是模型的MAPE值還是較大,若能進一步降低MAPE的值,模型預(yù)測精度將進一步提升。

        2.自回歸多變量 MIDAS(AR-M(n)-MIDAS)模型估計及預(yù)測

        由于宏觀經(jīng)濟變量大多存在慣性,經(jīng)濟類數(shù)據(jù)大多是時間序列,具有自相關(guān)性,故我們在多向量MIDAS的基礎(chǔ)上引入因變量的自回歸項,構(gòu)建AR-M(n)-MIDAS模型來檢驗?zāi)芊襁M一步提升模型樣本外的預(yù)測精度,模型及估計結(jié)果如表9、表10、表11所示:

        表1 變量數(shù)據(jù)及來源

        表9 加入自回歸項的多變量組合模型命名

        表10 AR-M(n)-MIDAS模型在不同步長值下的預(yù)測值

        表11 AR-M(n)-MIDAS樣本內(nèi)外的MSE、MAPE值

        圖3 多變量MIDAS模型預(yù)測誤差百分比趨勢

        通過上述預(yù)測精度趨勢圖可以看出,在沒加入自回歸項前,多變量MIDAS模型的MSE值和MAPE值都相對較大,通過預(yù)測2017年第3季度和第4季度GDP的預(yù)測誤差來看,誤差值都偏高,短期預(yù)測效果并不理想。再加入自回歸項后,樣本外的MSE和MAPE值都顯著降低,說明模型的預(yù)測精度進一步提升。本次自回歸多變量MIDAS模型共存在6848種不同組合的模型,通過AIC準則確定最優(yōu)模型為:社會消費品零售總額x1,t為滯后10階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù);出口額x2,t為滯后5階的beta權(quán)重函數(shù);固定資產(chǎn)投資x3,t為滯后6階的指數(shù) Almon權(quán)重函數(shù),AIC值為 398.305,hah-test值為0.966,模型的約束良好,最優(yōu)模型的MSE值為2.111,MAPE值為17.125%,模型的預(yù)測精度已經(jīng)達到不錯的水平,但是在社會消費品零售總額x1,t為滯后10階的指數(shù)Almon權(quán)重函數(shù),出口額x2,t為滯后5階的almon權(quán)重函數(shù),固定資產(chǎn)投資x3,t為滯后6階的指數(shù)beta權(quán)重函數(shù)的M(n)-MIDAS-AR模型中,樣本外的MSE值為0.646,MAPE值為8.581%,說明后者模型擬合和預(yù)測的效果更加良好。

        四、結(jié)論及建議

        在以往的文獻中,混頻數(shù)據(jù)模型的最優(yōu)滯后階數(shù)都是直接給出的,一般都是取 3,6,12,18,24,30 等具體數(shù)字,沒有給出一個范圍并討論范圍中的最優(yōu)滯后階數(shù),對于學(xué)術(shù)研究而言,給出的滯后階數(shù)并不能代表最優(yōu)的滯后階數(shù),本文在選取滯后階數(shù)時,先根據(jù)實際情況和經(jīng)濟意義給出滯后階數(shù)的范圍,然后通過AIC信息準則選取最優(yōu)滯后階數(shù)再來討論模型的預(yù)測精度,力求研究的準確性。當下眾多的研究中,很多文獻并沒有告知最優(yōu)多項式如何選取,大部分多項式函數(shù)都是根據(jù)經(jīng)驗或者自己直接給定,并沒有討論高頻解釋變量會因多項式函數(shù)的不同而影響最終的預(yù)測精度。本文實證在AIC最優(yōu)條件下的混頻數(shù)據(jù)模型并不是預(yù)測精度最好的模型,AIC信息準則可以用來確定高頻解釋變量的最優(yōu)滯后階數(shù),但不能選出最優(yōu)的多項式函數(shù)。在最優(yōu)滯后階數(shù)的情況下,我們可以通過MSE、MAPE以及與預(yù)測誤差等指標來確定最優(yōu)多項式函數(shù),從而確定預(yù)測精度最好的混頻數(shù)據(jù)模型。對于目前的混頻數(shù)據(jù)模型而言,可以嘗試加入新的數(shù)理統(tǒng)計方法,如采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者蒙德卡羅等方法來檢驗混頻數(shù)據(jù)模型擬合優(yōu)劣以及預(yù)測精度等。◆

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