孫瑞雪，孫葳清，黃力行，吳建琴，馬曉棟

（新疆師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054）

2018年中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽第七題：用非粘性顆粒物質(zhì)可以澆筑形成圓錐形樁，研究影響錐體形成的參數(shù)及其與地面的角度。目前，國(guó)內(nèi)對(duì)這方面的學(xué)術(shù)研究較多[1-6]，且大多數(shù)學(xué)者都是從顆粒物質(zhì)的直徑、錐形樁的高度、顆粒物質(zhì)表面的摩擦力和靜止角等方面，對(duì)錐形樁的形成過(guò)程進(jìn)行了探討；而通過(guò)實(shí)驗(yàn)去探究錐形樁的形成因素的研究卻很少[1]。國(guó)外學(xué)者S.Dorbolo等人用數(shù)值模擬去研究錐形樁形成后的靜止角和底面半徑等因素，對(duì)于實(shí)驗(yàn)裝置也設(shè)定了一定的角度[2]。筆者在前者的理論基礎(chǔ)上采用控制變量法對(duì)形成錐形樁的影響因素逐一進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，例如錐形樁的靜止角、高度、底面半徑，為今后研究學(xué)術(shù)性競(jìng)賽題目提供參考。

1 構(gòu)建模型

所謂靜止角，是指在澆筑形成錐形樁時(shí)，顆粒物質(zhì)相對(duì)于水平面的最陡下降角或傾角；因?yàn)樵谶@個(gè)角度下，斜面上的物質(zhì)處于相對(duì)滑動(dòng)的邊緣，故又稱(chēng)其為臨界靜止角[3]，范圍在0°到90°不等；如圖1，經(jīng)力學(xué)簡(jiǎn)單表述可知靜止角與顆粒物質(zhì)表面間靜態(tài)摩擦系數(shù)存在一定聯(lián)系[4-5]。

圖1 斜坡面上的物質(zhì)處于滑動(dòng)狀態(tài)的分析圖

構(gòu)建理論模型如圖2，根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)猜想出澆筑錐形樁的物理過(guò)程。

圖2 形成錐形樁的理想模型

相關(guān)參數(shù)為：V表示非粘性顆粒物質(zhì)的總體量；T表示顆粒物質(zhì)全部流出并完成澆筑的總時(shí)間；ν0表示非粘性顆粒物質(zhì)出口時(shí)的流速；S0表示出口處的橫截面積；H為漏斗口到水平面的距離；h為錐體的高度。θ是靜止角，r0是錐體的底面半徑，h（t）是任意時(shí)刻錐形樁的高度。

根據(jù)所建構(gòu)的模型可推導(dǎo)出：

由此可知：（1）出口處顆粒物質(zhì)的流速影響形成錐形樁的快慢；（2）形成錐形樁過(guò)程中自身參數(shù)的相互關(guān)系（該錐形樁的約束關(guān)系），為實(shí)驗(yàn)的探究過(guò)程提供有效論證，以下的實(shí)驗(yàn)中則著重探究錐形樁自身參數(shù)的約束關(guān)系。

所采用的實(shí)驗(yàn)裝置：如圖3（a），用鐵架臺(tái)將漏斗固定，便于在實(shí)驗(yàn)中靈活調(diào)節(jié)高度；一個(gè)近似于二維平面的實(shí)驗(yàn)裝置如圖3（b），便于測(cè)量錐形樁的靜止角與高度。近似于二維平面實(shí)驗(yàn)裝置類(lèi)似于一個(gè)矩形（長(zhǎng)40cm、寬2cm、高30cm），其底部是較為光滑的材質(zhì)，減少了顆粒物質(zhì)下落時(shí)與底部碰撞所產(chǎn)生的摩擦力；在裝置的兩端都固定了30cm高的擋板，便于澆筑時(shí)更直觀地觀察到錐形樁的狀態(tài)。澆筑過(guò)程中漏斗口應(yīng)垂直于水平桌面。

圖3

2 錐形樁影響因素的實(shí)驗(yàn)探究

2.1 不同流速的影響

采用控制變量法進(jìn)行探究。選取相同體量的玉米粉、白砂糖、小米，分別依次從口徑不同且置于同一高度的漏斗中流出，形成錐形樁（注：漏斗口到底面高度H=10cm；顆粒物質(zhì)體量V=55cm3）。錐形樁澆筑完成后，分別測(cè)量出樁的高度h和樁底面最大直徑d；通過(guò)公式計(jì)算出顆粒物質(zhì)的出口流速，進(jìn)行多組實(shí)驗(yàn)并取平均值，數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 不同流速的影響

由表1可知，同一體量不同種物質(zhì)，經(jīng)同一口徑漏斗流出，其流速各不相同，但澆筑成形的錐形樁參數(shù)近似一致；同一體量同種物質(zhì)，經(jīng)不同口徑流出，錐形樁參數(shù)也近似一致。從而得出結(jié)論：流速對(duì)澆筑形成錐形樁的過(guò)程影響不明顯。

2.2 澆筑時(shí)間與靜止角的關(guān)系

選取兩種顆粒物質(zhì)并設(shè)定其流速和高度都相同（S0=1.28cm2、H=10cm）的情況下，測(cè)量其下落過(guò)程中不同時(shí)間段內(nèi)所形成錐形樁的參量（h（t）、θ、r0），經(jīng)多組實(shí)驗(yàn)取平均值如表2。

表2 不同下落時(shí)間對(duì)錐形樁的影響

由表2可知，當(dāng)顆粒物質(zhì)流速、下落高度一定時(shí)，同種顆粒物質(zhì)和不同種顆粒物質(zhì)所澆筑的錐形樁的形狀及其靜止角不同。原因在于在澆筑過(guò)程中錐形樁體逐漸增大，流至樁形表面的顆粒物質(zhì)公攤面積增大，此時(shí)顆粒物質(zhì)滾動(dòng)速度加速減小，因此顆粒物質(zhì)在樁面的穩(wěn)定性增大，故而其靜止角增大。

2.3 自然生長(zhǎng)的顆粒物質(zhì)大小對(duì)靜止角的影響

研究自然生長(zhǎng)顆粒物質(zhì)是否影響靜止角的大小時(shí)，分別選取小米、大米、綠豆為研究對(duì)象，其實(shí)驗(yàn)過(guò)程中分別形成錐形樁；測(cè)量并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：小米直徑1-1.5mm，靜止角30°；大米直徑1-3mm，靜止角32°；綠豆3-4mm，靜止角40°。由此可知當(dāng)三種顆粒物質(zhì)的體量與流速一定時(shí)（S0=1.28cm2），其澆筑形成的錐形樁形狀各不相同（即靜止角的大小不同）；換而言之，體量與流速一定時(shí)，不同顆粒物質(zhì)構(gòu)成的非粘性顆粒錐形樁，在近似的二維平面上形成錐形樁的靜止角是明顯不同的。

自然顆粒物質(zhì)自身半徑越大，其所澆筑錐形樁的靜止角就越大。這是因?yàn)樽匀簧L(zhǎng)的顆粒表面光滑，且顆粒越小光滑程度也就越大，而顆粒較大其表面就容易形成紋路，也因此容易形成凹凸不平的疤痕，使其摩擦力較大，故而在堆積過(guò)程中減少了相對(duì)滑動(dòng)，錐形樁就越高，靜止角也就越大。所以自然顆粒物自身半徑越大其澆筑錐形樁的靜止角越大。

2.4 研磨顆粒大小對(duì)靜止角的影響

選擇體量相同的三份大米分別置于研磨機(jī)里研磨，通過(guò)控制其研磨時(shí)間為變量，得到三份不同研磨程度的顆粒物質(zhì)，使其分別通過(guò)三個(gè)相同漏斗（S0=1.28cm2）澆筑形成錐形樁，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)及測(cè)量發(fā)現(xiàn)其靜止角各不相同，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為：大米研磨5分鐘時(shí)靜止角為29.35°，研磨10分鐘時(shí)靜止角為34.24°，研磨15分鐘時(shí)靜止角為40.17°，且經(jīng)過(guò)研磨后顆粒研磨越小越細(xì)，靜止角就越大。

通過(guò)理論分析可知，之所以大米研磨越細(xì)其形成錐形的靜止角越大，是因?yàn)榻?jīng)過(guò)研磨后的顆粒物質(zhì)表面是粗糙的，從而導(dǎo)致表面纖維相接觸摩擦力大；另外，隨著研磨程度的增大，顆粒物質(zhì)面積減小的程度比顆粒物質(zhì)體積減小的程度小，而顆粒物質(zhì)面積正比于摩擦力，顆粒物質(zhì)體積正比于顆粒物質(zhì)重量，顆粒物質(zhì)單位質(zhì)量所受的摩擦力增加，所以研磨越細(xì)靜止角越大。

2.5 探究錐形樁的形成過(guò)程及底面碰撞的關(guān)系

以小米、白砂糖兩種物質(zhì)為研究對(duì)象，來(lái)探究非粘性顆粒分別在硬質(zhì)桌面、泡沫板上澆筑錐形樁的影響因素。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，非粘性顆粒在于底面接觸初期與底面發(fā)生了碰撞，且碰撞恢復(fù)系數(shù)不同；底面彈性越好，非粘性顆粒與之發(fā)生碰撞就越劇烈，澆筑初期在底面上隨機(jī)鋪開(kāi)的面積也就相對(duì)越大，但在錐形樁澆筑形成穩(wěn)定之后，便與底面無(wú)關(guān)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)非粘性顆粒物質(zhì)形成錐形樁的過(guò)程，及其相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析和實(shí)驗(yàn)探究。發(fā)現(xiàn)非粘性顆粒物質(zhì)自身的形狀、尺寸都會(huì)影響它所澆筑形成的錐形樁的大小（靜止角）：（1）隨著時(shí)間的變化錐形樁的大小也在變大，靜止角增大；（2）顆粒物質(zhì)越大，靜止角越大；（3）研磨后顆粒物質(zhì)越小越細(xì)，靜止角越大；（4）非粘性顆粒物質(zhì)下落時(shí)的流速和顆粒物質(zhì)接觸底面的粗糙程度都不影響錐形樁的大小和靜止角的大小。在本次實(shí)驗(yàn)探究過(guò)程中，其結(jié)論與任博等人的研究結(jié)論較為吻合[1]；但所采取的探究方式與任博等人有不同之處[3-6]，如：（1）物質(zhì)種類(lèi)的選取比較多樣，能夠發(fā)現(xiàn)在形成錐形樁的時(shí)候多個(gè)因素的考慮；（2）對(duì)靜止角和底面半徑的影響做了詳細(xì)的討論。