孫瑞雪,孫葳清,黃力行,吳建琴,馬曉棟
(新疆師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830054)
2018年中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽第七題:用非粘性顆粒物質(zhì)可以澆筑形成圓錐形樁,研究影響錐體形成的參數(shù)及其與地面的角度。目前,國(guó)內(nèi)對(duì)這方面的學(xué)術(shù)研究較多[1-6],且大多數(shù)學(xué)者都是從顆粒物質(zhì)的直徑、錐形樁的高度、顆粒物質(zhì)表面的摩擦力和靜止角等方面,對(duì)錐形樁的形成過(guò)程進(jìn)行了探討;而通過(guò)實(shí)驗(yàn)去探究錐形樁的形成因素的研究卻很少[1]。國(guó)外學(xué)者S.Dorbolo等人用數(shù)值模擬去研究錐形樁形成后的靜止角和底面半徑等因素,對(duì)于實(shí)驗(yàn)裝置也設(shè)定了一定的角度[2]。筆者在前者的理論基礎(chǔ)上采用控制變量法對(duì)形成錐形樁的影響因素逐一進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究,例如錐形樁的靜止角、高度、底面半徑,為今后研究學(xué)術(shù)性競(jìng)賽題目提供參考。
所謂靜止角,是指在澆筑形成錐形樁時(shí),顆粒物質(zhì)相對(duì)于水平面的最陡下降角或傾角;因?yàn)樵谶@個(gè)角度下,斜面上的物質(zhì)處于相對(duì)滑動(dòng)的邊緣,故又稱(chēng)其為臨界靜止角[3],范圍在0°到90°不等;如圖1,經(jīng)力學(xué)簡(jiǎn)單表述可知靜止角與顆粒物質(zhì)表面間靜態(tài)摩擦系數(shù)存在一定聯(lián)系[4-5]。
圖1 斜坡面上的物質(zhì)處于滑動(dòng)狀態(tài)的分析圖
構(gòu)建理論模型如圖2,根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)猜想出澆筑錐形樁的物理過(guò)程。
圖2 形成錐形樁的理想模型
相關(guān)參數(shù)為:V表示非粘性顆粒物質(zhì)的總體量;T表示顆粒物質(zhì)全部流出并完成澆筑的總時(shí)間;ν0表示非粘性顆粒物質(zhì)出口時(shí)的流速;S0表示出口處的橫截面積;H為漏斗口到水平面的距離;h為錐體的高度。θ是靜止角,r0是錐體的底面半徑,h(t)是任意時(shí)刻錐形樁的高度。
根據(jù)所建構(gòu)的模型可推導(dǎo)出:
由此可知:(1)出口處顆粒物質(zhì)的流速影響形成錐形樁的快慢;(2)形成錐形樁過(guò)程中自身參數(shù)的相互關(guān)系(該錐形樁的約束關(guān)系),為實(shí)驗(yàn)的探究過(guò)程提供有效論證,以下的實(shí)驗(yàn)中則著重探究錐形樁自身參數(shù)的約束關(guān)系。
所采用的實(shí)驗(yàn)裝置:如圖3(a),用鐵架臺(tái)將漏斗固定,便于在實(shí)驗(yàn)中靈活調(diào)節(jié)高度;一個(gè)近似于二維平面的實(shí)驗(yàn)裝置如圖3(b),便于測(cè)量錐形樁的靜止角與高度。近似于二維平面實(shí)驗(yàn)裝置類(lèi)似于一個(gè)矩形(長(zhǎng)40cm、寬2cm、高30cm),其底部是較為光滑的材質(zhì),減少了顆粒物質(zhì)下落時(shí)與底部碰撞所產(chǎn)生的摩擦力;在裝置的兩端都固定了30cm高的擋板,便于澆筑時(shí)更直觀地觀察到錐形樁的狀態(tài)。澆筑過(guò)程中漏斗口應(yīng)垂直于水平桌面。
圖3
采用控制變量法進(jìn)行探究。選取相同體量的玉米粉、白砂糖、小米,分別依次從口徑不同且置于同一高度的漏斗中流出,形成錐形樁(注:漏斗口到底面高度H=10cm;顆粒物質(zhì)體量V=55cm3)。錐形樁澆筑完成后,分別測(cè)量出樁的高度h和樁底面最大直徑d;通過(guò)公式計(jì)算出顆粒物質(zhì)的出口流速,進(jìn)行多組實(shí)驗(yàn)并取平均值,數(shù)據(jù)如表1所示。
表1 不同流速的影響
由表1可知,同一體量不同種物質(zhì),經(jīng)同一口徑漏斗流出,其流速各不相同,但澆筑成形的錐形樁參數(shù)近似一致;同一體量同種物質(zhì),經(jīng)不同口徑流出,錐形樁參數(shù)也近似一致。從而得出結(jié)論:流速對(duì)澆筑形成錐形樁的過(guò)程影響不明顯。
選取兩種顆粒物質(zhì)并設(shè)定其流速和高度都相同(S0=1.28cm2、H=10cm)的情況下,測(cè)量其下落過(guò)程中不同時(shí)間段內(nèi)所形成錐形樁的參量(h(t)、θ、r0),經(jīng)多組實(shí)驗(yàn)取平均值如表2。
表2 不同下落時(shí)間對(duì)錐形樁的影響
由表2可知,當(dāng)顆粒物質(zhì)流速、下落高度一定時(shí),同種顆粒物質(zhì)和不同種顆粒物質(zhì)所澆筑的錐形樁的形狀及其靜止角不同。原因在于在澆筑過(guò)程中錐形樁體逐漸增大,流至樁形表面的顆粒物質(zhì)公攤面積增大,此時(shí)顆粒物質(zhì)滾動(dòng)速度加速減小,因此顆粒物質(zhì)在樁面的穩(wěn)定性增大,故而其靜止角增大。
研究自然生長(zhǎng)顆粒物質(zhì)是否影響靜止角的大小時(shí),分別選取小米、大米、綠豆為研究對(duì)象,其實(shí)驗(yàn)過(guò)程中分別形成錐形樁;測(cè)量并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):小米直徑1-1.5mm,靜止角30°;大米直徑1-3mm,靜止角32°;綠豆3-4mm,靜止角40°。由此可知當(dāng)三種顆粒物質(zhì)的體量與流速一定時(shí)(S0=1.28cm2),其澆筑形成的錐形樁形狀各不相同(即靜止角的大小不同);換而言之,體量與流速一定時(shí),不同顆粒物質(zhì)構(gòu)成的非粘性顆粒錐形樁,在近似的二維平面上形成錐形樁的靜止角是明顯不同的。
自然顆粒物質(zhì)自身半徑越大,其所澆筑錐形樁的靜止角就越大。這是因?yàn)樽匀簧L(zhǎng)的顆粒表面光滑,且顆粒越小光滑程度也就越大,而顆粒較大其表面就容易形成紋路,也因此容易形成凹凸不平的疤痕,使其摩擦力較大,故而在堆積過(guò)程中減少了相對(duì)滑動(dòng),錐形樁就越高,靜止角也就越大。所以自然顆粒物自身半徑越大其澆筑錐形樁的靜止角越大。
選擇體量相同的三份大米分別置于研磨機(jī)里研磨,通過(guò)控制其研磨時(shí)間為變量,得到三份不同研磨程度的顆粒物質(zhì),使其分別通過(guò)三個(gè)相同漏斗(S0=1.28cm2)澆筑形成錐形樁,經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)及測(cè)量發(fā)現(xiàn)其靜止角各不相同,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為:大米研磨5分鐘時(shí)靜止角為29.35°,研磨10分鐘時(shí)靜止角為34.24°,研磨15分鐘時(shí)靜止角為40.17°,且經(jīng)過(guò)研磨后顆粒研磨越小越細(xì),靜止角就越大。
通過(guò)理論分析可知,之所以大米研磨越細(xì)其形成錐形的靜止角越大,是因?yàn)榻?jīng)過(guò)研磨后的顆粒物質(zhì)表面是粗糙的,從而導(dǎo)致表面纖維相接觸摩擦力大;另外,隨著研磨程度的增大,顆粒物質(zhì)面積減小的程度比顆粒物質(zhì)體積減小的程度小,而顆粒物質(zhì)面積正比于摩擦力,顆粒物質(zhì)體積正比于顆粒物質(zhì)重量,顆粒物質(zhì)單位質(zhì)量所受的摩擦力增加,所以研磨越細(xì)靜止角越大。
以小米、白砂糖兩種物質(zhì)為研究對(duì)象,來(lái)探究非粘性顆粒分別在硬質(zhì)桌面、泡沫板上澆筑錐形樁的影響因素。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn),非粘性顆粒在于底面接觸初期與底面發(fā)生了碰撞,且碰撞恢復(fù)系數(shù)不同;底面彈性越好,非粘性顆粒與之發(fā)生碰撞就越劇烈,澆筑初期在底面上隨機(jī)鋪開(kāi)的面積也就相對(duì)越大,但在錐形樁澆筑形成穩(wěn)定之后,便與底面無(wú)關(guān)。
本文對(duì)非粘性顆粒物質(zhì)形成錐形樁的過(guò)程,及其相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析和實(shí)驗(yàn)探究。發(fā)現(xiàn)非粘性顆粒物質(zhì)自身的形狀、尺寸都會(huì)影響它所澆筑形成的錐形樁的大小(靜止角):(1)隨著時(shí)間的變化錐形樁的大小也在變大,靜止角增大;(2)顆粒物質(zhì)越大,靜止角越大;(3)研磨后顆粒物質(zhì)越小越細(xì),靜止角越大;(4)非粘性顆粒物質(zhì)下落時(shí)的流速和顆粒物質(zhì)接觸底面的粗糙程度都不影響錐形樁的大小和靜止角的大小。在本次實(shí)驗(yàn)探究過(guò)程中,其結(jié)論與任博等人的研究結(jié)論較為吻合[1];但所采取的探究方式與任博等人有不同之處[3-6],如:(1)物質(zhì)種類(lèi)的選取比較多樣,能夠發(fā)現(xiàn)在形成錐形樁的時(shí)候多個(gè)因素的考慮;(2)對(duì)靜止角和底面半徑的影響做了詳細(xì)的討論。