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        函數(shù)矩陣代數(shù)的譜理論研究

        2021-07-20 03:24:38沈逸豪陸佳興
        數(shù)學學習與研究 2021年17期
        關鍵詞:可逆性理想

        沈逸豪 陸佳興

        【摘要】本文研究以閉區(qū)間上的連續(xù)復值函數(shù)為賦值的函數(shù)矩陣代數(shù).結合數(shù)學分析、高等代數(shù)中相關知識,本文給出了函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件,證明了函數(shù)矩陣的譜集是復數(shù)域中的非空緊集;同時,本文還刻畫函數(shù)矩陣代數(shù)的極大理想結構.

        【關鍵詞】函數(shù)矩陣;可逆性;譜;理想

        【基金項目】本文系2019年江蘇省高等學院大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目,基金號201911117076Y

        一、引 言

        在高等代數(shù)中,我們已經(jīng)掌握了數(shù)字矩陣的一些理論,包括可逆性理論和特征值理論,在數(shù)學分析中,我們學習了連續(xù)函數(shù)的諸多性質(zhì),那么這些知識能否推廣到其他數(shù)學對象中呢?針對此,自然地提出了一個問題:函數(shù)和矩陣二者能不能結合起來成為新的理論.

        本文將類比數(shù)學分析和高等代數(shù)中的研究方法對函數(shù)矩陣進行相似性質(zhì)的刻畫,給出[0,1]上函數(shù)矩陣的定義,以及函數(shù)矩陣可逆性刻畫,進而給出對函數(shù)矩陣譜集的刻畫,還將討論函數(shù)矩陣代數(shù)極大理想的形式并給出相應的結論.

        二、預備知識

        【參考文獻】

        [1]李炳仁.算子代數(shù)[M].北京:科學出版社.2007:77-127.

        [2]Peter D.Lax.Functional Analysis[M].北京:高等教育出版社,2007.

        [3]郭坤宇.算子理論基礎[M].上海.復旦大學出版社,2014.

        [4]丘維聲.高等代數(shù)第二版[M].北京:清華大學出版社,2010.

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