雷經(jīng)發(fā)，陳志強(qiáng)，張 淼，孫 虹，李永玲

（1.安徽建筑大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，安徽 合肥230601；2.工程機(jī)械智能制造安徽省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥230601；3.安徽省仿真設(shè)計(jì)與現(xiàn)代制造工程技術(shù)研究中心，安徽 黃山245041）

1 引 言

結(jié)構(gòu)光三維測(cè)量具有非接觸、全場(chǎng)性和高精度等優(yōu)點(diǎn)［1-4］。其關(guān)鍵的核心問(wèn)題之一是光柵相位場(chǎng)的解算，尤其是高效率和高可靠性的展開復(fù)雜形面的條紋圖像相位主值［5-6］。目前，相位展開方法可分為空域法和時(shí)域法兩大類。投影多頻條紋根據(jù)外差原理進(jìn)行相位展開的方法是時(shí)域相位展開法的典型代表之一［7］。此方法對(duì)被測(cè)目標(biāo)表面的顏色不敏感，可以準(zhǔn)確地展開復(fù)雜物體表面的相位主值，具有計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定、實(shí)用性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，因而得到了廣泛的應(yīng)用［8-9］。

國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)利用外差原理進(jìn)行相位展開的方法進(jìn)行了大量的研究。GUO等提出了投影雙頻條紋，分別建立高頻或低頻光柵相位與高度映射查找表的方法，實(shí)現(xiàn)了三維面形的快速高精度測(cè)量［10］。DONG等利用遺傳算法補(bǔ)償隨機(jī)相位以增強(qiáng)外差信號(hào)的方法，在低信噪比環(huán)境下依然具有良好的解相效果［11］。WANG等采用先對(duì)條紋圖像進(jìn)行小面積自旋濾波處理再用外差解相的方法，進(jìn)一步提升了算法的性能［12］。郭進(jìn)等投影三種不同頻率的條紋圖像，使用三頻外差原理展開相位主值的方法，很大程度上解決了周期次數(shù)非正常跳變的問(wèn)題，降低了絕對(duì)相位的跳躍性誤差［13］。陳松林等提出了一系列約束條件，進(jìn)一步改進(jìn)了三頻外差相位展開法，解出的絕對(duì)相位光滑無(wú)跳躍［14］。隨著研究的深入，涌現(xiàn)了很多有效的基于多頻外差原理的相位展開方法，但這些方法都或多或少增加了輔助條件，復(fù)雜程度有所增大。

本文針對(duì)投影雙頻條紋在根據(jù)外差原理進(jìn)行相位展開時(shí)絕對(duì)相位存在跳變性誤差的問(wèn)題，利用解相過(guò)程已有的必要結(jié)論和結(jié)果，先解出條紋級(jí)數(shù)小數(shù)部分的計(jì)算值和實(shí)際值，再結(jié)合相位主值自身的誤差對(duì)相位展開算法進(jìn)行了改進(jìn)，以實(shí)現(xiàn)絕對(duì)相位校正。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的方法基本不增加額外的工作量，簡(jiǎn)單可靠，可以較好地校正絕對(duì)相位的跳躍性誤差，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

2 外差解相原理

投影雙頻光柵條紋根據(jù)外差原理進(jìn)行相位主值展開的方法的理論知識(shí)和公式推導(dǎo)過(guò)程參閱文獻(xiàn)［15］和［16］。

若設(shè)不同頻率光柵的條紋級(jí)數(shù)為ni，則可將條紋級(jí)數(shù)值分為整數(shù)部分N i與小數(shù)部分Δni相加，即有：

因此，若設(shè)各頻率條紋的相位主值為φi，則條紋級(jí)數(shù)的小數(shù)部分與相位主值有如下關(guān)系：

本文統(tǒng)一將相位主值解到[0，2π]區(qū)間。若設(shè)各頻率條紋的光柵節(jié)距為p i，則根據(jù)條紋疊柵特性可知疊柵后的條紋級(jí)數(shù)為同一級(jí)別，即其取值區(qū)間為[m，m+1]。則可分別求出兩種頻率投影光柵的條紋級(jí)數(shù)ni，n2如下式所示：

同理可解算另一個(gè)條紋級(jí)數(shù)。一般將解出的條紋級(jí)數(shù)進(jìn)行向下取整得到其整數(shù)部分，并作為周期次數(shù)進(jìn)行相位展開，得到：

式中θi為各頻率條紋的絕對(duì)相位值。

3 改進(jìn)方法的原理

3.1 投影圖案的相位初值設(shè)定

在不考慮實(shí)時(shí)測(cè)量的情況下，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先使用相移法提取相位主值。四步相移法具有提取相位主值精度高、實(shí)用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)［17-18］，因此本文采用四步相移法提取相位主值。

投影雙頻條紋圖案中，某一頻率下一組4幅相移圖案可用公式表示如下：

式中：γ∈Z，(m，n)表示圖案中的像點(diǎn)坐標(biāo)，I'(m，n)表示背景光強(qiáng)，I″(m，n)表示調(diào)制強(qiáng)度，θ(m，n)表示條紋圖案的相位場(chǎng)。

當(dāng)γ=0時(shí)，式（5）為通常的四步相移法，即投影的第一幅相移圖案的相位初值為零，提取相位主值后，利用外差原理展開相位不僅會(huì)出現(xiàn)跳躍性誤差，還會(huì)出現(xiàn)階梯現(xiàn)象，如圖1中藍(lán)線所示（彩圖見(jiàn)期刊電子版）；當(dāng)γ=?2時(shí)，投影的第三幅相移圖案的相位初值為零，提取相位主值后，利用外差原理展開的絕對(duì)相位僅出現(xiàn)了跳躍性誤差，如圖1中紅線所示，這是改進(jìn)方法需要解決的問(wèn)題。因此，本文編制相移投影圖案時(shí)取γ=?2，即投影的第三幅相移圖案的相位初值為零。同時(shí)，利用四步相移法提取相位主值時(shí)要考慮反正切函數(shù)的象限問(wèn)題，將相位主值的取值區(qū)間擴(kuò)展到[0，2π]［19］。

圖1 相位初值對(duì)應(yīng)的絕對(duì)相位Fig.1 Absolute phase corresponding to phase initial value

3.2 調(diào)整周期次數(shù)非正常跳變

根據(jù)式（3），不妨設(shè)：

實(shí)際上，Δn12為雙頻條紋疊柵后形成的虛擬光柵的條數(shù)級(jí)數(shù)的小數(shù)部分。令：

同時(shí)，假設(shè)疊柵后的虛擬光柵相位場(chǎng)的初始值為零，即m=0。聯(lián)立式（6）和式（7），則式（3）可改寫為：

式中K為常量。根據(jù)相位展開公式（4）可知，需對(duì)條紋級(jí)數(shù)進(jìn)行向下取整操作，即：

式中符號(hào)［］表示向下取整運(yùn)算。深入分析易知：理論上，當(dāng)虛擬條紋級(jí)數(shù)的小數(shù)部分Δn12為1K的整數(shù)倍時(shí)，即Δn12=c K，c=1，2，3，4…，N2會(huì)發(fā)生正常跳變，即隨著c變大，其逐步加1。但實(shí)際情況是，在理論值Δn12接近或等于c K時(shí)，由于誤差等影響，實(shí)際的Δn12值可能會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致條紋級(jí)數(shù)的整數(shù)部分，即周期次數(shù)發(fā)生不正常的跳變，如圖2所示，最終的絕對(duì)相位也會(huì)出現(xiàn)跳躍性誤差。

圖2 周期非正常跳變示意圖Fig.2 Schematic diagram of abnormal periodic jump

根據(jù)式（2）和式（4）可知，理想環(huán)境下，利用外差原理解出的條紋級(jí)數(shù)的小數(shù)部分的計(jì)算值Δn2c應(yīng)與依據(jù)當(dāng)前相位主值計(jì)算出的小數(shù)部分的實(shí)際值Δn2r相等。小數(shù)部分的計(jì)算值為：

而實(shí)際上由于相位主值自身誤差等原因，兩者并不相等。根據(jù)以上分析可知，若周期次數(shù)發(fā)生向上或向下跳變，小數(shù)部分的計(jì)算值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值必定會(huì)大于某一值，且此值與相位主值自身誤差緊密相關(guān)，可稱為閾值T。

若已知各頻率條紋的相位主值的自身誤差，各頻率條紋級(jí)數(shù)的小數(shù)部分可根據(jù)公式（2）算出，因此可將相位主值自身誤差轉(zhuǎn)化為小數(shù)部分誤差。設(shè)Δn1的誤差為δ1，Δn2的誤差為δ2，則Δn12的 誤 差 為(?δ1?δ2，δ1+δ2)，由 此 閾 值T為：

文獻(xiàn)［20］指出，未校正過(guò)的四步相移法提取相位主值的誤差不超過(guò)0.08 rad，且K值可根據(jù)光柵節(jié)距算出，則式（11）中所有量均為已知量。

綜上，調(diào)整周期非正常跳變的方法可歸納如下：

（1）若|Δn2r?Δn2c|

（2）若|Δn2r?Δn2c|≥T，且Δn2r?Δn2c>0，則周期次數(shù)出現(xiàn)向上跳躍，將此時(shí)周期次數(shù)值減一即可；

（3）若|Δn2r?Δn2c|≥T，且Δn2r?Δn2c≤0，則周期次數(shù)出現(xiàn)向下跳躍，將此時(shí)周期次數(shù)值加一即可。

根據(jù)上述分析可知，光柵節(jié)距較大的條紋的相位主值在利用外差原理直接展開時(shí)不容易出現(xiàn)跳躍性誤差。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證改進(jìn)方法的正確性與可靠性，仿真了光柵節(jié)距分別為40 pixel和42 pixel的兩組四步相移條紋圖案，其分辨率為720×840 pixel。根據(jù)四步相移法分別提取出兩組各自的相位主值，如圖3所示（彩圖見(jiàn)期刊電子版）。

圖3 雙頻條紋的相位主值Fig.3 Phase principal values of dual-frequency fringes

作為對(duì)比，在原始相移圖中加入了不同的高斯噪聲，再利用雙頻外差原理展開相位主值，并使用本文提出的改進(jìn)方法校正絕對(duì)相位，判定閾值具體設(shè)為T=0.509，如圖4所示。

圖4 表示在不同均值和方差的高斯噪聲條件下3組實(shí)驗(yàn)中絕對(duì)相位校正前后的分布情況。隨后，統(tǒng)計(jì)各組絕對(duì)相位圖中校正前后的跳躍性誤差像素?cái)?shù)，如表1所示。

圖4 不同高斯噪聲下的絕對(duì)相位Fig.4 Absolute phases with different Gaussian noises

表1 跳躍性誤差點(diǎn)數(shù)Tab.1 Jumping error points

根據(jù)圖4和表1可以看出，改進(jìn)方法可極大程度地降低跳躍性誤差點(diǎn)數(shù)，校正率可到90%以上，且加入噪聲時(shí)也會(huì)改變相位主值的自身誤差，但改進(jìn)方法仍然表現(xiàn)出很好的校正結(jié)果，具有一定的抗噪性。

4.2 真實(shí)實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證改進(jìn)方法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，搭建了圖5所示的測(cè)量系統(tǒng)。圖像采集裝置為康耐視工業(yè)相機(jī)，投影裝置為騰聚DLP結(jié)構(gòu)光發(fā)生器，兩者光心相距約20 cm，投影裝置光心距離物體約40 cm。

圖5 雙頻投影條約相位展開改進(jìn)方法測(cè)量系統(tǒng)Fig.5 Measurement system for improved unwapping method of dual-frequency projection fringe

控制投影裝置投射與仿真實(shí)驗(yàn)中設(shè)定值一樣的相移圖案于被測(cè)物表面，并使用相機(jī)同步采集，利用四步相移法提取相位主值的雙頻投影光柵需采集8幅圖像。以一個(gè)配油盤和一個(gè)法蘭襯套作為被測(cè)物。其中，測(cè)量配油盤時(shí)所采集到的兩種頻率各自的第一幅相移圖如圖6所示。根據(jù)四步相移法提取出兩種頻率條紋各自的相位主值，如圖7所示。

圖6 不同頻率的相移圖Fig.6 Phase shift images at different frequencies

圖7 不同頻率的相位主值圖Fig.7 Phase principal value images at different fre?quencies

利用外差原理展開相位主值，并用本文改進(jìn)方法進(jìn)行校正，閾值設(shè)定與仿真時(shí)一致，校正前后的絕對(duì)相位值如圖8所示。圖8（a）~和8（b）為配油盤校正前后的絕對(duì)相位值，取其相位圖中橫穿樣件中心的第1 500行數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比；圖8（c）和8（d）為法蘭襯套的法蘭面校正前后的絕對(duì)相位值，取其相位圖中橫穿樣件中心的第1 620行數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。

由圖8可知，未校正前絕對(duì)相位存在跳躍性誤差，而校正后展開的相位光滑無(wú)跳躍。使用標(biāo)定好的測(cè)量系統(tǒng)，利用校正后的相位解出配油盤和法蘭襯套的三維點(diǎn)云，分別如圖9和圖10所示。

圖8 校正前后的絕對(duì)相位值Fig.8 Absolute phase values before and after correction

圖9 配油盤元件的三維點(diǎn)云Fig.9 Three-dimensional pointcloud of oil distribution pan

圖9 是利用配油盤表面的相位場(chǎng)和測(cè)量系統(tǒng)定標(biāo)參量解出的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，而圖10是依據(jù)法蘭襯套的法蘭面的相位值解出的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，點(diǎn)云模型特征與元件表面的絕對(duì)相位息息相關(guān)。被測(cè)物三維點(diǎn)云曲面或平面的平整性也可說(shuō)明校正后的相位跳躍性誤差得到了較好的抑制，改進(jìn)方法有效可靠。

圖10 法蘭襯套的三維點(diǎn)云Fig.10 Three-dimensional point cloud of flanged bushing

5 結(jié) 論

本文針對(duì)投影雙頻條紋利用外差原理展開相位主值時(shí)會(huì)出現(xiàn)跳躍性誤差的問(wèn)題，基于解相過(guò)程，結(jié)合相位主值自身誤差為條紋級(jí)數(shù)的小數(shù)部分的計(jì)算值和實(shí)際值之差設(shè)定一閾值，進(jìn)而調(diào)整周期次數(shù)，消除非正常跳變。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在一定噪聲和實(shí)際環(huán)境下，改進(jìn)方法對(duì)絕對(duì)相位跳躍性誤差的校正率可以達(dá)到90%以上，滿足實(shí)際應(yīng)用需求。

然而，投影雙頻光柵由于疊柵要求存在測(cè)量范圍狹窄和投影條紋過(guò)粗等缺陷，后續(xù)會(huì)針對(duì)該問(wèn)題展開進(jìn)一步研究。