田紅亮,李森,杜軒,董元發(fā),張明松

(1.三峽大學機器人與智能系統(tǒng)宜昌市重點實驗室,443002,湖北宜昌;2.三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室,443002,湖北宜昌;3.三峽大學機械與動力學院,443002,湖北宜昌)

固體火箭從高空返回和垂直定點軟著陸回收是火箭得以重復使用的一種重要方法。對于火箭垂直回收任務來說,回收過程既要進行減速和精確軟著陸,又要滿足返回過程中各種過程約束,此外還要使得燃料消耗最少。由于火箭回收的初始高度(如240 km)比較高,一般而言,整個返回彈道可以分為動力倒飛和軟著陸兩個階段。

火箭回收制導算法一直是眾多學者的研究方向。邵楠等針對火箭高空再入定點回收,基于凸優(yōu)化方法提出了一種考慮氣動力和推力控制的多階段軌跡優(yōu)化方法[1]。賀軍義等使用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法和發(fā)射動力學理論,建立了多管火箭發(fā)射動力學模型[2]。張有為等通過金屬絲中空的部分向燃燒室內輸出液體工質,加入負熱流來改變金屬絲向藥柱的導熱速度[3]。尹云玉對固體火箭自由運行狀態(tài)獲取的低頻振動數(shù)據(jù)進行兩次積分得到位移參數(shù)[4],還基于小波分析在時頻兩域皆具有表征信號局部特征的性質,對固體火箭飛行遙測過載數(shù)據(jù)進行了小波分解[5]。崔振新等建立了直升機CH-53D的動力學模型[6]。吳靖等給出了滿足直升機地面共振穩(wěn)定性要求的起落架剛度和阻尼的優(yōu)化設計方法[7]。魏釗等考慮地球自轉和發(fā)動機燃料變化所引起的附加力的影響,建立了彈性體遠程火箭彈六自由度運動模型[8]。劉文芝等設計了固體火箭發(fā)動機推力矢量控制系統(tǒng)的結構[9]。畢祥軍等提出了將線式分離系統(tǒng)應用在芯級與助推器的捆綁分離上[10]。Kinefuchi等應用一種計算流體動力學和有限差分時間域的耦合方法,以預測飛行高度240 km的離子化固體火箭在第三飛行階段沿S頻帶遙感勘測的衰減特性[11]。Griego等通過計算流體動力學代碼對固體火箭推進劑進行了靈敏度分析[12]。Gao等研究了噴射引擎燃燒室的有效燃燒[13]。Binauld等提出了獲取固體燃料火箭的流量和發(fā)熱的計算方法[14]。Hashim等將混合氣體生成裝置應用在火箭沖壓噴氣發(fā)動機中[15]。Fu等對二元燃料火箭發(fā)動機的實驗數(shù)據(jù)進行擬合,提出了一種壁沖擊模型[16]。Acharya等研究了火箭發(fā)動機再生冷通道管口的熱傳遞機制和熵生成的特點[17]。Li等研究了火箭發(fā)動機的粉末鎂和二氧化碳的燃燒特性,鎂粉在干冰內繼續(xù)燃燒,發(fā)出耀眼的白光,干冰易升華,干冰中的CO2之間只存在范德華力不存在氫鍵,一個分子周圍有12個緊鄰分子[18]。Du等研究了大推力火箭發(fā)動機燃燒膛的大幅度振動機制和振動控制技術[19]。

已有一些文獻采用有限元方法。宏觀世界規(guī)律是由微觀機制所決定的,現(xiàn)采用理論推導的方式,在機理上進行探究。以返航時的固體火箭為研究對象,研究了動力倒飛和軟著陸兩個階段的動力學響應。發(fā)動機點火之后,對固體火箭作用一個脈沖沖擊力,固體火箭處于動力倒飛,在沖擊脈沖持續(xù)時間之內求解出火箭的位移響應和位移絕對值的最大值;發(fā)動機熄火之后,固體火箭處于軟著陸,在沖擊脈沖持續(xù)時間之外推導出火箭的位移響應和位移絕對值的最大值;比較固體火箭動力倒飛和軟著陸的位移絕對值的最大值的大小,取其較大值,給出位移沖擊譜。

1 固體火箭的動力學響應

1.1 動力倒飛階段(0≤t≤td)

發(fā)動機作用在火箭上的脈沖沖擊力為

(1)

式中:f為脈沖沖擊力的振幅;td為沖擊脈沖持續(xù)時間。

當任意時間滿足t≤td時,由杜阿邁爾卷積積分得固體火箭的位移響應

t≤td

(2)

式中:Tn為固體火箭振動的固有最小正周期;m′為固體火箭除燃料外的箭體質量[20]。

將式(1)代入式(2),得

t≤td

(3)

根據(jù)兩正弦的積化和差公式,式(3)可變形為

(4)

式(4)簡化為

(5)

固體火箭振動的固有角頻率為

(6)

將式(6)代入式(5),得

(7)

式(7)進一步簡化為

(8)

式中:k為固體火箭的支承剛度。

(9)

將式(8)和(9)合寫在一起,得無量綱的位移響應

X(t)=

(10)

式(10)關于時間t的一階導數(shù)為

X′(t)=

(11)

為求函數(shù)|X(t)|在閉區(qū)間0≤t≤td上的最大值,先求X(t)在開區(qū)間0

(12)

方程式(12)的第一個解為

(13)

式中:Z為整數(shù)集。

(14)

(15)

式中:N*為正整數(shù)集?；蛘?/p>

(16)

方程(12)的第2個解為

(17)

(18)

式(11)關于時間t求一階導數(shù),得

(19)

由式(14)和(15),將式(13)代入式(19)的第1式

(20)

故存在正數(shù)δ,函數(shù)X(t)的駐點t的一個δ鄰域(t-δ,t+δ),式(13)是極小值點,式(13)中的整數(shù)用m表示,代表最小。根據(jù)式(14)和(15),將式(13)代入式(10)的第1式,得一系列極小值

(21)

按照式(18),將式(17)代入式(19)的第1式,得

(22)

故式(17)是極大值點,式中的整數(shù)用l表示,代表最大。根據(jù)式(18),將式(17)代入式(10)的第1式,得一系列極大值

(23)

(a)l=1

在式(15)的條件下,選取適當?shù)膍使式(21)取得最大值

(24)

考慮到m是正整數(shù),故取

(25)

將式(25)代入式(15),必須滿足

(26)

根據(jù)取整函數(shù)[]的定義,總有

(27)

以下不等式總成立

(28)

根據(jù)式(28)和(27),不等式(26)成立。

將式(25)代入式(21),得一系列極小值式(21)的最大值

(29)

在式(18)的前提下,選擇適合的l使式(23)最大

(30)

因為l為正整數(shù),故得

(31)

將式(31)代入式(18),下式必須成立

(32)

按照取整函數(shù)[]的定義,恒有

(33)

存在以下恒不等式

(34)

根據(jù)式(34)和(33),不等式(32)成立。

將式(31)代入式(23),得一系列極大值式(23)的最大值

(35)

圖2 極大值的最大值與極小值的最大值

將式(31)代入式(17),得位移最大值發(fā)生的時間為

(36)

按照式(32),式(36)中的tm

Xmax=X(td)=

(37)

由式(37),得位移最大值發(fā)生的時間

(38)

由式(37)和(35)可得,在閉區(qū)間t∈[0,td]上位移的最大值為

Xmax=

(39)

由式(38)和(36)可得,在閉區(qū)間t∈[0,td]上位移最大值發(fā)生的無量綱時間

(40)

1.2 軟著陸階段(t≥td)

當任意時間滿足t≥td時,由杜阿邁爾卷積積分,得固體火箭的位移響應

t≥td

(41)

將式(1)代入式(41),得

t≥td

(42)

根據(jù)兩正弦的積化和差公式,式(42)可變形為

t≥td

(43)

式(43)簡化為

(44)

將式(6)代入式(44),有

(45)

式(45)進一步簡化為

(46)

根據(jù)兩正弦的和化積公式,式(46)可變形為

(47)

(48)

由式(47)和(48)可得,無量綱的位移響應

(49)

使|X(t)|取得最大值的第1個條件為

(50)

(51)

由式(51)的條件t≥td,得

(52)

使|X(t)|取得最大值的第2個條件為

(53)

(54)

將式(50)代入式(49)的第1式,得位移絕對值的最大值

(55)

將式(53)代入式(49)的第2式,得位移絕對值的最大值

(56)

由式(55)和(56)可得,位移絕對值的最大值為

|X|max=

(57)

值得注意的是,能將式(51)和(54)合并寫成一個式子,得位移絕對值的最大值發(fā)生的無量綱時間

(58)

1.3 整個返航階段(t≥0)

圖3 動力倒飛和軟著陸的最大位移

故火箭在整個飛行階段的位移沖擊譜為

μ=

(59)

(60)

對于火箭飛行的最大速度,文獻[22]的結果是文獻[20]的1 000倍?；鸺w行的最大速度[22]為

(61)

式中M為已燃燒燃料的質量。

2 固體火箭返航數(shù)值仿真和討論

長征二號F捆綁式大推力運載火箭全長為58.3 m,起飛時的質量為479.8 t,是目前我國研制的火箭中最長、最重的,起飛推力f為5.88×106N,火箭的支承剛度k為1 435 900 N/m,在太空遨游21 h,繞地球14圈,飛行約61×107m。

2.1 整個返航階段(t≥0)的火箭位移響應

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。從圖4d、4f、4g和4h可見,函數(shù)X(t)有多個極值,極值可能取正值也可能取負值,還可能是0,需要求出|X(t)|的最大值,而不是X(t)的最大值。如果X(t)的某個極小值是負數(shù),某個極大值是正數(shù),且負數(shù)與正數(shù)之和小于0,為求出|X(t)|的最大值,應該取X(t)的這個極小值的絕對值。|X(t)|的最大值也可能在區(qū)間的端點處取得。

按照圖4,在動力倒飛階段,無量綱的火箭位移響應不會恒等于0;在軟著陸階段,無量綱的火箭位移響應有可能恒等于0,表明火箭的剛度較大,具有抵抗變形的能力。在圖4g中,極大值1與極大值2相等。在圖4h中,極大值2大于極大值1,且遞增。

2.2 整個返航階段的火箭位移沖擊譜

火箭位移沖擊譜μ與沖擊脈沖持續(xù)時間的關系如圖5所示,由圖可見,當沖擊脈沖持續(xù)時間較短時,火箭位移沖擊譜發(fā)生在沖擊作用結束以后的軟著陸階段;當沖擊脈沖持續(xù)時間較長時,火箭位移響應最大值發(fā)生在沖擊作用范圍內的動力倒飛階段。

圖5 位移沖擊譜與沖擊脈沖持續(xù)時間的關系

2.3 整個返航階段的位移最大值發(fā)生時間

(a)位移最大值發(fā)生的所有時間

3 實驗驗證

燃料燃燒時的情況如圖7所示,渦旋發(fā)生器撐桿材料是耐高溫的透明石英窗玻璃,渦旋發(fā)生器撐桿因超聲速燃燒室釋放的熱而發(fā)生微小形變;燃料燃燒火焰可通過燃燒室出口的觀察窗看到;在通用科學實驗室中測試,在風洞隧道中進行的自開發(fā)氫燃料A5火箭混合循環(huán)式發(fā)動機實驗,開展了82次發(fā)動機實驗,總時間大于1 600 s,在存儲熱量風洞隧道中,也開展了自由噴氣發(fā)動機實驗[23-24]。

圖7 燃料燃燒時的情況

火箭飛行最大速度vmax與已燃燒燃料質量的關系如圖8所示,由圖可見,火箭飛行的最大速度近似與燃料燃燒的質量成正比,本文理論解較接近于實驗數(shù)據(jù)。

圖8 火箭最大速度與燃料燃燒質量的關系

宇宙飛船繞地球飛行速度v與距地面高度的關系如圖9所示,由圖可見,本文理論解與神舟五號飛船的實際飛行參數(shù)較吻合,近地飛船在幾百千米的高度飛行,與地球半徑6 400 km相比,完全可以說是在地面附近飛行,宇宙飛船繞地球飛行速度隨離地面高度的增大而呈線性減小。

圖9 飛船飛行速度與地面高度的關系

把宇宙飛船從地球表面升高到h的高空處,進入軌道,飛船克服地球萬有引力所做的功W如圖10所示。當宇宙飛船在幾百千米的高度飛行時,克服引力所做的功幾乎與飛行高度成正比,因為飛行高度遠小于地球半徑。

圖10 飛船做功與離地球表面高度的關系

火箭在返航階段,對于給定的沖擊脈沖持續(xù)時間td,火箭位移沖擊譜μ、位移最大值的發(fā)生時間T見表1[25],由表可見,本文火箭位移響應最大值的計算結果與實驗數(shù)據(jù)之間的相對誤差為-9%～7%,火箭位移最大值發(fā)生時間的計算結果與實驗數(shù)據(jù)之間的相對誤差為-6%～8%。

表1 火箭返航時沖擊譜參數(shù)與沖擊脈沖持續(xù)時間的關系

4 結 論

對延遲時間進行杜阿邁爾卷積定積分,推導了固體火箭的位移響應,所得結論如下。

(1)在動力倒飛階段,無量綱的火箭位移響應不會恒等于0。在軟著陸階段,無量綱的火箭位移響應有可能恒等于0。

(2)當沖擊脈沖持續(xù)時間較短時,火箭位移響應最大值發(fā)生在沖擊作用結束以后的軟著陸階段。當沖擊脈沖持續(xù)時間較長時,火箭位移響應最大值發(fā)生在沖擊作用范圍內的動力倒飛階段。

(3)火箭的位移達到最大值時,對應的發(fā)生時間不是唯一的,存在多個發(fā)生時間使位移取得最大值。