金艷玲

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院，數(shù)學(xué)教研部，太原 030031)

分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)古老的課題，分?jǐn)?shù)階微分方程在高能物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用。探討微分方程的求解方法尤為重要，但精確解卻很難獲得。很多學(xué)者在分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解方面都做了大量的研究。文獻(xiàn)[1]采用了基本的分?jǐn)?shù)差分法、Adomain分解法、和變分迭代法對(duì)一類線性分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解進(jìn)行了討論，并利用實(shí)例給出各種方法計(jì)算效果的對(duì)比。文獻(xiàn)[2]利用樣條插值方法討論了一類非線性微分方程的數(shù)值解。[3]則用分?jǐn)?shù)樣條法解決了分?jǐn)?shù)階線性微分方程組的數(shù)值解。文獻(xiàn)[4]-[9]討論了小波分析方法在分?jǐn)?shù)階微分方程求解中的應(yīng)用。則在文獻(xiàn)[1]所討論的方程中，改變其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并利用分?jǐn)?shù)差分法探討其解。

1 基本概念

在分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展過(guò)程中，出現(xiàn)過(guò)以下幾種基本定義Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子：

(1)

J0f(x)=f(x)，

(2)

(3)

Caputo意義下函數(shù)f(x)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

(4)

注：DαJαf(x)=f(x)

(5)

Gr-nwald-Letnikov意義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

(6)

2 主要方程

主要討論了如下方程：

(7)

文獻(xiàn)[1]中討論的方程為下列方程中g(shù)(t)=1的情況。

特別地，當(dāng)g(t)=1,n=1,0<α≤1時(shí)，此方程的形式恰為分?jǐn)?shù)階弛豫方程：

(8)

當(dāng)g(t)=1,n=2,1<α≤2時(shí)，此方程的形式恰為分?jǐn)?shù)階振蕩方程：

(9)

3 方法討論

差分法是解決微分方程數(shù)值解的有力工具。對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程，利用Grnwald-Letnikov意義下的分?jǐn)?shù)階微分的定義及其等價(jià)性，使用分?jǐn)?shù)差分法也是行之有效的。所以，對(duì)于上述微分方程，我們利用定義3可以得到以下差分形式：

(10)

其中：tn=nhun=u(tn)

(11)

(12)

4 數(shù)值算例

我們考慮如下方程

(13)

其中

(14)

經(jīng)過(guò)探討可知，該方程的精確解為u(t)=t3-t2

利用分?jǐn)?shù)差分法，使用遞推公式

(15)

利用Matlab軟件，分別取步長(zhǎng)為0.1和0.01，可得到數(shù)值解與真值對(duì)比圖如下:

通過(guò)上述例子的討論，并由圖表可以看出，數(shù)值解與精確解的對(duì)比數(shù)據(jù)，誤差隨著h的減小而減小，進(jìn)一步說(shuō)明該算法在求解此類分?jǐn)?shù)階微分方程中很有效。