李兵方，李艷玲

(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，陜西 渭南 714000；2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

0 引言

1969年,Degn和Harrison提出一類經(jīng)典化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng),用以刻畫連續(xù)培養(yǎng)皿中細(xì)菌Klebsiella aerogenes呼吸率的振蕩行為[1].在齊次Neumann邊界條件下,Degn-Harrison化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)可由以下反應(yīng)擴(kuò)散方程組(1)表示[2],

(1)

其中,X和Y分別代表氧氣和營養(yǎng)兩種中間產(chǎn)物的濃度,A和B分別代表兩種資源且其濃度為常數(shù),q代表抑制強(qiáng)度,ki(i=1,2,3,4)是反應(yīng)物的反應(yīng)速率,Δ是拉普拉斯算子,Ω表示RN(N≥1)中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,?v表示外法向?qū)?shù),DX和DY是反應(yīng)物X和Y的擴(kuò)散系數(shù),初始條件非負(fù).

Degn-Harrison反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)近年來已被國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注.Peng等[2]考慮經(jīng)無量綱化后的一類Degn-Harrison模型的平衡態(tài)問題,借助拓?fù)涠壤碚摻o出非常數(shù)正解存在的充分條件.基于文獻(xiàn)[2]的研究,Li等[3]繼續(xù)研究該模型,得到其Hopf分歧和穩(wěn)態(tài)分歧的存在性及穩(wěn)定性.Dong等[4]引入新的變量代換,考慮另一類Degn-Harrison模型,給出了ODE和PDE系統(tǒng)的Hopf分歧及其穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[5]簡化了文獻(xiàn)[4]中ODE系統(tǒng)Hopf分歧的產(chǎn)生條件,文獻(xiàn)[6]給出了該模型更細(xì)致的Hopf分歧分析.文獻(xiàn)[7,8]分別討論了Degn-Harrison系統(tǒng)的局部和整體穩(wěn)定性.對具有一般反應(yīng)效應(yīng)的Degn-Harrison模型,文獻(xiàn)[9]研究其斑圖生成問題,建立了平衡態(tài)分歧和Hopf分歧的存在性.文獻(xiàn)[10]給出了該推廣模型的漸近穩(wěn)定性分析和解的不存在性.更多關(guān)于Degn-Harrison模型及其相關(guān)問題的研究,可參考文獻(xiàn)[11-17].

引入新的變量代換

仍記τ為t,則系統(tǒng)(1)可化為

(2)

本文以抑制強(qiáng)度c為參數(shù), 研究系統(tǒng)(2)平衡態(tài)問題

(3)

正解的存在性.顯然,當(dāng)且僅當(dāng)a>b時(shí),系統(tǒng)(3)存在唯一正平衡點(diǎn)(u*,v*),其中

λ0=0<λ1≤λ2≤…≤λn≤…

1 正解的先驗(yàn)估計(jì)

本節(jié)將建立系統(tǒng)(3)非常數(shù)正解的先驗(yàn)估計(jì)及一些相關(guān)不等式性質(zhì).

定理1設(shè)(u,v)=(u(x),v(x))是系統(tǒng)(3)的正解,則有

u(x)≤u(x0)

由引理1及x2,x3定義得

證畢.

若(u,v)是非常數(shù)解,則φ和ψ在Ω上變號.下面給出φ,ψ的一些相關(guān)結(jié)論.

引理2設(shè)(u,v)=(u(x),v(x))是系統(tǒng)(3)的非常數(shù)正解,則有

證明：令ω=d2v-d1u,則

(4)

兩邊同乘以ω并在Ω上積分,整理可得

(5)

因此

將式(4)兩端同乘以φ并在Ω上積分得

因此

(6)

證畢.

證明：將系統(tǒng)(3)的第二個(gè)等式兩端同乘以ψ并在Ω上積分得

由H?lder不等式得

由Poincaré不等式得

因此

整理得

由Poincaré不等式得

證畢.

同理可得

由引理3和引理4可得以下先驗(yàn)估計(jì).

(7)

證明：由于ω=d2v-d1u,則有

根據(jù)式(6)可得

(8)

因此

所以

(9)

即得式(7)右邊不等式成立.式(8)變形可得

結(jié)合式(5)可得

利用Cauchy不等式可得

再利用Poincaré不等式可得

因此

進(jìn)一步計(jì)算得

即得式(7)左邊不等式成立.

證畢.

證明：利用Poincaré不等式知

注意到

證畢.

2 非常數(shù)正解的不存在性

本節(jié)將給出系統(tǒng)(3)非常數(shù)正解的不存在性條件.首先考慮擴(kuò)散系數(shù)d2對系統(tǒng)(3)非常數(shù)正解不存在性的影響.

證明：將系統(tǒng)(3)第二個(gè)方程兩端同乘以ψ并在Ω上積分得

由定理1知,存在依賴于a,b,c,d的正常數(shù)M1,M2,使得

由Cauchy不等式和Poincaré不等式得

(10)

由式(9)和式(10)得

(11)

證畢.

當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)d2足夠小時(shí),由定理5知,系統(tǒng)(3)沒有非常數(shù)正解.下面的定理給出一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)果: 如果λ1足夠大,則對任意d2>0,系統(tǒng)(3)都不存在非常數(shù)正解.

證明：將系統(tǒng)(3)第一個(gè)方程兩邊同乘φ并在Ω上積分得

由于

進(jìn)一步計(jì)算可得

由定理1知,存在依賴于a,b,c,d的正常數(shù)M3，使得

(12)

由H?lder不等式和Poincaré不等式得

由式(10)知

(13)

這里M=max{M3,M4}.

若固定d2>0,則當(dāng)λ1(Ω)→∞時(shí),

由極限定義知,存在正常數(shù)Λ充分大,使得當(dāng)λ1(Ω)>Λ時(shí),

證畢.

3 平衡態(tài)分歧

本節(jié)利用Crandall-Rabinowitz分歧定理[18],以d1為分歧參數(shù),建立系統(tǒng)(3)非常數(shù)正解的存在性.這里指出,若以d2為分歧參數(shù),在一定條件下仍可類似得到系統(tǒng)(3)發(fā)自平衡點(diǎn)(u*,v*)的分歧正解,不再贅述.

(14)

令X={(u,v)∈[W2,p(Ω)]2:?vu=?vv=0,x∈?Ω}和Y=[Lp(Ω)]2.定義映射F:R+×X→Y為

F(d1,U)=

U=(u,v).

系統(tǒng)(3)的常數(shù)解相應(yīng)于系統(tǒng)(14)的零解.顯然

F(d1,0)=0.

F(d1,U)關(guān)于U在零解處的Fréchet導(dǎo)數(shù)為

FU(d1,0)=

其所有特征值可由Lk(k=0,1,2,…)的特征值給出,其中

這里

設(shè)Lk的特征方程為

μ2-Tkμ+Dk=0,

其中

Tk=f0+g0-(d1+d2)λk,

(15)

以下定理給出系統(tǒng)(3)分歧正解的存在性.

定理8若對任意正整數(shù)i,k≥1,當(dāng)i≠k時(shí)都有d1,i≠d1,k,其中d1,k由式(15)給出,則(d1,k,0)是方程F(d1,U)=0的一個(gè)分歧點(diǎn).對|s|充分小,存在方程F(d1,U)=0的一條解曲線

Γ(s)=(d1(s),(u(s),v(s))),

滿足

d1(0)=d1,k,(u(0),v(0))=(0,0),

u(s)=sφk+o(s),v(s)=sekφk+o(s),

其中d1(s),u(s),v(s)關(guān)于s連續(xù)可微,且

證明：根據(jù)文獻(xiàn)[19]中單重特征值分歧定理知,若(d1,k,0)是分歧點(diǎn),則須滿足以下三個(gè)條件:

(i)Fd1,FU和Fd1U存在且連續(xù);

(ii)dim kerFU(d1,k,0)=codimR(FU(d1,k,0))=1;

(iii)令kerFU(d1,k,0)=span{Φk},則

Fd1U(d1,k,0)Φk?R(FU(d1,k,0)).

下面逐一驗(yàn)證.

算子F的線性化算子為

顯然,Fd1,FU和Fd1U是連續(xù)的.條件(i)滿足.

當(dāng)d1=d1,k時(shí),有Dk=0,從而

kerFU(d1,k,0)=span{Φk},

dim kerL(d1,k)=1.

算子L(d1,k)的共軛算子為

類似可得

codimR(L(d1,k))=dim kerL*(d1,k)=1.

條件(ii)滿足.

最后,通過計(jì)算可得

從而可得

Fd1U(d1,k,0)Φk?R(L(d1,k)).

條件(iii)滿足.

證畢.

4 結(jié)論

本文針對一類具有齊次Neumann邊界條件的Degn-Harrison化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng),首先在代表抑制劑強(qiáng)度的參數(shù)c適當(dāng)大時(shí),得到氧氣濃度的下界估計(jì)和營養(yǎng)物濃度的上界估計(jì),進(jìn)而建立了兩中間產(chǎn)物的先驗(yàn)估計(jì)及一些相關(guān)不等式性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上給出了系統(tǒng)(3)非常數(shù)正解的不存在性.其次,以擴(kuò)散系數(shù)d1為參數(shù),利用分歧理論在一定擴(kuò)散條件下給出了系統(tǒng)(3)局部分歧正解的存在性.結(jié)果表明,如果營養(yǎng)物擴(kuò)散太慢、反應(yīng)區(qū)域太小或者氧氣擴(kuò)散太快,系統(tǒng)(3)將不會出現(xiàn)非齊次的空間結(jié)構(gòu)；而在一定擴(kuò)散條件下,系統(tǒng)(3)將呈現(xiàn)空間分布不均勻的狀態(tài).