李浩隆 馮維明

(山東大學土建與水利學院，濟南250061)

經(jīng)典力學中常見關于剛性直桿自由傾倒的問題(圖1)，可利用動量定理、動量矩定理和動能定理來分析桿件在傾倒過程的運動。但教材中此問題多見于理想狀態(tài)下(考慮地面為光滑的)運動學分析和動力學分析[1-2]。如果考慮一般情況下即地面有摩擦時剛性直桿傾倒過程，問題立刻就復雜了許多，2017年《力學與實踐》曾就此問題公開征集解答[3]，這也引起了許多任課教師和在校學生的興趣，近年來不少學者對此問題展開討論，表達了自己的見解。在早期的文獻中，王曉云[4]計算了剛性桿完全倒地的時間，假設桿始終做定軸轉動，把桿觸地端理想地看作鉸鏈；2000年，高桂林等[5]討論了剛性桿在有摩擦的水平面上傾倒過程的力學分析，文章注意到了摩擦力在桿件傾倒過程會改變方向，研究了在特定摩擦因數(shù)下桿件觸地端約束力分析和運動分析，但缺乏一般情形下的相關分析，所以對可能出現(xiàn)的一些現(xiàn)象沒有進一步解釋；2018年，唐有綺等[6]再一次對剛性直桿傾倒過程進行了動態(tài)分析，通過數(shù)值解分析了直桿角位移、角速度、觸地端摩擦力等隨時間變化的規(guī)律，雖比前者分析更深入，但仍然欠缺全面分析，且其桿件觸地端摩擦力“始終向右”和摩擦力較大時桿件傾倒過程一直做定軸轉動的結論都是不正確的；同一時間，蘇振超等[7]研究了直桿傾倒時開始打滑的打滑角與摩擦因數(shù)的關系，通過對一道習題的分析，設計了已知打滑角求摩擦因數(shù)和已知摩擦因數(shù)求打滑角正反兩個問題，并得出了摩擦因數(shù)與打滑角關系的曲線圖，但圖中有一段曲線無意義，沒有得到打滑角與摩擦因數(shù)的完整關系，對桿觸地端滑動后的運動方向的判斷缺乏完整性；同年胡開鑫等[8]就此問題給出了兩點結論，均質桿傾倒過程中觸地端不會脫離地面且可在兩相反方向滑動，否定了文獻[6]的結論，并為此給出簡單的證明，但其桿觸地端左右滑動的判定條件值得商榷。2019年，張九鑄[9]討論了均質直桿無滑動傾倒時觸地端脫離水平面的條件，認為在某一角度“一定能實現(xiàn)無滑動脫離水平面”，該文的結論與文獻[5，8]是矛盾的。綜上所述，此前的研究主要是建立動力學方程并進行數(shù)值求解，沒有求得解析解，對于摩擦因數(shù)與打滑角關系的認識不夠深入，對不同摩擦因數(shù)下桿運動的求解不夠完整，甚至有些錯誤的結論。本文將盡可能對均質直桿傾倒過程進行完整的分析，對各種可能出現(xiàn)的現(xiàn)象進行分析，并對某些結論進行具有可信度的驗證，彌補以往研究中的缺陷，提出對前期研究不同的思考以供大家討論。

圖1 直桿傾倒示意圖

1 動力學建模與分析

一質量為m，長為l的均質直桿豎直立在地面上，桿與地面的摩擦因數(shù)為f，隨后受到微擾開始自由傾倒，如圖2，剛開始運動時θ較小，桿先做定軸轉動，隨后桿觸地端開始打滑，設打滑角度為θ1，之后桿做平面運動，那么自然有這樣的問題：打滑角θ1如何確定？桿做平面運動狀態(tài)是怎樣的？如何求解桿觸地端的位移？

圖2 桿做定軸轉動時的受力分析圖

1.1 定軸轉動過程

設桿角速度為ω，由動能定理

得

則質心C的水平速度為

式(2)再次對t求導得

設a Cx和a Cy為桿質心C的加速度沿x和y軸的分量，如圖3，由質心運動定理

圖3 桿做定軸轉動時質心加速度的兩種分解圖

將a Cx和a Cy用切向加速度at和法向加速度an分別表示

又at=αl/2，an=ω2/2。

同時將式(7)、式(8)分別代入式(5)、式(6)求得

顯然FN≥0，當且僅當θ=arccos1/3≈70.5°時取等號，故桿在定軸轉動時不會跳起。對于Fs，在定軸轉動過程中，當θ≤2arccos1/3≈48.2°時，F(xiàn)s≥0，也就是摩擦力向x軸正向，此時桿觸地端不打滑所要求的最小f滿足Fs=f FN；當θ≥48.2°時，F(xiàn)s≤0，也就是摩擦力向x軸負向，此時最小f應滿足Fs=?f FN，故統(tǒng)一地有

圖4 f關于θ的函數(shù)曲線圖

由f′(θ)=0，得，代入式(11)可得曲線極大值

設此極值點為p，過p做平行于x軸的線交曲線于點q，q點橫坐標為0.894，約等于51.2°。需要注意，圖4是在定軸轉動的情形(即式(11))下畫出的，一旦觸地端開始滑動，桿就進入平面運動狀態(tài)，動力學方程將在后文給出。在f

1.2 平面運動過程

由上面討論可知，直桿傾倒過程中首先發(fā)生定軸轉動(除f=0外)，其次是平面運動，桿件觸地端運動過程以摩擦因數(shù)fm為界而不同。因此，需分別討論。

1.2.1f

此時桿打滑的θ1滿足

由剛體質心平面運動微分方程

由滑動摩擦(見圖2)

聯(lián)立式(13)和式(14)可得

如圖5，以C為基點，B為動點，B點加速度表示為

圖5 桿做平面運動時的加速度分析圖

向y軸正向投影得

聯(lián)立式(15)和式(17)，注意到α=d2θ/dt2，ω=dθ/dt，可以得到關于θ(t)的二階非線性非齊次微分方程

式(18)沒有解析解，利用變換d2θ/dt2=ωdω/dθ，并定義無量綱角速度化簡得

進一步整理得

它為n=?1的Bernoulli微分方程[10]，其中

所以方程通解為

對于f=0的情況，式(20)可以積出

但f0時，無法全部積出。

在初步的分析中，往往認為觸地端的運動是單向的，但實際上不然。

以C為基點，B為動點，則B點速度為

質心任意時刻的水平速度表示為

其中a Cx為質心水平加速度式(15)，v Cx0為觸地端開始滑動時質心的速度，由式(3)知

將式(23)代入式(22)，整理可得

圖6 不同摩擦因數(shù)下v B/隨θ變化的曲線

當觸地端速度為零時，桿要么定軸轉動，要么轉而正向滑動，可以先判斷桿能否定軸轉動。

設桿從θ=θ2開始定軸轉動，此時桿角速度為ω2。

由動能定理

得

加速度仍為式(4)，由式(5)～式(8)得

將式(4)、式(27)代入式(28)、式(29)得無量綱力

取f為0.31，0.32，0.34，0.37，如圖7，虛線代表±f，實線代表fre，隨著桿的傾倒，角度不斷增大，桿定軸轉動所需的最小摩擦因數(shù)也在變化，fre為正代表摩擦力也是正向，注意到f大于一定值時，實線有一段落在虛線范圍內，桿可以定軸轉動，后數(shù)值求解得到此值約為0.317。當實線與虛線相交時，桿開始打滑，設為θ3，由圖可知當f∈(0.317,0.370)，打滑時fre<0，則摩擦力方向為x軸負向，桿只能正向打滑。

圖7 不同摩擦因數(shù)下桿所需的最小摩擦因數(shù)圖(續(xù))

式(11)中以θ為自變量，但實際上桿的運動特性由摩擦因數(shù)f決定，結合對圖4的討論，把f作為自變量，并略去沒有物理意義的多解分支，數(shù)值求解得到桿第一次打滑角θ1與f的關系，通過數(shù)值求解式(25)的零點，得到桿觸地端減速為零時桿的傾斜角θ2，通過求解|fre|=f，得到第二次桿定軸轉動的打滑角θ3，將θ1，θ2和θ3畫在一個圖里，如圖8。

圖8 θ1，θ2，θ3與f的關系曲線

f軸可以分成三段：(0,0.317)、(0.317,0.370)、(0.370,+∞)，分別對應三種情況。第一段內，桿從豎直開始傾倒，先定軸轉動，然后觸地端打滑開始負向運動，減速為0后開始正向運動，直至落地；第二段內，桿從豎直開始傾倒，先定軸轉動，然后觸地端打滑開始負向運動，減速為0后開始定軸轉動，之后打滑開始正向滑動直至落地；第三段內，桿從豎直開始傾倒，先定軸轉動，然后觸地端打滑開始正向運動，直至落地。

當桿正向滑動后(圖9)，摩擦力反向，需將式(14)改為Fs=?f FN，可以看做是將摩擦因數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)，故運動方程應為

圖9 桿正向滑動時的受力分析

當f∈(0,0.317)時，此方程初值由式(19)得到，當f∈(0.317,0.370)時，方程初值由式(27)得到。

1.2.2f>fm時的桿件平面運動

此時桿打滑的θ1滿足

運動方程同式(33)，通解同式(20)，其中

代入初值條件，求得

還要指出對任意的摩擦因數(shù)桿均不能跳起。設桿定軸轉動最后一刻的動能為E0，此后桿將發(fā)生平面運動，觸地端將會向x軸正向滑動，角速度和角度的關系難以精確求出，故利用放縮的辦法，假設此時桿繼續(xù)定軸轉動，此后角速度為ω1，由動能定理可知

其中WG為桿轉到θ時重力做的功。

但實際上，桿為平面運動，角速度為ω2，質心速度大小為v2，由動能定理可知

其中Wf為摩擦力做功的大小，利用速度疊加求得

式(36)減去式(37)得

由于式(12)右端大于零，則

而ω1是定軸轉動的角速度，可見打滑時的角速度比定軸轉動時的更小，利用式(13)和式(17)與補充條件Fs=?f FN，求得無量綱反力

放縮得

代入式(2)得

這樣，證明了支反力恒正。其他摩擦因數(shù)下的證明思路一致，這里不再贅述。

2 觸地端位移分析

當f

當θ1<θ<θ2時，利用式(22)知負向位移為

其中t1為桿觸地端開始滑動的時刻，t2為停止滑動(或開始反向滑動)的時刻

將式(23)代入式(42)，經(jīng)部分積分后可得

其中第三項利用換元法把積分變量換為θ

由于位移與桿的長度有關，式(42)兩端同除桿長l，得到無量綱位移x B1/l

同理可推得，當θi<θ<π/2時，無量綱正向位移為

當f∈(0,0.317)時，θi取θ2，當f∈(0.317,0.370)時，θi取θ3，故觸地端總位移x B/l=x B1/l+x B2/l。

當f≥fm時，觸地端只有正向位移，同樣可導出觸地端位移表達式為

得到觸地端最終位移與摩擦因數(shù)的關系曲線，如圖10。

圖10 x B/l與f的關系曲線

圖10中的曲線在f=0.233附近有零點，也就是此時觸地端會回到初始位置，曲線在f=0.364附近有極大值點，極大值約為0.049，此時觸地端離初始位置最遠。

3 實驗驗證

考慮到滑動摩擦因數(shù)測試較為困難，本實驗主要通過測得靜摩擦因數(shù)后，測試從定軸轉動到初始滑動的臨界角度，即圖4中所示初始滑動臨界曲線。同時驗證對應不同摩擦因數(shù)桿觸地端的運動狀態(tài)。首先需要取不同的介質獲得不同的摩擦因數(shù)，然后對應在不同介質表面進行直桿傾倒實驗。

3.1 摩擦因數(shù)的測量

實驗選用均質的細長不銹鋼桿，長300 mm，直徑2 mm，兩端打磨成弧形，并均勻地裹上一層硬脂酸，以保證在滑動過程中摩擦因數(shù)的均勻性。

靜摩擦因數(shù)的直接測量較難，可以通過圖11的方法進行間接測量：將桿靠在直角墻面上，設桿與鉛錘方向夾角為θ，釋放后，如果桿打滑，就減小角度再重新擺放，如果不打滑則小心增大角度再重新擺放，精細調整至臨界狀態(tài)。

圖11 桿受力分析圖

設A和B段支反力和摩擦力分別為FNA，F(xiàn)SA，F(xiàn)NB，F(xiàn)SB，摩擦因數(shù)分別為f A和f B，當桿達到臨界平衡時，由平衡方程得

由于上、下端均達到最大靜摩擦力，則補充方程為

式(49)和式(50)共五個方程，卻有六個未知量，故可以認為一端摩擦因數(shù)已知，來測量另一端摩擦因數(shù)，如f B已知，可求得

B端的摩擦因數(shù)可以這樣求得，將水平面與垂直面用同一種材質，此時A和B端摩擦因數(shù)相同，可設為f，從式(51)可解出

選定水平面和垂直面材質均為A4紙，測得臨界角為39°，則f B=f=0.354。下面的實驗中，垂直面的材質保持不變(A4紙)，更換水平面的材質重復上述實驗過程獲得相應的臨界角，通過式(39)確定A處相應的摩擦因數(shù)，所得結果如表1所示。

表1 不同材料下的摩擦因數(shù)

3.2 觸地端初次滑動臨界角測試

為了控制直桿倒下的方向，直桿的頂部靠在一根光滑的細鋼桿上，直桿后面有角度表，用高速攝像錄制直桿傾倒的過程，通過回放可以讀出桿觸地端滑動時的臨界角，準備就緒的裝置如圖12。

圖12 傾倒裝置示意圖

實驗得到的不同摩擦因數(shù)下初次滑動臨界角如圖13所示，圖中曲線為理論值(見圖4)，各點為實驗值。整體趨勢較為符合理論解。這里必須正視兩個偏差：(1)靜摩擦因數(shù)是在盡可能保持桿件不受其他因素影響下(如保持絕對靜止)測得的最大靜摩擦因數(shù)。但桿件傾倒過程測試時，從定軸轉動到觸地端開始滑動前難以符合靜摩擦因數(shù)的測試環(huán)境，因此實際摩擦因數(shù)降低了(介于靜、動摩擦因數(shù)之間)；(2)慢鏡頭實際觀察滑動臨界角時仍有延遲，測量結果整體偏大(即圖中各點偏右)。

圖13 實驗值與理論曲線對比圖

3.3 觸地端運動狀態(tài)驗證

圖14為摩擦因數(shù)f=0.29時桿的運動狀態(tài)。圖14(a)為初始位置，桿觸地端在刻度5的位置；圖14(b)為定軸轉動過程，桿觸地端仍在刻度5的位置；圖14(c)為桿觸地端反向滑動過程中，桿觸地端位于刻度5的左邊；圖14(d)為桿觸地端正向滑動過程中，桿觸地端位于刻度5的右邊，定性驗證了當f<0.317時，桿傾倒過程的運動分析。

圖14 f=0.29時，直桿傾倒過程截圖

圖15為摩擦因數(shù)f=0.519時桿的運動狀態(tài)。圖15(a)為初始位置，桿觸地端在刻度5的位置；圖15(b)為定軸轉動過程，桿觸地端仍在刻度5的位置；圖15(c)為桿觸地端正向滑動過程中，桿觸地端位于刻度5的右邊；桿傾倒過程中無反向滑動。定性驗證了當f>fm(0.370)時，桿傾倒過程的運動分析。

圖15 f=0.519時，直桿傾倒過程截圖

f∈(0.317,0.370)時，桿雖然存在第二次定軸轉動，但時間極短，并且前述分析并未考慮動靜摩擦因數(shù)的不同，在實際實驗時，難以準確地觀測到第二次定軸轉動。

另外無論在何種摩擦因數(shù)下，桿觸地端均無跳離地面的現(xiàn)象。

4 結論與展望

本文利用理論力學、常微分方程等相關知識，分析了考慮摩擦的剛性直桿傾倒的全過程，建立了完善的動力學模型，得到了直桿打滑角和反向角與摩擦因數(shù)的關系，同時利用直桿觸地端位移的表達式，得到了觸地端最終位移與摩擦因數(shù)的關系曲線，通過實驗驗證了部分現(xiàn)象，對以往的部分錯誤進行了糾正，并得到如下結論：

(1)剛性直桿在自由傾倒過程中，無論桿與地面的摩擦因數(shù)為何值，桿觸地端在某一個傾角都會滑動；

(2)當摩擦因數(shù)f∈(0,0.317)時，桿觸地端有靜止(即定軸轉動)、反向滑動和正向滑動三個階段；當摩擦因數(shù)f∈(0.317,0.370)時，桿觸地端有靜止(即定軸轉動)、反向滑動、靜止(即第二次定軸轉動)和正向滑動四個階段；當摩擦因數(shù)f∈(0.370,+∞)時，桿觸地端有靜止(即定軸轉動)和正向滑動兩個階段；

(3)均質剛性直桿在自由傾倒過程中，無論桿與地面的摩擦因數(shù)為何值，桿觸地端都不會跳離地面。

由于篇幅所限，本文沒有再考慮動靜摩擦因數(shù)不等的情況，如果考慮，思路基本不變，只需對各運動模型中的摩擦因數(shù)作區(qū)分，可以得到新的結論，并且更接近真實的運動情況，但同時也會帶來求解與表述上的困難，此外本文的實驗也以定性驗證為主，還可以在更好的實驗條件下對更多的結論進行驗證。