周寧醫(yī)
(上海市浦東教育發(fā)展研究院 200127)
隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》)的頒布,一個迫切需要研究的問題顯現(xiàn)出來,就是如何在課堂教學(xué)層面上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?與之前的課程標(biāo)準(zhǔn)相比較,新的課程標(biāo)準(zhǔn)在指導(dǎo)思想、課程理念、教學(xué)方式、教學(xué)評價等方面發(fā)生了變革,要使新的課程改革真正落實,課堂教學(xué)的研究必須先行.
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析,并且規(guī)劃好了路線圖:反映數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個方面,它們分別為“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達(dá)”、“交流與反思”;聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個主題,它們分別為函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?;顒优c數(shù)學(xué)探究活動;評價數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的三個水平[2].美好的藍(lán)圖需要依托日常教學(xué)的呈現(xiàn)來達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之目的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在學(xué)習(xí)過程中形成的,不能脫離內(nèi)容與過程.教師應(yīng)該明確不同的學(xué)習(xí)主題對核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有所側(cè)重.如:幾何與代數(shù)主題,重點提升的是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);概率與統(tǒng)計主題,重點提升的是數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).可見,主題和六個方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間并不是一一對應(yīng)的關(guān)系.了解了這些特點,教師就需要深入研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)達(dá)成的任務(wù)設(shè)計,只有這樣,才能提高教學(xué)的針對性,實現(xiàn)精準(zhǔn)培養(yǎng).
“指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的任務(wù)設(shè)計”類似于項目學(xué)習(xí):一是把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì);二是創(chuàng)設(shè)適合的教學(xué)情境(包括現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等),提出合理的問題,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論(中學(xué)數(shù)學(xué)課本范疇內(nèi)的概念、公式、法則等);三是啟發(fā)學(xué)生獨立思考,鼓勵學(xué)生參與集體交流;四是讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識和技能的同時,感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì),讓學(xué)生在積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗中,逐步習(xí)得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
本文以“球面距離”教學(xué)為例,呈現(xiàn)“指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的任務(wù)設(shè)計”的過程.筆者認(rèn)為,以課堂教學(xué)為陣地,以數(shù)學(xué)內(nèi)容為主線,以情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)和交流與反思為路徑,在潤物細(xì)無聲處培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
(1)情境
人民網(wǎng)約翰內(nèi)斯堡2015年10月30日電,2015年是南非的“中國”年,當(dāng)?shù)貢r間10月30日上午8點10分,迎著非洲大陸最南端美麗的晨曦,中國國際航空股份有限公司北京—約翰內(nèi)斯堡CA867/B2035次首航航班波音777-300ER“微笑中國號”平穩(wěn)地降落在約翰內(nèi)斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機(jī)場,標(biāo)志著中國國航開通北京至約翰內(nèi)斯堡這條新航線首飛成功.
航班號為CA867/B2035的波音777-300ER型客機(jī)于北京時間10月29日23時15分從北京首都機(jī)場起飛,于次日當(dāng)?shù)貢r間7時35分到達(dá)約翰內(nèi)斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機(jī)場.
(2)問題
如何設(shè)計從北京直飛約翰內(nèi)斯堡的最近航線.
平面上的兩點之間線段最短,該線段的長度就是兩點之間的距離.類似地,要定義球面上兩點之間的距離,也應(yīng)該在球面上找到聯(lián)結(jié)兩點的最短距離,該路徑長度就是球面上兩點之間的距離.可以證明,在聯(lián)結(jié)球面上兩點的路徑中,通過該兩點的大圓劣弧最短,因此該弧的長度就是這兩點的球面距離[3].
例1已知地球的半徑約為6371千米,上海的位置約為東經(jīng)121°27′,北緯31°8′,臺北的位置約為東經(jīng)121°27′,北緯25°5′,求兩個城市之間的距離(結(jié)果精確到1千米)[4].
解:因為上海和臺灣在同一經(jīng)線上,所以它們在地球的同一個大圓上.設(shè)地球的球心為O,上海、臺北分別為點A、B,由上海、臺北的經(jīng)度知,∠AOB=6°3′,地球半徑r=6371千米.可計算得AB的弧長
所以上海和臺北兩個城市之間的距離約為672千米.
例2已知北京的位置約為東經(jīng)116°,北緯40°,紐約的位置約為西經(jīng)74°,北緯40°.求兩個城市之間的距離(結(jié)果精確到1千米)[5].
分析:雖然北京和紐約在同一條緯線上,但這條緯線并不是地球的大圓,所以要找到通過北京和紐約的大圓.
由已知條件知
∠AOC=∠BOC=40°,
∠COD=360°-(116°+74°)=170°,
地球半徑r=6371(km).
由余弦定理得
AB2=CD2
=OC2+OD2-2OC·OD·cos ∠COD,
其中OA=OB=r,OC=OD=rcos 40°.
所以北京和紐約兩個城市之間的距離約為11062千米.
通過上述兩例學(xué)習(xí),已初步掌握了地球上同經(jīng)度或同緯度兩點的球面距離計算.那么,地球上任意兩點的球面距離如何計算呢?
一般地,設(shè)地球上不同兩點A,B,點A的經(jīng)度為α、緯度分ψ,點B的經(jīng)度為β、緯度為φ,地球半徑為R,試求A,B兩點的球面距離.
為了方便表達(dá),約定東經(jīng)、北緯為正角,西經(jīng)、南緯為負(fù)角.
如圖,取球心O為原點,經(jīng)度為0°的大圓與赤道平面的交線為x軸,赤道平面內(nèi)過球心O且與x軸垂直的直線為y軸,過球心O與北極N的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則點A,B的球面坐標(biāo)分別為:
A(R·cosψ·cosα,R·cosψ·sinα,R·sinψ),
B(R·cosφ·cosβ,R·cosφ·sinβ,R·sinφ).
所以
=R2[cosψ·cosφ·cos(α-β)+sinψ·sinφ].
設(shè)∠AOB=θ,
=cosψ·cosφ·cos(α-β)+sinψ·sinφ,
cos(α-β)+sinψ·sinφ].
其中,當(dāng)|α-β|≤π(180°)時,則取|α-β|;當(dāng)|α-β|>π(180°)時,則取2π-(|α-β|)(或 360°-|α-β|).
推論1當(dāng)A,B兩點同經(jīng)度時,則α=β,
cos(α-α)+sinψ·sinφ]
=R·arccos(cosψ·cosφ+sinψ·sinφ)
=R·arccos[cos(ψ-φ)]
例1屬于此類型.
推論2當(dāng)A,B兩點同緯度時,則ψ=φ,
=R·arccos[cos2φ·cos(α-β)+sin2φ]
例2屬于此類型.
4.3.1 信息收集
根據(jù)中華地圖學(xué)社提供,北京首都機(jī)場位于:東經(jīng)116°36′,北緯40°5′,翰內(nèi)斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機(jī)場位于為:東經(jīng)28°14′,南緯26°8′.
查閱360百科知,民航客機(jī)起飛和降落階段處于對流層,在平流層都是巡航階段,也是飛機(jī)平飛階段,民航客機(jī)一般巡航在一萬米左右高空,飛行速度一般為900 km/h左右.
4.3.2 基本假設(shè)
(1)在中學(xué)視域下,把地球抽象成一個球體(實際上地球是一旋轉(zhuǎn)橢球體,赤道半徑為6378km,極半徑為6357km),地球自轉(zhuǎn)因素不考慮.
(2)假設(shè)飛機(jī)在飛行過程中速度變化不大,看作勻速飛行.
(3)假設(shè)飛機(jī)飛行高度恒定,始終為距地表10千米.
(4)假設(shè)飛機(jī)正常飛行,不會發(fā)生突發(fā)事件以及天氣變化等.
4.3.3 模型運用
根據(jù)收集到的信息:北京首都機(jī)場坐標(biāo)B(116°36′,40°5′),約翰內(nèi)斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機(jī)場坐標(biāo)Y(28°14′,-26°8′),飛機(jī)巡航高度h=10千米,地球半徑R=6371千米,飛機(jī)巡航時沿大圓半徑H=R+h=6371+10=6381千米飛行,飛行速度v= 900 km/h.代入模型:
cos(116°36′-28°14′)-sin 40°5′·
sin 26°8′]
≈11728(千米),
所以,從北京首都機(jī)場到約翰內(nèi)斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機(jī)場的飛行時間大約需要13個小時.
根據(jù)人民網(wǎng)報道:航班號為CA867/B2035的波音777-300ER型客機(jī)于北京時間10月29日23時15分從北京首都機(jī)場起飛,于次日當(dāng)?shù)貢r間7時35分到達(dá)約翰內(nèi)斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機(jī)場(北京與約翰內(nèi)斯堡時差6小時).
也就是說,航班號為CA867/B2035的波音777-300ER型客機(jī),從北京直飛約翰內(nèi)斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機(jī)場用時14小時20分鐘.根據(jù)球面距離計算模型計算,從北京首都機(jī)場直飛約翰內(nèi)斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機(jī)場,大約需要13個小時,之間還相差1小時20分鐘.
根據(jù)球面距離計算模型,計算的是北京首都機(jī)場萬米高空處到約翰內(nèi)斯堡奧利弗·雷金納德·坦博國際機(jī)場萬米高空處的飛行時間.事實上,飛機(jī)在機(jī)場跑道上滑行加速,然后仰沖飛行穿過對流層進(jìn)入平流層巡航,飛機(jī)在對流層的速度是小于在平流層的速度;同理,飛機(jī)在到達(dá)目的地前需要俯沖飛行穿過對流層降落在機(jī)場跑道上,滑行減速后才停住.坐過飛機(jī)的人都知道,飛機(jī)在到達(dá)目的地前30分鐘開始俯沖下降.
根據(jù)以上分析,準(zhǔn)確地說,從北京到約翰內(nèi)斯堡的時間 = 滑行加速時間 +仰沖時間 + 巡航時間 + 俯沖時間 + 滑行減速時間,因此,球面距離計算模型所計算的時間為巡航時間.
所以按球面距離計算模型設(shè)計從北京直飛約翰內(nèi)斯堡的航線是可信的.
球面距離計算模型,默認(rèn)了球面距離定義中“在聯(lián)結(jié)球面上兩點的路徑中,通過該兩點的大圓劣弧最短”的事實,事實果真如此嗎?還有待于證明.
證明如圖,聯(lián)結(jié)OO1,O1A,O1B,OA,OB,取AB的中點C,聯(lián)結(jié)O1C,OC,則O1C⊥AB,OC⊥AB.
(1)當(dāng)a 設(shè)∠AO1C=α,∠AOC=β, (2)當(dāng)a=R時,顯然,L1=L. 故球面距離定義中“在聯(lián)結(jié)球面上兩點的路徑中,通過該兩點的大圓劣弧最短”成立. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)思維思考世界,會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.本課題的任務(wù)設(shè)計是基于對生活實際問題的思考,揭示學(xué)習(xí)“球面距離”的必要性.受平面上兩點之間距離定義的啟發(fā),類比想象曲面上兩點之間距離的定義方法,在體驗與感悟中學(xué)習(xí)知識、掌握技能、培養(yǎng)能力.通過對解題思維的整理,引發(fā)深度思考,從而尋找球面上任意兩點之間距離的計算方法,進(jìn)而系統(tǒng)地開展數(shù)學(xué)建?;顒?數(shù)學(xué)建模過程,需要有豐富的想象、直觀的抽象、縝密的思考、嚴(yán)格的推理、準(zhǔn)確的運算、信息的處理等作為基礎(chǔ),才能建立可靠的模型.在運用球面距離計算模型解決實際問題時發(fā)現(xiàn):理想狀態(tài)與實際情況存在偏差、要注意建立數(shù)學(xué)模型的條件等,這些都需要做出合理的解釋和必須的證明. 因此,經(jīng)歷“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達(dá)”和“交流與反思”的過程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本方法和路徑.6 后語