田竺艷，張樹文，魏春金

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

傳染病一直以來是威脅人類生命的第一殺手，它是醫(yī)學(xué)界普遍關(guān)注的重要問題之一。宏觀上，制定高效的控制措施是阻止傳染病在人群中傳播的首要戰(zhàn)略選擇。微觀上，研制殺死細(xì)菌、病毒的藥物和對(duì)疾病有免疫效果的疫苗是控制傳染病的根本手段。近年來，越來越多的學(xué)者專注于傳染病動(dòng)力學(xué)的研究，而疾病傳播模型是理論流行病學(xué)里最常用的一種數(shù)學(xué)模型，其中最經(jīng)典的是SIS模型與SIR模型，后來許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上建立了更復(fù)雜但也更符合實(shí)際的模型[1-4]。通過建模，分析傳染病控制措施和各種政策、措施的控制效果，研究其傳播規(guī)律，為傳染病控制提供可靠的控制策略。目前，隔離仍然是人類戰(zhàn)勝突發(fā)傳染病的主流手段[5]。因此，考慮對(duì)傳染病人進(jìn)行隔離控制具有重要意義。

文獻(xiàn)[6]提出如下有隔離控制的隨機(jī)SIQR流行病模型：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

(3)

令(x(t)，r(t))表示由下列方程所描述的擴(kuò)散過程

(4)

2 主要結(jié)果

定理1 對(duì)任意給定的初值(S(0)，I(0),Q(0),R(0)，r(0))∈Γ*×S，系統(tǒng)(2)在t≥0中存在唯一解(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))∈Γ*×S，并且該解以概率1存在于Γ*×S中，即對(duì)所有t≥0，(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))∈Γ*×S,a.s.。

證明顯然，系統(tǒng)(2)滿足局部Lipschitz條件，因此，對(duì)給定的初值(S(0)，I(0),Q(0),R(0)，r(0)) ∈Γ*×S，在t∈[0，τe)時(shí)，系統(tǒng)存在唯一解(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))∈Γ*×S，τe是爆破時(shí)間。因此通過It計(jì)算可得，系統(tǒng)(2)的唯一解是正解。

為了證明這個(gè)解是全局的，只需證明τe=+∞。

若τ∞→/∞，則存在常數(shù)T≥0，ε∈(0，1)和一個(gè)整數(shù)k1≥k0，有P{τk≤T}≥ε，?k≥k1。

定義一個(gè)C2-函數(shù)V：(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))∈Γ*×S→R+，V(S，I，Q,R)=S-1-lnS+I-1-lnI+Q-1-lnQ+R-1-lnR。由It公式可得,dV(S，I，Q,R，r)=(1-1/S)[(A(r(t))-μ(r(t))S-(β(r(t))SI)/(1+α(r(t))S))dt-(σ(r(t))SI)/(1+α(r(t))S)dB(t)]+(σ2(r(t))I2)/(2(1+α(r(t))S)2)dt+(1-1/I)[(β(r(t))SI)/(1+α(r(t))S)-(γ(r(t))+δ(r(t))+μ(r(t))+μ1(r(t)))Idt+(σ(r(t))SI)/(1+α(r(t))S)dB(t)]+(σ2(r(t))S2)/[2(1+α(r(t))S)2]dt+(1-1/Q)[δ(r(t))I-(θ(r(t))+μ(r(t))+μ2(r(t)))Q]dt+(1-1/R)[γ(r(t))I+θ(r(t))Q-μ(r(t))R]dt=LVdt+(σ(r(t))I)/(1+α(r(t))S)dB(t)-(σ(r(t))S)/(1+α(r(t))S)dB(t),其中LV：Γ*×S→R+。定義為:LV(S，I，Q,R，k)因此，可得dV(S，I，Q,R，r)=Kdt+[σ(r(t))I/(1+α(r(t))S)-(σ(r(t))S)/(1+α(r(t))S)]dB(t)。將上式兩邊從0到τk∧T進(jìn)行積分取期望可得,

設(shè)Ωk={τk≤T}。當(dāng)k≥k1時(shí)，由P{τk≤T}≥ε，?k≥k1，有P(Ωk)≥ε。由停時(shí)的定義，把k和1/k代入V(S(t)，I(t),Q(t),R(t)，r(t))，易得：V[S(τk∧T)，I(τk∧T),Q(τk∧T),R(τk∧T)，r(τk∧T)]≥min{k-1-lnk，1/k-1+lnk}=Q。則V(S(0)，I(0),Q(0),R(0)，r(0))+KT≥E[V(S(τk∧T)，I(τk∧T),Q(τk∧T),R(τk∧T)，r(τk∧T))]≥εQ。當(dāng)k→∞時(shí)，可得∞>V(S(0)，I(0),Q(0),R(0)，r(0))+KT=∞，與假設(shè)矛盾,即τ∞=∞,a.s.。證畢。

證明由It公式可得,d lnI=[β(r(t))S/(1+α(r(t))S)-(γ(r(t))+δ(r(t))+μ(r(t))+μ1(r(t)))-σ2(r(t))S2/(2(1+α(r(t))S)2)]dt+σ(r(t))S/[1+α(r(t))S]dB(t)=φ[S/(1+α(r(t))S)]dt+[σ(r(t))S/(1+α(r(t))S)]dB(t),其中φ(x)=β(k)x-(γ(k)+δ(k)+μ(k)+μ1(k))-(σ2(k)x2/2)。

A2(r(s))σ2(r(s))/(2(μ(r(s))+A(r(s))α(r(s)))2)]ds。

(5)

下面將證明對(duì)任何Γ*Dε，LV(S，I，Q,R)≤-1，即驗(yàn)證在這6個(gè)區(qū)域中,LV(S，I，Q,R)≤-1。

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證結(jié)果的正確性，采用Milstein高階方法[10]對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值模擬。

選擇兩組參數(shù):A(1)=0.8，β(1)=0.6，α(1)=0.5，γ(1)=0.3，θ(1)=0.3，δ(1)=0.3，μ(1)=0.1，μ1(1)=0.2，μ2(1)=0.15;A(2)=0.9，β(2)=0.9，α(2)=0.4，γ(2)=0.2，θ(2)=0.2，δ(2)=0.2，μ(2)=0.2，μ1(2) =0.3，μ2(1)=0.25。

見圖1。

見圖2。

圖1～圖3給出了不同隨機(jī)擾動(dòng)強(qiáng)度下系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)行為。由圖1和圖2可知，隨著噪聲強(qiáng)度σ(1)、σ(2)的減小，系統(tǒng)(2)的平均滅絕時(shí)間在變長(zhǎng)，噪聲越強(qiáng)，疾病的滅絕時(shí)間越短；而從圖1～圖3可知，當(dāng)σ(1)、σ(2)強(qiáng)度減小時(shí)，疾病從滅絕到平均持久。

4 結(jié)論