劉會(huì)衡 王正強(qiáng) 宋立新

摘 ?要： DFT是數(shù)字信號(hào)處理課程中一種最重要的、應(yīng)用最廣泛的變換。利用DFT可以分析模擬信號(hào)的頻譜，但譜分析過程中存在頻譜混疊、柵欄效應(yīng)和截?cái)嘈?yīng)等問題。在改善這些問題的同時(shí)，需要注意高密度頻譜和高分辨率頻譜的區(qū)別。通過Matlab仿真可以直觀明了地觀察到這些問題，能有效提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞： DFT; 譜分析; 數(shù)字信號(hào)處理; 模擬信號(hào)

中圖分類號(hào)：TN911.72 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1006-8228（2020）06-13-04

Abstract： The DFT （Discrete Fourier Transform） is one of the most important and widely used transformations in the course of digital signal processing. DFT can be used to analyze the spectrum of analog signal， but there are some problems in the process of spectrum analysis， such as spectrum aliasing， fence effect and truncation effect. When improving these problems， it is necessary to pay attention to the difference between high-density spectrum and high-resolution spectrum. Matlab simulation can directly and clearly observe these problems， which can effectively improve the teaching effect.

Key words： DFT; spectrum analysis; digital signal processing; analog signal

0 引言

數(shù)字信號(hào)處理課程是電子信息類、自動(dòng)化、機(jī)械工程等專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課程[1]。主要內(nèi)容包括離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的基本概念以及時(shí)域分析方法、離散時(shí)間信號(hào)的FT和ZT變換、離散時(shí)間信號(hào)的DFT和FFT變換、系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、FIR和IIR濾波器的設(shè)計(jì)等內(nèi)容。數(shù)字信號(hào)處理課程是本科階段專業(yè)領(lǐng)域一門非常重要的課程，理論性比較強(qiáng)，同時(shí)也是一門實(shí)踐性和應(yīng)用性都很強(qiáng)的課程[2]。課程的公式多，理論概念復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)抽象，學(xué)生不容易理解和掌握[2-3]。在實(shí)際教學(xué)過程中，可以借助Matlab等仿真軟件，以直觀形象的方式來展現(xiàn)復(fù)雜的理論及其應(yīng)用情況[4-5]。

DFT變換是數(shù)字信號(hào)實(shí)際應(yīng)用中最常用的一種方法和手段，例如，利用DFT分析模擬信號(hào)的頻譜，課程也對(duì)這一應(yīng)用做了講解，但在應(yīng)用過程中，存在各種分析誤差以及頻譜分辨率等問題。

1 DFT變換

設(shè)x（n）是一個(gè)長度為M的有限長序列，則x（n）的N點(diǎn)DFT變換：

這里，N為DFT變換的長度，N≥M。DFT變換在時(shí)域是離散的、非周期的，在頻域也是離散的、非周期的，所以適合計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。

2 利用DFT進(jìn)行譜分析

設(shè)x（t）為長Tp的有限長模擬信號(hào)，頻譜X（jΩ）的最高頻率為fc，現(xiàn)要求利用DFT對(duì)x（t）進(jìn)行譜分析。DFT只能分析數(shù)字信號(hào)，所以首先需要對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣得到離散信號(hào)，然后進(jìn)行DFT變換。假設(shè)采樣頻率為fs，采樣間隔為Ts，采用后的信號(hào)為x（n）。從信號(hào)與系統(tǒng)知識(shí)可知：時(shí)域抽樣，頻域周期延拓。抽樣后，信號(hào)x（n）的FT變換為：

從而實(shí)現(xiàn)了模擬信號(hào)的DFT譜分析。

3 DFT譜分析的幾個(gè)問題

以單余弦信號(hào)為例，利用DFT進(jìn)行譜分析。

⑴ 頻譜混疊

要進(jìn)行DFT譜分析，首先要把模擬信號(hào)采樣得到離散信號(hào)。x（t）的最高頻率為1000Hz，根據(jù)采樣定理Hz。如果采樣頻率fs不滿足采樣定理，則將會(huì)在fs/2附近發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，此時(shí)用DFT進(jìn)行譜分析，必然在fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。工程中一般取fs=（3-5）fc。確定采樣頻率fs前，一般需對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)濾波，以濾除高于折疊頻率的頻率成分。在本信號(hào)分析中，取采樣頻率fs=4fc=4000Hz，則序列為：

⑵ 柵欄效應(yīng)

由上述分析可知，對(duì)于有限長的帶限信號(hào)，在滿足時(shí)域采樣定理時(shí)，可用利用DFT變換分析模擬信號(hào)的頻譜，即可由X（k）恢復(fù)出X（jΩ）或x（t）。但由于X（jΩ）是連續(xù)的頻譜，而X（k）是離散的頻譜，所以由X（k）無法看到X（jΩ）的全部頻譜，而只能看到N個(gè)離散采樣點(diǎn)處的頻譜，就像隔著柵欄看外面的風(fēng)景，這就是DFT譜分析產(chǎn)生的柵欄效應(yīng)。要改善柵欄效應(yīng)，可在數(shù)據(jù)末尾添加一些0值實(shí)現(xiàn)。

⑶ 截?cái)嘈?yīng)

實(shí)際譜分析中，模擬信號(hào)的x（t）可能是無限長的信號(hào)，計(jì)算機(jī)無法進(jìn)行處理，需要進(jìn)行截?cái)?，例如利用矩形窗進(jìn)行截?cái)啵財(cái)嚅L度為Tp（數(shù)據(jù)長度為N）：

對(duì)式⑼求FT變換得到有限長序列y（n）的頻譜，如圖2所示。

余弦信號(hào)的頻譜是在±1000Hz處的兩根譜線，而圖2所示截?cái)嘈盘?hào)y（n）的頻譜顯然不同，這是因?yàn)閷?duì)信號(hào)做了截?cái)嗵幚?，產(chǎn)生了誤差。截?cái)嘈?yīng)的第一個(gè)表現(xiàn)是頻譜泄露，x（n）原來的頻譜是在±1000Hz處的兩根譜線，而截?cái)嗪笮盘?hào)的頻譜向±1000Hz兩邊進(jìn)行了擴(kuò)展，即頻譜從±1000Hz處向外泄露了。截?cái)嘈?yīng)的第二個(gè)表現(xiàn)是譜間干擾，從圖2可以看出±1000Hz處的兩根譜線不斷向兩邊擴(kuò)展，引起了頻譜重疊，相互間發(fā)生了干擾，其原因是矩形窗的旁瓣引起的。要改善截?cái)嘈?yīng)，可以采用緩慢變換的窗函數(shù)，如海寧窗、布萊克曼窗等，并截取更長的數(shù)據(jù)長度，以獲得更多的數(shù)據(jù)信息。

⑷ 頻譜密度與頻譜分辨率

利用DFT對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析，會(huì)產(chǎn)生柵欄效應(yīng)。要改善柵欄效應(yīng)，也即增加頻譜密度，可以通過在數(shù)據(jù)末尾添加0值來實(shí)現(xiàn)。仍以信號(hào)x（t）/x（n）為例，若截取信號(hào)長度N=10，截取后的信號(hào)y1（n）的序列圖如圖3所示，圖中虛線表示連續(xù)的余弦信號(hào)x（t）。

其M=10點(diǎn)的DFT頻譜如圖4所示。

圖中虛線為y1（n）的FT變換。從圖中可以看出，DFT變換就是在內(nèi)對(duì)序列的連續(xù)頻譜進(jìn)行M點(diǎn)的等間隔抽樣。

但是，由于只截取了10點(diǎn)的數(shù)據(jù)長度，頻譜密度不高，要得到高密度的頻譜，可以在數(shù)據(jù)末尾添加多個(gè)0來實(shí)現(xiàn)。這里在x（n）的后面添加90個(gè)0，即：

其M=100點(diǎn)的DFT頻譜如圖6所示。

對(duì)比圖4和圖6可以看出，在數(shù)據(jù)末尾添加0值，可以得到高密度的頻譜，但頻譜分辨率并沒有改善，仍然無法觀察到±1000Hz處的兩根譜線。

其M=100點(diǎn)的DFT頻譜如圖8所示。

從圖8可以看出，增加了截取的數(shù)據(jù)長度后，包含了更多的數(shù)據(jù)信息，頻譜的分辨率提高了，從而可以精確得到模擬信號(hào)x（t）的頻譜。

4 結(jié)束語

DFT變換中，信號(hào)是有限長的，其頻譜也是帶限的，非常適合計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，所以DFT是數(shù)字信號(hào)處理中一種應(yīng)用性很強(qiáng)的重要變換。利用DFT變換可以對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析，但會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊、柵欄效應(yīng)和截?cái)嘈?yīng)等問題。要避免頻譜混疊，需對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行預(yù)濾波處理以獲取信號(hào)最高頻率，同時(shí)滿足采樣定理。要改善柵欄效應(yīng)，得到高密度頻譜，可通過在數(shù)據(jù)末尾添加0值來實(shí)現(xiàn)，由于并未改變數(shù)據(jù)的信息量，所以該方式無法提高頻譜分辨率。要減小截?cái)嘈?yīng)，獲得高分辨率頻譜，除了采用緩慢變換的窗函數(shù)外，最有效的方法是截取更長的數(shù)據(jù)，以保留更多的有用信息。在實(shí)際教學(xué)過程中，通過Matlab仿真，可以直觀地觀察到信號(hào)頻譜的變化及其特征，將復(fù)雜、難懂的概念和應(yīng)用，以簡單直觀的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，能有效的提高學(xué)習(xí)效果。

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