李 靜，程 磊

(信陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，信陽 464000)

0 引言

中國古代的“物不知數(shù)”問題[1]在國際上被稱為“中國剩余定理”，南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶給出了求解此類問題的方法“大衍求一術(shù)”，這一解法從根本上解決了關(guān)于一次同余式組的一般問題。本文首先給出了中國剩余定理的一般形式，接著將這一定理推廣到多項(xiàng)式形式，最后通過舉例闡述了中國剩余定理在多項(xiàng)式理論中的部分應(yīng)用。

1 一般形式

定理1(中國剩余定理)[2]設(shè)正整數(shù)m1,m2,…,mk兩兩互素，則對(duì)于任意的k個(gè)正整數(shù)a1,a2,…,ak，一次同余方程組

都有整數(shù)解，并且在模m=m1m2…mk下這個(gè)解是唯一的，即任意兩個(gè)解都是模m同余的。

2 多項(xiàng)式形式

引理1設(shè)某個(gè)數(shù)域上的多項(xiàng)式p1(x),p2(x),…,pn(x)兩兩互素，證明存在多項(xiàng)式fi(x)(1≤i≤n)，使得

證因p1(x),p2(x),…,pn(x)是兩兩互素的，故當(dāng)j≠i時(shí)，

gcd(pj(x),pi(x))=1

因此

從而存在多項(xiàng)式ui(x),vi(x)，使得

定理2(中國剩余定理的多項(xiàng)式形式)[3]設(shè)某個(gè)數(shù)域上的多項(xiàng)式p1(x),p2(x),…,pn(x)兩兩互素，且它們的次數(shù)依次為m1,m2,…,mn。證明對(duì)該數(shù)域上的任意n個(gè)多項(xiàng)式f1(x)，f2(x)，…，fn(x)，存在唯一的次數(shù)小于m1+m2+…+mn的多項(xiàng)式f(x)，使得對(duì)每個(gè)1≤i≤n，均有

f(x)≡fi(x)(modpi(x))

證由引理1可知：對(duì)每個(gè)1≤i≤n，存在多項(xiàng)式gi(x)，使得

現(xiàn)記

F(x)=f1(x)g1(x)+f2(x)g2(x)+…+

fn(x)gn(x)

此時(shí)有

F(x)≡fi(x)(modpi(x))i=1,2,…,n

做如下帶余除法運(yùn)算

其中f(x)的次數(shù)

且對(duì)每個(gè)1≤i≤n，均有

f(x)≡F(x)≡fi(x)(modpi(x))

再證唯一性：

假設(shè)g(x)也滿足定理中的條件，則

pi(x)|f(x)-g(x) 1≤i≤n

注意到p1(x),p2(x),…,pn(x)是兩兩互素的，可得

又因?yàn)?/p>

所以必有

f(x)-g(x)=0

即g(x)=f(x)。

3 在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用

例1[2]拉格朗日插值公式：設(shè)a1,a2,…,an是有理數(shù)域(或?qū)崝?shù)域)上的n個(gè)不同的數(shù)，則對(duì)該數(shù)域上的任意n個(gè)數(shù)b1,b2,…,bn，都存在唯一一個(gè)次數(shù)小于n的多項(xiàng)式

適合條件

L(ai)=bi，其中 1≤i≤n。

證取多項(xiàng)式

p1(x) =x-a1

p2(x) =x-a2

?

pn(x) =x-an

它們是兩兩互素的。由中國剩余定理，存在唯一的次數(shù)小于n的多項(xiàng)式f(x)，使得

f(x)≡bi(modpi(x)) 1≤i≤n

且

當(dāng)x=ai時(shí)，f(ai)=bi1≤i≤n

又因?yàn)長(x)滿足條件，所以f(x)=L(x)，可得L(x)為所求。

例2證明數(shù)域P上的n次多項(xiàng)式f(x)在P里至多有n個(gè)互異根。

證若f(x)在P里有n+1個(gè)互異根a1,a2,…,an+1，即

f(a1)=0,f(a2)=0,…,f(an+1)=0

則由例1中的拉格朗日插值公式可知：存在唯一一個(gè)次數(shù)小于n+1的多項(xiàng)式

即f(x)恒為0，與f(x)的次數(shù)?(f(x))=n矛盾，因此結(jié)論成立。

例3設(shè)多項(xiàng)式f(x)滿足

求f(x)被多項(xiàng)式(x-1)(x-2)(x-3)除后的余式。

解將多項(xiàng)式f(x)寫成

f(x)=p(x)(x-1)(x-2)(x-3)+r(x)

其中?(r(x))<3。由條件可得

r(1)=f(1)=4

r(2)=f(2)=8

r(3)=f(3)=16

由例1中的拉格朗日插值公式得

2x2-2x+4

例4設(shè)f1(x),f2(x)是數(shù)域P上兩個(gè)多項(xiàng)式，證明：f1(x),f2(x)互素的充分必要條件是對(duì)P上任意兩個(gè)多項(xiàng)式r1(x),r2(x)，都存在P上兩個(gè)多項(xiàng)式q1(x),q2(x)，使得

q1(x)f1(x)+r1(x)=q2(x)f2(x)+r2(x)

證 充分性

令r1(x)=r2(x)-1，則q1(x)f1(x)-q2(x)f2(x)=1，所以f1(x)與f2(x)互素。

必要性因?yàn)閒1(x),f2(x)互素，所以存在u1(x),u2(x)∈P[x]，使得

u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)=1

令

g1(x)=u2(x)f2(x)

g2(x)=u1(x)f1(x)

則有

gi(x)≡1(modfi(x))i=1,2

令

F(x)=g1(x)r1(x)+g2(x)r2(x)

則有

F(x)≡ri(x)(modfi(x))i=1,2

所以存在q1(x),q2(x)∈P[x]，使得

F(x)=q1(x)f1(x)+r1(x)=q2(x)f2(x)+r2(x)例5[3]設(shè)f(x)除以x2+1、x2+2的余式分別為4x+4,4x+8，求f(x)除以(x2+1)(x2+2)的余式。

解由條件可知

注意到x2+1 與x2+2互素，令

p1(x)=x2+1,p2(x)=x2+2

f1(x)=4x+4,f2(x)=4x+8

所以有

f(x)≡fi(x)(modpi(x))i=1,2

又因?yàn)?/p>

(-1)(x2+1)+1·(x2+2)=1

令

g1(x)=1·(x2+2)=1·p2(x)

g2(x)=(-1)·(x2+1)=-1·p1(x)

所以有

令

F(x)=f1(x)g1(x)+f2(x)g2(x)

此時(shí)有

F(x)≡fi(x)(modpi(x))i=1,2

令

可得

f(x)≡F(x)≡

f1(x)g1(x)+f2(x)g2(x)≡

(4x+4)·1·(x2+2)+

(4x+8)·(-1)·(x2+1)≡

4x-4x2(modp1(x)p2(x))

即f(x)≡4x-4x2(mod(x2+1)(x2+2))

4 結(jié)束語

本文介紹了中國剩余定理的多項(xiàng)式形式并給出了證明，運(yùn)用此定理證明了拉格朗日插值公式的存在性和唯一性，并利用拉格朗日插值公式證明了n次多項(xiàng)式至多有n個(gè)互異的根，最后通過具體的例子介紹了中國剩余定理在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用。