張曼

【摘要】初中階段的學(xué)生隨著對(duì)數(shù)學(xué)更抽象的認(rèn)識(shí)和探索，在解決平面幾何問題中逐漸會(huì)產(chǎn)生類似“解題方法是怎么思考出來的”困惑，這就要求教師對(duì)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行剖析，并在練習(xí)中進(jìn)行思維引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)和方法的能力，也就是思維的發(fā)散能力.本文主要探討的是發(fā)散思維在平面幾何解題中的運(yùn)用.通過對(duì)發(fā)散思維的鍛煉，能夠讓學(xué)生對(duì)題目中暗藏的關(guān)系更加清晰，從而達(dá)到用“老法”解“新題”的效果.

【關(guān)鍵詞】關(guān)系發(fā)散;變式解題;平面幾何

初中階段是學(xué)生開始構(gòu)建抽象思維的階段.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生需要具有一定的邏輯思維能力.

在教學(xué)過程中，我曾經(jīng)歷過很多次這樣的事情：在給學(xué)生評(píng)講完一個(gè)錯(cuò)誤率較高的題目之后，學(xué)生常會(huì)發(fā)出恍然大悟的呼聲.這個(gè)時(shí)候也會(huì)有善于思考的學(xué)生會(huì)提出疑惑：為什么老師能夠想到這個(gè)思路？為什么要用這個(gè)方法去解題？為什么老師能夠在短時(shí)間內(nèi)找到正確方法？我的思路在哪里出了岔路？

如果教師對(duì)這幾個(gè)問題細(xì)細(xì)思量就會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)很多基礎(chǔ)很好的學(xué)生做不出并不是因?yàn)橹R(shí)儲(chǔ)備量不夠，而是在尋找解題思路時(shí)思維沒有打開.這也正是教師需要培養(yǎng)學(xué)生的能力——?jiǎng)?chuàng)新和應(yīng)用能力.

托尼·巴贊認(rèn)為發(fā)散思維具有兩個(gè)含義，一方面是來自一個(gè)中心點(diǎn)的聯(lián)想過程;另一方面是指思維的爆發(fā).發(fā)散思維也能派生出很多具體的方法和技巧，數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用到的有組合發(fā)散法、因果發(fā)散法、關(guān)系發(fā)散法等.下面就其中的關(guān)系發(fā)散法在平面幾何中的運(yùn)用進(jìn)行詳述.

一、何為關(guān)系發(fā)散

關(guān)系發(fā)散法常被用來對(duì)題目進(jìn)行變式，從而得到結(jié)論依附的必需條件.通過關(guān)系發(fā)散，題目可以產(chǎn)生不同的變式，如將已知變成未知，將未知變成已知，從而達(dá)到循序漸進(jìn)、難度攀升和加強(qiáng)對(duì)題目理解的效果.

二、關(guān)系發(fā)散在新授課中的運(yùn)用

1.關(guān)系發(fā)散在教科書中的運(yùn)用

在蘇科版八年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)平行四邊形一章的“三角形的中位線”這一節(jié)中，討論四邊形的中點(diǎn)四邊形時(shí)，用到了這樣的例題：

【例1-1】已知：如圖1所示，在四邊形ABCD中，AC=BD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是菱形.

這個(gè)問題中，已知條件為“四邊形對(duì)角線AC，BD相等”，結(jié)論為“四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形”.利用三角形中位線的性質(zhì)可證這個(gè)命題是真命題.因此我們將“四邊形對(duì)角線相等”與“中點(diǎn)四邊形為菱形”作為已知和結(jié)論建立了關(guān)系，如果將已知未知互換的話，就得到了這樣的問題：

【例1-2】已知：如圖2所示，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，四邊形EFGH是菱形.

求證：AC=BD.

善于思考的同學(xué)此時(shí)會(huì)仿照上述關(guān)系發(fā)散思維，將已知未知進(jìn)行調(diào)換，甚至可以將以上兩個(gè)條件刪減或者疊合到一起猜測(cè)得到的四邊形是什么特殊四邊形.從這一變式中，很容易發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的對(duì)角線決定的，而在證明過程中，運(yùn)用的都是三角形中位線的性質(zhì).

以上是比較基礎(chǔ)的對(duì)中點(diǎn)衍生出的猜測(cè)與結(jié)論，而在后續(xù)的練習(xí)中，除了對(duì)四邊形的中點(diǎn)四邊形形狀的討論之外，還經(jīng)常考查學(xué)生將其中的證明方法活用到解題之中.學(xué)生在對(duì)以上知識(shí)構(gòu)架相對(duì)熟悉的基礎(chǔ)上，很快就能發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.例如下面的例題：

【例1-3】如圖3所示，在四邊形ABCD中，AB=DC，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BC，BD，AC的中點(diǎn).四邊形EGFH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

我們可以將上述解題方法應(yīng)用在這一例題中，雖然不是討論四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀，但解題方法還是利用三角形中位線的性質(zhì)來判斷邊與邊之間的關(guān)系.

所以關(guān)系發(fā)散法的目的是讓學(xué)生能夠做到“舉一反三”.在進(jìn)行思維發(fā)散的時(shí)候?qū)㈩}目中的條件和結(jié)論進(jìn)行提取，找到其中邏輯支點(diǎn)，也就是教材上對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn).數(shù)學(xué)習(xí)題無數(shù)，但將問題的條件和結(jié)論進(jìn)行提煉，很多問題本質(zhì)上是相似的，我們可以用相同的知識(shí)點(diǎn)解不同的習(xí)題.

2.關(guān)系發(fā)散法在習(xí)題中的運(yùn)用

關(guān)系發(fā)散法經(jīng)常被命題人運(yùn)用在解答題中的壓軸題里.這些題的特征是后面的問題是前面問題的延伸，常見的延伸方法是將前面問題中的條件進(jìn)行改動(dòng)或者刪減，如下面的典型例題：

【例2-1】在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D，E.若直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖4所示的位置，求證：①△ADC≌CEB;②DE=AD+BE.

該題中給了一個(gè)鋪墊，先證明三角形全等，過程中會(huì)利用角之間的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到全等的條件，再轉(zhuǎn)換到三條線段之間的等量關(guān)系.也被稱為“K字形”的一個(gè)經(jīng)典例題.變換MN的位置，還可得到下面的例題：

【例2-2】在例2-1中，若直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖5所示的位置，求證DE=AD-BE.

直線旋轉(zhuǎn)前后，上述等量關(guān)系仍然存在.不同的是證明三角形全等之后線段之間的等量關(guān)系發(fā)生了變化.

從而將思維打開，轉(zhuǎn)而思考是否直線的位置對(duì)全等并無影響（排除MN與BC或AC在同一直線上的情況），全等的三個(gè)條件是否可以放寬，譬如“等腰直角三角形”去掉“直角”的條件，換為普通的“等腰三角形”之后，若要全等仍然成立，則必須對(duì)應(yīng)改變AD，BE與直線MN之間的夾角.

在九年級(jí)學(xué)習(xí)相似這一章節(jié)內(nèi)容以后，這個(gè)思路可以用來解決很多問題，特別是平面直角坐標(biāo)系中的問題.如果將教材中的知識(shí)點(diǎn)稱作知識(shí)主干的話，那么延伸出來的例題就是這個(gè)主干上長(zhǎng)出的繁茂綠葉.雖然葉片之間并沒有明顯的觸碰，但是它們都是吸收著同一處的養(yǎng)分，究其根本也是相同的.所以要想真正弄懂一個(gè)問題，就得追根溯源知識(shí)的來源.

三、如何提升學(xué)生的關(guān)系發(fā)散能力

關(guān)系發(fā)散的前提是學(xué)生能夠構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)與題、題與題之間的聯(lián)系，這就要求教師在講授新課時(shí)，利用簡(jiǎn)單有效地方式，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的印象，使學(xué)生能夠在見到題干中的某些關(guān)鍵詞時(shí)，快速聯(lián)想到知識(shí)點(diǎn)并找到解決方法.除此之外，教師在講解練習(xí)題時(shí)，要避免單一地講解題目解決過程，多關(guān)注解題時(shí)的思路形成過程，即由哪些點(diǎn)聯(lián)想到這個(gè)方法可能適用.在習(xí)題講解完畢，教師要及時(shí)對(duì)講解這個(gè)問題用到的方法進(jìn)行總結(jié)或者提煉，同時(shí)學(xué)會(huì)關(guān)聯(lián)題干間的相通之處.

關(guān)系思維發(fā)散法考驗(yàn)學(xué)生的思維能力和應(yīng)用意識(shí);培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)系發(fā)散思維能力、數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，包括幾何分析能力、邏輯推理能力，尤其是應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)，使學(xué)生能夠做到真正學(xué)習(xí)有意義的數(shù)學(xué)，構(gòu)建屬于自己的數(shù)學(xué)框架，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，也能夠?qū)?shù)學(xué)的方法和思維應(yīng)用于生活的其他方面，鍛煉自己的思維能力，使自己成為一個(gè)理性思考、思維活躍的人.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉長(zhǎng)春，張文娣.中學(xué)數(shù)學(xué)變式教學(xué)與能力培養(yǎng)[M].濟(jì)南：山東教育出版社，2001：11-27.

[2]劉東升.“形散神聚”的主題，“淺入深出”的環(huán)節(jié)：中考二輪微專題復(fù)習(xí)課“無處不在的邊角關(guān)系”教學(xué)流程與立意[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育數(shù)學(xué)），2018（04）：87-91.

[3]呂娜，葉錦錦.變式教學(xué)在數(shù)學(xué)概念課中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（09）：36-37.