孫 凱 (江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 215151)

張必華 (江蘇省蘇州市高新區(qū)教育發(fā)展中心 215003)

1 問題的提出

數(shù)學教育的育人功能在教學中體現(xiàn)為提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界[1].所謂數(shù)學語言，本質就是數(shù)學模型，用數(shù)學語言表達世界就是構建數(shù)學模型表示現(xiàn)實事物的本質、關系和規(guī)律.能否將現(xiàn)實問題用數(shù)學語言正確地表達，是學生建構數(shù)學模型并體會模型思想的關鍵.模型思想作為初中數(shù)學十個核心概念之一，是一種基本的數(shù)學思想，是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.方程是滲透模型思想的良好載體，但在方程起始教學中往往出現(xiàn)對教學內容及其所反映的基本思想理解不夠，教學站位不高、思想性不強的現(xiàn)象，使學生體會模型思想乏力，教學效益大打折扣.近期，筆者在全市范圍內開設了一節(jié)“從問題到方程”的研討課，下面結合個人對教學內容的理解，談談引導學生在用數(shù)學語言表達現(xiàn)實問題的過程中建構方程模型、體會模型思想的教學策略.

2 教學簡析

2.1 教材理解

蘇科版初中數(shù)學教材主編楊裕前老師在教材解讀時指出：“通過比較可以看出，用方程描述這種相等關系最簡明”.這句話指明本節(jié)課教學的核心目標是引導學生初步認識“方程”這個數(shù)學模型，感悟用“方程”這種數(shù)學模型來表達現(xiàn)實世界中已知量與未知量間的相等關系最為簡明，在數(shù)學表達中體會模型思想.因此，這節(jié)課的教學目標是讓學生經(jīng)歷用方程來描述現(xiàn)實問題中的相等關系，體會方程模型的優(yōu)越性.

2.2 對“測井深”的質疑

有研究者認為，教材上提供的古代問題(測井深)在表述上有歧義，建議刪除或更換一個問題.也有研究者認為，測井深問題中數(shù)量之間的相等關系不是很清晰，與上面問題情境中數(shù)量之間相等關系的關聯(lián)不夠，不利于整體教學目標的達成.關于表述方面的問題可以這樣解決，比如在問題中添加圖形描述“三折”的意義，或者提醒學生“三折”的意思.測井深問題中的相等關系屬于“相同量”特征，而天平問題、籃賽積分問題都是描述的“相等量”，在內容設置上是有區(qū)別的，在這里我們要理解教材編寫者的意圖，不要盲目地刪減或更換.通過測井深問題，學生會明白可以用不同的數(shù)量關系描述同一個量，在聯(lián)系用字母表示數(shù)的基礎上用方程表達相等關系最簡明，既感悟列方程與用字母表示數(shù)的關系，又體悟方程的本質.

2.3 教學理解

教學圍繞為什么學、學什么、怎么學等基本問題展開.有教師建議在創(chuàng)設情境環(huán)節(jié)中，應設計相對復雜的問題情境，讓學生親身經(jīng)歷問題的分析過程，感受學習方程的必要性，教學中以算術方法與方程方法的比較為教學主線，既感受為什么學，又指明學什么、怎么學.但筆者認為本節(jié)課的教學重點是數(shù)學表達和模型建構，課堂教學應聚焦于用數(shù)學語言建構方程模型的過程，教學中應適度減少算術法與方程法的比較過程，讓學生感受到學習方程的必要性即可.因此，教學主線定位在如何審題、分析數(shù)量關系、用數(shù)學語言表達、建立方程模型、形成概念、體會模型思想上.

3 教學過程

3.1 問題激趣，直觀感悟

師：同學們，我們在燒菜時會用到食用鹽(400 g鹽袋展示)，你們知道一袋食用鹽的質量嗎？

教學說明估算鹽袋質量，激發(fā)學習興趣.讓學生經(jīng)歷先猜想，再用天平測量未知鹽袋質量的活動，直觀感知相等關系.引發(fā)思考：如何描述含有“未知的量”和“已知的量”等數(shù)量之間的相等關系？引入新課，板書課題.

3.2 探索歸納，建構模型

問題1如圖1，怎樣表達天平平衡所表示的數(shù)量之間的相等關系？你從圖上可以獲取哪些信息？

圖1

學生分別展示圖形表達、文字表達和符號表達(方程2x+1=5)等.

師：我們通過比較圖形表達、文字表達和符號表達可以發(fā)現(xiàn)，符號表達最簡明.你們認識數(shù)學式子2x+1=5嗎？

師生共同回顧方程的定義，指出對數(shù)量之間的相等關系進行表達時，方程是最簡明的.

教學說明呈現(xiàn)天平平衡狀態(tài)下的圖片，圖形中蘊含的信息可以通過文字或符號來表達，讓學生感受圖形信息、文字信息和符號信息之間的內在聯(lián)系，體會符號表達(方程描述)最簡明.

問題2籃球聯(lián)賽規(guī)則規(guī)定：勝一場得2分，負一場得1分.某籃球隊賽了12場，共得20分.怎樣描述其中數(shù)量之間的相等關系？

師：讀題后，你有沒有不明白的地方？

生1：負一場得1分是什么意思？打平了怎么辦？

師：負一場得1分的意思是輸一場也可以得到1分，在籃球比賽中沒有平局，若在常規(guī)時間內恰好打平，需在加時賽中分出勝負.審清題意之后，你是如何表達相等關系的？

生2：勝場得分+負場得分=20分.

生3：設該隊勝x場，那么該隊負(12-x)場，可以用方程2x+1×(12-x)=20來表達.

追問：設勝了x場，你是怎樣知道負(12-x)場的？

生4：勝的場數(shù)+負的場數(shù)=12場.

師：說明問題2中含有兩個相等關系，可用下表來分析表達，請你嘗試并展示表達方法.

問題2勝場數(shù)負場數(shù)總數(shù)場數(shù)12得分20

生5：12×2=24(分)，24-20=4(分)，4÷(2-1)=4(場)，說明負4場、勝8場.

生7：設該隊勝場得分為y分，則負場得分為(20-y)分，可用方程來表達.

師：比較一下算術表達與方程表達等量關系時哪個更優(yōu)越？在不同的方程表達中，哪種方法更簡單？這與設未知數(shù)有關系嗎？

教學說明通過學生的展示，得到算術表達、文字表達、方程表達等結果，在方程表達中既有一元一次方程表達，也有方程組表達.學生經(jīng)歷方程模型的建構過程，體會方程的優(yōu)越、簡明.在探索活動中，不能滿足于感悟方程的簡明，還應關注問題中的未知量、已知量和相等關系，引導學生通過表格體悟設不同的未知數(shù)、選用不同的相等關系會得到不同的方程模型，通過反思性學習，自主感悟方程建模的對比與優(yōu)化.讓學生通過比較發(fā)現(xiàn)，用算術方法思考比較困難，但結果比較直接；用二元一次方程組的方法思考比較簡潔，但計算比較困難.以此啟發(fā)學生思考，優(yōu)化方程模型建構的方案.

問題3我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺.繩長、井深各幾何？

這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺(如 圖2)；把繩四折來量，井外余繩一尺.問繩長、井深各幾尺？

圖2

師：審題后，有沒有不明白的地方？

生8：“三折來量”的“三折”是什么意思？

師：(用繩子演示三折)弄清三折的意思后，完成問題探索并展示.

生10：若設井深為y尺，那么3(y+4)尺與4(y+1)尺表示的都是繩長，于是可用方程3(y+4)=4(y+1)來表達.

教學說明呈現(xiàn)我國古代問題，讓學生感悟數(shù)學的發(fā)展史，體會用方程解決問題的必要性、優(yōu)越性.在問題分析的過程中，學會用數(shù)學語言準確表達數(shù)量關系，建構方程模型，浸潤方程思想.

3.3 嘗試表達，體驗建構

問題4我們知道，按圖3的方式搭n條“小魚”需要[8+6(n-1)]根火柴棒.搭n條“小魚”用了140根火柴棒，怎樣用方程來表達其中數(shù)量之間的相等關系？

圖3

問題5今年小紅5歲，爸爸32歲.

(1)用代數(shù)式分別表示x年后小紅與爸爸的年齡；

教學說明搭“小魚”問題和年齡問題相對簡單，在教學中應注重挖掘其潛在的教學價值.一是加強前后知識間的聯(lián)系，體會用字母表示數(shù)與列方程的內在關系；二是體會單值對應的思想，即n或x確定時，火柴棒數(shù)量與年齡也對應確定，反之亦然；三是體會方程表達問題中的相等關系更簡明、優(yōu)越.

3.4 觀察概括，形成概念

師：觀察我們得到的這些方程，你能把它們分分類嗎？說說你是怎樣分的.

師：觀察這一類方程有什么共同特征.

生12：這些方程只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1.

師：我們把只含有一個未知數(shù)(元)并且未知數(shù)的次數(shù)都是1(次)的方程叫做一元一次方程.對于這個概念，你有什么感興趣的地方嗎？

生13：老師，什么是“元”？

師：你真棒，有寶貴的問題意識.為什么把未知數(shù)稱為元？在我國宋元時期，創(chuàng)立了天元術，在解決實際問題時“立天元一為某某”，相當于“設某某為x”，后來我們把“元”看作未知數(shù)的統(tǒng)稱.請你嘗試給方程x+y=12，2x+y=20下個定義.

生(齊)：二元一次方程.

教學說明引導學生觀察方程，歸納概括共同的特征，形成一元一次方程的概念.并通過類比的方法適時引導學生給出二元一次方程的概念.教學中通過追問培養(yǎng)學生的問題意識，提出“什么是元”的問題，以此為契機，滲透數(shù)學史、數(shù)學文化，培養(yǎng)學生追根溯源、熱愛探究的學習習慣.

3.5 應用拓展、練習鞏固(略)

4 教學思考

4.1 關注審題細節(jié)，突破教學難點

弄清題意是分析和解決問題的重要基礎.教學中應關注學生審題習慣的培養(yǎng)，幫助他們學會審題、弄清題意.本節(jié)課設計了多個問題情境，特別涉及到古代問題，對學生理解問題、弄清題意提出了挑戰(zhàn).教師在指導學生審題時既要關注問題的整體條件，又要關注問題的具體細節(jié).在整體理解語言表述的基礎上，指出關鍵詞或關鍵語句，弄清一些基本問題：未知的量、已知的量、相等關系等，同時還應弄清一些細節(jié)，比如教學中“負一場得1分”“平局怎么積分”“三折來量”等.關注審題細節(jié)，深刻理解實際問題中文字或圖形表述的信息是正確進行數(shù)學語言表達、建構方程模型的保障，也是今后用方程解決實際問題的重要基礎.

4.2 注重方法比較，感悟方程優(yōu)越

“從問題到方程”的教學核心是引導學生認識方程模型，感悟用方程模型表達現(xiàn)實世界中已知量與未知量間的相等關系是最簡明的.如何凸顯方程模型是最簡明的？用比較的方法是最好的方案.從問題1開始，引導學生感受相等關系的表達方法有圖形表達、文字表達、算術表達、方程表達，在后續(xù)問題2、問題3的探索活動中，根據(jù)學生展示的情況，適時引導學生思辨不同表達方法的特點，通過比較感悟方程模型的簡明、優(yōu)越.

4.3 把握課堂生成，精準教學實施

教學設計是對教學過程的“預設”，在執(zhí)行教學設計方案時，師生的互動往往會“生成”一些非預設性的資源，教師需要及時把握生成的動向，因勢利導，適時調整預設的教學方案.比如《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》在課程內容及實施建議的實例51中，建議在一元一次方程教學時，用四則運算的方法表達問題中的數(shù)量關系，意在引導學生比較并發(fā)現(xiàn)用算術方法思考問題是相對困難的，而用一元一次方程表達是最簡明的.在教學中筆者卻發(fā)現(xiàn)，選用方程法的學生最多，而選用算術法的很少.因此，教學中應迅速發(fā)現(xiàn)和捕捉學生的思維動向，及時調整“預設”的流程和方案，甚至改變原有的設計，以便更加順暢地實施教學過程，完成教學任務，實現(xiàn)教學目標[2].

4.4 經(jīng)歷數(shù)學表達，聚焦模型建構

模型思想與數(shù)學核心素養(yǎng)中的數(shù)學建模有密切的關系，在初中階段的數(shù)學教學中滲透模型思想是培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的有效途徑.就方程的起始教學來說，要關注學生用數(shù)學思維分析、用數(shù)學語言表達現(xiàn)實問題中的數(shù)量關系能力的培養(yǎng)，更要注重模型思想的滲透.需要指出的是數(shù)學模型本質上是一種數(shù)學結構，從數(shù)學建模的范疇來看，本節(jié)課側重的是數(shù)學模型的建構過程，即用數(shù)學的語言表達數(shù)學問題中的數(shù)量關系(用數(shù)學符號建立方程)，凸顯了數(shù)學模型的獲得過程，這是數(shù)學建模最重要的環(huán)節(jié)，但它并不是完整意義上的數(shù)學建模(如圖4).

圖4

比如在“測井深”的問題中，先由學生自主分析問題，弄清題意，經(jīng)歷把現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學語言表達相關數(shù)量關系，用數(shù)學符號建立方程，獲得數(shù)學模型.這一模型建構過程使學生系統(tǒng)掌握基礎知識，感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的關聯(lián)，加深對數(shù)學內容的理解，進一步體會模型思想.又如在一元一次方程概念形成過程中，了解、體會概念(即數(shù)學模型)的概括性、一般性，通過要素分析[3]，可引導學生把握一元一次方程模型的要點和結構，體會模型思想.