郭忠臣，宋明洋，鮑雅君，崔 磊，張 可

(1. 安徽理工大學(xué)地球與環(huán)境學(xué)院，安徽 淮南 232001；2. 宿州學(xué)院環(huán)境與測繪工程學(xué)院，安徽 宿州 234000； 3. 桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，廣西 桂林 541006)

2020年6月23日，北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全球組網(wǎng)完成，標志著我國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)正式走向世界并為全球服務(wù)。定位是衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)服務(wù)社會的一個重要功能，而高精度定位所需的衛(wèi)星位置一般通過精密星歷獲得，國際GNSS服務(wù)組織(International GNSS Service, IGS)發(fā)布的精密星歷歷元間隔一般為15 min或5 min，無法滿足實際需求，為獲得任意時刻衛(wèi)星的精確位置，需對精密星歷進行內(nèi)插[1-2]。

有較多學(xué)者對精密星歷的插值進行了研究，使用的插值方法主要有Lagrange插值法、牛頓(Newton)插值法、樣條函數(shù)插值法和切比雪夫(Chebyshev)插值法等[3-7]，但多數(shù)是對全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System, GPS)衛(wèi)星的精密星歷插值精度進行研究，對北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)精密星歷插值的研究相對較少。與全球定位系統(tǒng)衛(wèi)星星座不同，北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)包含地球同步靜止軌道衛(wèi)星、傾斜地球同步軌道衛(wèi)星和中地球軌道衛(wèi)星3種軌道類型，各類衛(wèi)星受插值方法和插值階次的影響也有所區(qū)別。截至目前，各軌道衛(wèi)星分布見表1。當前文獻中，多是研究插值方法的精度，并未對3類衛(wèi)星的插值精度進行分析，而且多選用1顆或3顆(每類衛(wèi)星1顆)衛(wèi)星對算法進行實驗，數(shù)據(jù)量較少，對結(jié)論的支持相對單薄[8-10]。

表1 北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)3類軌道衛(wèi)星分布情況(加粗: 本文實驗衛(wèi)星)Table 1 Distribution of three kinds of orbits of BDS satellites (bold: experimental satellites in this paper)

本文在此前研究的基礎(chǔ)上，選用滑動式Lagrange插值法和非滑動式Lagrange插值法對北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)3類衛(wèi)星的插值精度進行研究，首先對3類衛(wèi)星插值精度與插值方法及插值階次的關(guān)系進行研究，分析3類衛(wèi)星的插值精度以及隨插值階次變化的情況；其次，對低階次插值情況下，插值誤差的統(tǒng)計規(guī)律進行分析；最后，對各顆實驗衛(wèi)星在兩種方法下的最佳插值階次進行統(tǒng)計，并對最佳插值階次下，兩種方法的插值精度及3類衛(wèi)星的最佳插值結(jié)果進行對比。由于篇幅限制及考慮部分衛(wèi)星的數(shù)據(jù)質(zhì)量，文中選取偽隨機噪聲碼(Pseudo Random Noise code, PRN)編號在C01～C37之間的32顆衛(wèi)星數(shù)據(jù)進行實驗，加粗編號為選擇的實驗衛(wèi)星。

1 算法原理

1.1 Lagrange插值法

Lagrange插值法可根據(jù)已知數(shù)據(jù)通過插值得到節(jié)點內(nèi)任意位置的數(shù)據(jù)，若有一系列已知節(jié)點x0,x1, …,xn及對應(yīng)的數(shù)值y0,y1, …,yn，則Lagrange插值多項式可表示為[3,11]

(1)

衛(wèi)星的位置信息中包含X、Y、Z3個坐標分量，則在t時刻3個坐標分量的插值多項式可表示為

(2)

其中，(X(t)，Y(t)，Z(t))為t時刻衛(wèi)星插值位置；tk(k=0, 1, …,n)為樣本點歷元；(Xk，Yk，Zk)為tk時刻衛(wèi)星的位置。

1.2 滑動式Lagrange插值策略

滑動式Lagrange插值法是在傳統(tǒng)插值法的基礎(chǔ)上將插值區(qū)間視為一個可滑動的窗口，在插值過程中令插值區(qū)間隨待插值點不斷移動，使待插值點時刻位于插值區(qū)間中心位置[11-12]。傳統(tǒng)插值法在應(yīng)用中易出現(xiàn) “龍格” 現(xiàn)象，即插值區(qū)間端點附近的結(jié)果容易出現(xiàn)震蕩而導(dǎo)致插值精度較低，滑動式算法僅對插值區(qū)間中心位置進行插值，能夠避免 “龍格” 現(xiàn)象對精度的影響，進而提高插值精度，但計算量較非滑動式算法大，在實際應(yīng)用過程中，可綜合考慮插值精度和效率，將滑動式與非滑動式兩種方法組合使用。

2 實驗分析

本文采用2020年5月30日IGS發(fā)布的歷元間隔為5 min的精密星歷作為原始數(shù)據(jù)，并對原始數(shù)據(jù)進行分析。依據(jù)表1，提取32顆衛(wèi)星的精密星歷，其中每顆衛(wèi)星包含288個三維坐標位置。為了對兩種方法的插值精度及插值階次進行研究，提取該天內(nèi)以10 min為時間間隔的坐標作為已知數(shù)據(jù)，對其余已知時刻的坐標進行插值，并與精密星歷進行對比，采用均方根(Root Mean Square, RMS)誤差作為精度評價指標。鑒于實驗衛(wèi)星數(shù)目較多，且三維坐標的每個方向插值均有誤差，同時由于篇幅限制，后面所提到的均方根誤差均表示衛(wèi)星位置綜合插值誤差，不再單獨對各方向的均方根誤差進行統(tǒng)計分析。

2.1 3類衛(wèi)星插值精度與插值方法及插值階次的關(guān)系

為研究非滑動式及滑動式Lagrange插值法中插值階次對精度的影響情況，我們分別統(tǒng)計了階次在4～20時的插值精度，結(jié)果見圖1和圖2。為了體現(xiàn)3類衛(wèi)星在不同插值情況下的精度量級，本文選取每類衛(wèi)星中的兩顆衛(wèi)星進行插值精度統(tǒng)計，結(jié)果見表2和表3。

圖1 不同插值階次下非滑動式Lagrange插值法精度統(tǒng)計Fig.1 Accuracy statistics of non-sliding Lagrange interpolation with different interpolation orders

圖2 不同插值階次下滑動式Lagrange插值法精度統(tǒng)計Fig.2 Accuracy statistics of sliding Lagrange interpolation with different interpolation orders

表2 不同插值階次下非滑動式Lagrange插值法精度統(tǒng)計(單位： mm)Table 2 Accuracy statistics of non-sliding Lagrange interpolation with different interpolation orders (unit: mm)

表3 不同插值階次下滑動式Lagrange插值法精度統(tǒng)計(單位： mm)Table 3 Accuracy statistics of sliding Lagrange interpolation with different interpolation orders (unit: mm)

通過分析可知：

(1)對比32顆衛(wèi)星在各階次下采用兩種方法插值的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，滑動式Lagrange插值法的精度高于同階次非滑動式Lagrange插值法。當階次為4時，兩種方法插值誤差統(tǒng)計的均方根誤差比較大。所有衛(wèi)星插值結(jié)果的統(tǒng)計表明，非滑動式和滑動式Lagrange插值結(jié)果的均方根誤差平均值分別為1 629.47 mm和908.13 mm，滑動式精度較非滑動式提高79.43%。由其余階次的統(tǒng)計結(jié)果可知，滑動式插值精度較非滑動式均有提高，尤其是中地球軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，提高幅度大都在50%以上。

(2)地球同步靜止軌道衛(wèi)星受插值方法和插值階次的影響遠小于中地球軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星。對于地球同步靜止軌道衛(wèi)星，采用非滑動式Lagrange插值，當插值階次較低時，均方根誤差在4 mm以內(nèi)，隨著階次的增加，誤差呈逐漸增大的趨勢。當階次為20時，地球同步靜止軌道、中地球軌道和傾斜地球同步軌道3類衛(wèi)星的均方根誤差均值分別為1 972.66 mm，2 050.71 mm和1 935.66 mm，中地球軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的統(tǒng)計誤差隨階次增加均呈 “U” 字形。采用滑動式Lagrange插值時，地球同步靜止軌道衛(wèi)星的均方根誤差隨階次的增加幾乎不變，中地球軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星在4～5階時均方根誤差較大，隨階次增加，均方根誤差變化幅度較小。另外，通過對地球同步靜止軌道衛(wèi)星的最佳插值階次統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，最佳插值階次的精度較4階插值結(jié)果僅提高4%左右(約0.1 mm)。

(3)非滑動式Lagrange插值法受階次的影響明顯大于滑動式Lagrange插值法。整體上看，使用非滑動式Lagrange插值時，插值誤差隨階次的增加近似呈 “U” 字形，即插值階次較低或者較高時，誤差均比較大，插值階次在7～9附近時，誤差較??；使用滑動式Lagrange插值時，插值誤差在階次為4和5時，誤差比較大，隨著階次的增加，誤差變化基本趨于穩(wěn)定。

為研究插值誤差的變化規(guī)律，我們對各個時刻的插值誤差進行分析， 3類衛(wèi)星各選一顆進行分析(C01，C06和C11)，圖3～圖5分別給出了3顆衛(wèi)星不同情況下各個時刻的誤差分布情況，圖中z軸表示在某一插值歷元下，衛(wèi)星位置的綜合插值誤差。

圖3 不同插值階次下C01衛(wèi)星插值誤差的分布情況Fig.3 Interpolation error distribution of PRN C01 under different interpolation orders

圖4 不同插值階次下C06衛(wèi)星插值誤差的分布情況Fig.4 Interpolation error distribution of PRN C06 under different interpolation orders

圖5 不同插值階次下C11衛(wèi)星插值誤差的分布情況Fig.5 Interpolation error distribution of PRN C11 under different interpolation orders

由圖3～圖5(a)可知，采用非滑動式Lagrange插值，當插值階次增加到10階以上時，插值過程中存在部分插值時刻誤差異常的情況。隨著階次的增加，異常值出現(xiàn)的頻率相對變少，但數(shù)值卻逐漸變大。我們對異常值進行分析發(fā)現(xiàn)，大多出現(xiàn)在插值區(qū)間兩端，即異常值的出現(xiàn)主要是受 “龍格” 現(xiàn)象的影響。滑動式Lagrange插值時可保證插值時刻位于區(qū)間中心，能有效避免 “龍格” 現(xiàn)象，故出現(xiàn)異常值的概率較小，如圖3～圖5(b)，隨著插值階次的增加，滑動式Lagrange插值結(jié)果未發(fā)現(xiàn)異常值，誤差變化均比較平緩。

通過分析各階次插值誤差的變化規(guī)律發(fā)現(xiàn)，插值誤差隨著插值歷元的增加呈現(xiàn)一定的周期性，并且當插值階次較小時，規(guī)律性表現(xiàn)較為明顯。對各顆衛(wèi)星3個方向的誤差作功率譜分析可知，低階插值誤差的周期性與其精密星歷的周期性一致。這是因為插值階次較小時，插值所使用的原始數(shù)據(jù)較少，各時刻的插值結(jié)果受原始數(shù)據(jù)規(guī)律的影響比較大，隨著插值階次的增加，各時刻的插值結(jié)果受到較多數(shù)據(jù)的作用，規(guī)律性沒有表現(xiàn)地那么強烈，這也解釋了圖中為何隨著插值階次的增加，周期性反而未表現(xiàn)出來。另外，地球同步靜止軌道衛(wèi)星插值誤差的周期性并不明顯，這也說明了地球同步靜止軌道衛(wèi)星的插值精度優(yōu)于中地球軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星。

2.2 兩種方法最佳插值階次精度對比

同階次插值情況下，非滑動式Lagrange插值法的效率較滑動式高，但插值精度相對較低。為研究對比兩種方法的最佳插值精度，我們提取各顆實驗衛(wèi)星的最佳插值階次，統(tǒng)計結(jié)果見表4。在兩種方法各自的最佳插值階次下，對各顆衛(wèi)星的插值結(jié)果進行統(tǒng)計，并以均方根誤差作為精度評價指標，統(tǒng)計結(jié)果見圖6。

表4 非滑動式和滑動式Lagrange插值法最佳插值階次Table 4 The best interpolation order of the non-sliding and sliding Lagrange interpolation methods

圖6 非滑動式和滑動式Lagrange插值法最佳階次插值精度統(tǒng)計Fig.6 Statistics of the best order interpolation accuracy of the non-sliding and sliding Lagrange interpolation methods

由表4可知，各顆衛(wèi)星采用非滑動式和滑動式Lagrange插值法的最佳插值階次均在4～8階之間，兩種方法的最佳插值階次相差在1以內(nèi)，其中，12.5%的衛(wèi)星非滑動式算法插值階次較低，59.4%的衛(wèi)星滑動式算法插值階次較低，28.1%的插值階次相等。3類衛(wèi)星中，地球同步靜止軌道衛(wèi)星的最佳插值階次主要為4階和5階，低于傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的6階，中地球軌道衛(wèi)星的最佳插值階次相對最高，主要為6～7階，個別情況下為8階。

由圖6可知，各顆衛(wèi)星采用最佳插值階次時，滑動式Lagrange插值精度均高于非滑動式，較非滑動式可提高11.96%～44.01%。另外，地球同步靜止軌道衛(wèi)星在插值階次更小的情況下，插值精度同樣優(yōu)于中地球軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，也說明地球同步靜止軌道衛(wèi)星的軌道數(shù)據(jù)更為穩(wěn)定，中地球軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的插值精度相似。

3 結(jié) 語

本文采用滑動式Lagrange插值法和非滑動式Lagrange插值法對北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)3類衛(wèi)星的精密星歷進行插值，對兩種方法及3類衛(wèi)星的插值精度進行研究。本文以三維方式較為形象地展示了兩種插值方式下，3類衛(wèi)星插值精度與插值階次的關(guān)系，同時對相同階次下各類衛(wèi)星的插值精度進行了統(tǒng)計分析。當插值階次較低時，衛(wèi)星的插值精度受原始精密星歷的影響較大，呈現(xiàn)同樣的規(guī)律性，其中，地球同步靜止軌道衛(wèi)星受到的影響低于中地球軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，隨著插值階次的增加，誤差的規(guī)律性表現(xiàn)逐漸變?nèi)酢?類衛(wèi)星采用兩種方法插值時的最佳插值階次相差均在1以內(nèi)，使用最佳階次插值時，滑動式Lagrange插值精度較非滑動式可提高11.96%～44.01%?？偟膩碚f，3類衛(wèi)星中，地球同步靜止軌道衛(wèi)星在相同插值階次及最佳插值階次下插值精度均優(yōu)于中地球軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，且地球同步靜止軌道衛(wèi)星的最佳插值階次也較低；兩種方法中，滑動式Lagrange插值精度優(yōu)于非滑動式。在實際使用時，若數(shù)據(jù)量較多，滑動式Lagrange插值法的計算量明顯增大，可在綜合考慮插值精度和插值效率的情況下，將兩種方法組合使用。