佘 丹 (江蘇省南京市中華中學 210006)

“代數(shù)式”(蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級上第三章第2節(jié))是一節(jié)概念課，它是學生數(shù)學學習的一個生長節(jié)點，從這一節(jié)開始學生的學習由數(shù)到式，有了質(zhì)的飛躍，同時它還起著統(tǒng)領全章的作用，因此對教師的教學提出了較大的挑戰(zhàn).筆者有幸參加了2019年江蘇省南京市秦淮區(qū)教研室舉辦的青年教師課堂展示活動，現(xiàn)將自己的教學與思考與各位同行交流.

1 教學實錄

1.1 梳理舊知

教師：在上課之前，老師想問大家一個問題，數(shù)學可以看作是研究什么的學科？

生(齊)：數(shù).

師：研究它的什么東西？

生1：正數(shù)、負數(shù)、0、有理數(shù)、無理數(shù).研究了數(shù)的分類.

生2：研究了數(shù)的定義.

生3：有理數(shù)的加減乘除，研究了數(shù)的運算.

師：(學生邊說教師邊板書，如圖1)很好！關于數(shù)，我們研究了定義、分類、運算.

圖1

設計意圖讓學生回顧數(shù)的研究方法，后續(xù)類比數(shù)的研究猜想代數(shù)式的研究方法，能夠讓學生掌握研究問題的一般方法，積累解決問題的經(jīng)驗.

1.2 創(chuàng)設情境

教師出示情境，與學生一起交流討論.

情境1 如圖2，這是用火柴棒搭小魚的活動，前面已經(jīng)研究過，從特殊推廣到一般，搭n條小魚需要多少根火柴棒？你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？試著填寫下表，交流你的思考.

圖2

生4：需要6n+2根火柴棒.

情境2 觀察圖3月歷中右上角陰影方框中4個數(shù)，它們之間有怎樣的關系？

圖3

生5：每一列中，下面一個數(shù)比上面一個數(shù)大7.

生6：每一行中，后面一個數(shù)比前面一個數(shù)大1.

生7：在2×2方框中，對角線上數(shù)字之和相等.

師：很好！這個陰影框中4個數(shù)的關系對另外兩個陰影方框也成立嗎？對其他類似方框呢？

生(齊)：仍然成立.

師：像這樣的方框中的4個數(shù)，他們兩兩之間都有關系，那如果我將其中一個數(shù)設為m，其他幾個數(shù)是不是都可以表示出來了？比如設其中最小的一個數(shù)為m，則其他數(shù)為——

生8：m+1，m+7，m+8.

師：還可以怎么設？如果我以上方右側(cè)的數(shù)為標準，設為m，則其他數(shù)為——

生9：m-1，m+6，m+7.

師：還可以怎么設？

生10：m-7，m-6，m，m+1.

生11：m-8，m-7，m-1，m.

師：看來，不管將哪一個量用字母來表示都是可以的，我們一般根據(jù)需要來選擇.

情境3 某航空公司規(guī)定，乘坐經(jīng)濟艙的旅客每位可免費攜帶行李20 kg，超重部分每kg按票價的1.5%付行李費．隨著機票價格和行李質(zhì)量的變化，需付的行李費也將發(fā)生變化．

(1)從南京出發(fā)，攜帶行李30 kg乘飛機分別到達下列城市，應付行李費多少元？

(2)如果機票價格為m元，攜帶行李30 kg，應付行李費多少元？

(3)如果機票價格為m元，攜帶行李nkg(n>20)，應付行李費多少元？

師：請同學們讀題目，分析你讀出了哪些信息？

生12：每位可免費攜帶行李20 kg，行李費=超重部分×票價×1.5%.

師：第(1)問，攜帶行李30 kg乘飛機分別到達上述城市，應付行李費多少元？

生13：攜帶30 kg行李到達北京，行李費用為(30-20)×1 010×1.5%=151.5(元)；到達廣州，行李費用為(30-20)×1 180×1.5%=177(元)……

師：非常好！找到數(shù)量關系之后，相應找到每個量并相乘即可，非常的清晰.看第(2)問，請你先觀察，它和第(1)問有什么不同？從第(1)問到第(2)問是一個怎樣的過程？

生14：第(1)問票價是具體的數(shù)字，第(2)問票價是用字母來表示的，這是從特殊推廣到一般.

師：此時票價為——

生15：(30-20)×m×1.5%=0.015m(元).

師：更一般地，如果行李重量也一般化，又該如何？

生16：(n-20)×m×1.5%=0.015m(n-20)(元).

師：這里有個括號，為什么要加括號？如果把括號刪掉呢，該怎么做？

生17：如果攜帶的行李小于等于20就沒有行李費了.

師：怎么做才能把括號刪掉呢？

生18：此時不知道n到底大不大于20，這要分類討論，當n≤20時，0元；當n>20時，(n-20)×m×1.5%元；

情境4 某農(nóng)場有畝產(chǎn)akg的水稻m畝，畝產(chǎn)bkg的水稻n畝，這個農(nóng)場水稻的平均畝產(chǎn)為kg.

師：畝產(chǎn)是什么意思？

生19：畝產(chǎn)是指每一畝的產(chǎn)量.

師：要求的是什么？平均畝產(chǎn)怎么求？

生19：要求的是這個農(nóng)場水稻的平均畝產(chǎn)量，平均畝產(chǎn)等于總產(chǎn)量÷畝數(shù).

師：所以這個農(nóng)場水稻的平均畝產(chǎn)為——

設計意圖從實際問題中抽象出代數(shù)式，讓學生感受到代數(shù)式就是一個從具體到抽象的數(shù)學建模過程；設計各種不同的代數(shù)式，幫助學生掌握代數(shù)式的特征．

1.3 建構(gòu)概念

師：今天我們通過對實際問題進行分析，抽象出了這么多式子，我們把這樣的式子稱為代數(shù)式.那么它們具有怎樣的特點呢？我們看下列式子.

試一試：下列各式中哪些是代數(shù)式？

(1)m+5； (2)a+b=b+a；(3)0；

(4)x2；(5)x+y>1； (6)abc；

生20：(2)(5)不是.

師：根據(jù)你的感覺，你覺得什么樣的式子是代數(shù)式？

生21：不含“=”“>”.

生22：我覺得代數(shù)式含有字母、數(shù)字，還含有加、減、乘、除、乘方.

師：m和151.5是不是代數(shù)式？

生(齊)：是.

師：注意單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式.

設計意圖代數(shù)式是一個比較上位的概念，只觀察代數(shù)式難以感悟代數(shù)式的共同特征，先讓學生感受各種不同的代數(shù)式，然后根據(jù)自己的經(jīng)驗進行辨析，這個過程能讓學生逐漸明晰代數(shù)式的特征，從而自主建構(gòu)概念.

1.4 例題精練

教師出示例題，學生先動手做，再用希沃投影答案，并請學生逐個講解.

(2)林老師用分期付款的方式購買汽車：首期付款a元，以后每月付款1 500元，直至付清欠款，x個月后，林老師共付款元.

(3)直角三角形兩直角邊長分別為acm、bcm，斜邊長為5 cm,它的面積是cm2，斜邊上的高是cm.

(4)一個兩位數(shù)，個位數(shù)是x，十位數(shù)是y，這個兩位數(shù)為，如果個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，所得的兩位數(shù)是.

師：請同學講解第(1)題.

生(齊)：乘號.

生(齊)：加號.

生24：首期付款a元，每月付1 500，x個月付1 500×x，一共a+1 500×x元.

師：非常好！那你看這個寫法有沒有問題？

生24：可以再簡潔一點，直接寫成a+ 1 500x元.

師：很好！數(shù)字與字母相乘時，乘號省略或者用小圓點表示，否則我們同學寫的時候1 500×x，不知道這里是×還是x，所以直接省略(1 500x)或用小圓點表示(1 500·x)，并且把數(shù)字寫在字母前面，而不能寫成x1 500.還有要注意，如果這里是加減連接并且后面有單位，必須加括號，否則我們不知道元是1 500x的單位還是a+1 500x的單位.但是乘除要不要加括號，比如(1 500xy)元？不用，乘除我們已經(jīng)默認它是一個整體了，就是這個整體的單位．再看第(3)題.

師：很好！同樣注意寫法，字母與字母相乘，乘號可以省略或者用小圓點表示.數(shù)字與數(shù)字相乘乘號可不可以省略？

生(齊)：不可以.

師：比如2×3，省略就變成23了，不行.可不可以用小圓點？

生(齊)：不行.

生26：十位數(shù)是y，就是10y,個位數(shù)是x，一共是10y+x，個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，就是十位是x，是10x+y.

師：這里應該寫成——

生26：乘號省略，10y+x和10x+y.

師：通過解決這道題，你有什么體會？我們在書寫代數(shù)式的時候有什么要注意的？(學生說，教師板書.)

生27：數(shù)字與字母相乘，字母與字母相乘時，乘號省略或用小圓點代替；數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字寫在前面，字母寫在后面；除法要寫成分數(shù)線的形式；有加減且后面有單位時，代數(shù)式要加括號.

例2(1)一根彈簧長10 cm，每掛質(zhì)量為 1 kg物體，彈簧伸長0.5 cm，則10+0.5x表示;

(2)說出右邊代數(shù)式的意義：a+2b，2(a-b);

(3)你能選擇其中一個代數(shù)式，說說它能表示什么實際意義嗎？

(說明：例2由學生講解，教師進行點評.)

設計意圖因為例1主要讓學生自己練，所以教師故意將學生不規(guī)范的書寫呈現(xiàn)出來，然后再作強調(diào)，幫助學生規(guī)范書寫并理解其中原由.例2讓學生發(fā)現(xiàn)同一個代數(shù)式可以有不同的實際背景，有助于強化學生的符號感，為后繼方程的教學作鋪墊．

1.5 小結(jié)提升

師：通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？

生29：我知道了代數(shù)式的定義，是用基本的運算符號(加、減、乘、除、乘方等)將數(shù)、表示數(shù)的字母連接起來的式子，并且單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式.

生30：我知道了代數(shù)式的書寫規(guī)范，數(shù)字與字母相乘，字母與字母相乘時，乘號省略或用小圓點代替；數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字寫在前面，字母寫在后面；除法要寫成分數(shù)線的形式；有加減且后面有單位時，代數(shù)式要加括號.

生31：同一個代數(shù)式可以有不同的實際意義.

師：到這里，老師又有個疑問了，這節(jié)課我們研究的還是數(shù)嗎？

生(齊)：代數(shù)式.

師：因此，從這節(jié)課開始我們的學習有了一個質(zhì)的飛躍，從數(shù)到式，這是一個從具體到抽象的過程.那么，類比數(shù)的研究，你覺得我們要研究代數(shù)式的哪些東西呢？

生(齊)：定義、分類、運算.

師：(教師板書，如圖4)非常好，這一章我們將去研究這些問題.

圖4

設計意圖讓學生對所學知識進行梳理、歸納和總結(jié)，類比數(shù)的研究方法猜想式的研究方法，體會類比的思想，學會研究問題的一般方法.

1.6 知識延伸

我們知道，按圖2中方式，搭n條“小魚”需要(6n+2)根火柴棒.

師：對于這個情境，你覺得還有哪些問題是我們未來要研究的？

提出問題，供學生課后思考探討.

設計意圖呼應開頭，火柴棒搭小魚的活動貫穿整個初中階段，將代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)串聯(lián)起來，形成一個體系，有助于學生掌握代數(shù)的知識體系.

2 教學思考

在進行了以上教學后，筆者從以下三個方面對本課進行了反思．

2.1 注重數(shù)學思想方法教學是培養(yǎng)學生能力的重要手段

數(shù)學知識是一個有聯(lián)系的整體，特別是有些并列的數(shù)學知識，它們的研究方法相同，因而學習經(jīng)驗可被相互借鑒.本節(jié)課雖不是章節(jié)起始課，但對整個代數(shù)式的學習起著統(tǒng)領作用，讓學生類比數(shù)的研究內(nèi)容猜想代數(shù)式的研究內(nèi)容，學生很快能夠建構(gòu)代數(shù)式的知識框架，這就學會了研究問題的方法．

2.2 自主建構(gòu)知識是數(shù)學課堂教學的最高目標

數(shù)學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程，有效的教學活動是學生的學與教師的教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者[1]，只有學生自主建構(gòu)知識，才能將其內(nèi)化成自己的東西．本節(jié)課的教學中，代數(shù)式的概念不是直接告訴學生，而是在學生對代數(shù)式有一定感性經(jīng)驗的基礎上，讓學生憑經(jīng)驗辨析，體會什么樣的式子是代數(shù)式，自主建構(gòu)代數(shù)式的概念[2]．在代數(shù)式的書寫規(guī)范上，允許學生犯錯，然后通過啟發(fā)和引導，促使其去思考和理解．

2.3 精講精練是高效教學、訓練思維的重要途徑

數(shù)學的教學應激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生學習積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維，形成核心素養(yǎng)．這需要教師打開學生的思考，以問題引領教學，避免“題海戰(zhàn)術”．在本節(jié)課的教學中，問題情境中的四道題分別以表格、圖形、文字的方式呈現(xiàn)，且涵蓋各種代數(shù)式，在情景3的教學中，挖得比較深，引導學生思考每一問之間的關系，對于題目的條件(n>20)是否可以不要，如果不要又該如何，滲透了從特殊到一般的思想以及分類討論的數(shù)學思想，并培養(yǎng)學生提出問題的能力．