劉軾波

(廈門大學 數(shù)學科學學院，福建 廈門361005)

1 引 言

數(shù)學分析是數(shù)學類專業(yè)本科生最重要的基礎課，因此各高校的數(shù)學院系對這門課都極為重視.2009年，我國啟動基礎學科拔尖學生培養(yǎng)試驗計劃.從2014年秋季起，廈門大學數(shù)學科學學院對入選該計劃的本科生的主要課程實行小班教學，由筆者負責該班二年級第一學期的數(shù)學分析(即數(shù)學分析3)的教學工作.這門課的主要內容就是多元微積分.為了行文方便，下文中的數(shù)學分析也專指多元微積分.

對這些優(yōu)秀學生實行小班教學的意圖，當然是希望在教學內容等方面突破傳統(tǒng)教材的框架，力求有所創(chuàng)新，更好地完成數(shù)學人才培養(yǎng)任務.因此，對這門課進行了一些思考和探索，逐步形成了有特色的課程內容體系，在幾年的教學過程中形成了一份講義.此外，還與教過的本科生合作，發(fā)表了兩篇關于多元微積分的論文[1-2]；這些結果現(xiàn)在已經(jīng)成多元微積分的標準內容.此外，我在北京大學、北京師范大學、南京大學和浙江大學等高校為本科生做有關的學術報告，介紹我們在數(shù)學分析方面的工作；2017年、2018年和2020年應邀在復旦大學舉辦的數(shù)學分析教學研討會做報告.

2019年6月，我應邀在國家天元數(shù)學東南中心舉辦的數(shù)學專業(yè)課程建設研討會做報告(研討會網(wǎng)址: http:∥tianyuan.xmu.edu.cn/activities/19-20/sxkc2019/index.html).本文是根據(jù)這個報告的內容整理而成.

2 課程現(xiàn)代化及與現(xiàn)代數(shù)學的聯(lián)系

現(xiàn)代數(shù)學很多內容都是高維的，適應向量記法并能熟練操作向量值函數(shù)，是成為優(yōu)秀數(shù)學家必須的素養(yǎng).因此，在講授多元微積分時，特別強調向量的記法以及向量值函數(shù).可能很多人都已經(jīng)意識到：數(shù)學分析中很多概念和定理，用分量形式表達非常繁瑣，而用向量形式則非常簡潔，并且更能凸顯數(shù)學內容的實質和內在聯(lián)系；這應該已經(jīng)成為很多同行的共識了.除此之外在教學中還進一步發(fā)現(xiàn)：若不涉及向量值函數(shù)，則無法充分展現(xiàn)微分學的基本思想！這一點將在下文進一步闡述(見注4). 由此可見，在多元微積分教學中仔細講解向量值函數(shù)，是在教學中應該提倡的一項舉措.

數(shù)學分析通常被認為是一門古老的學問.其實，只要細加研究，是可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學分析的內容與現(xiàn)代數(shù)學的一些聯(lián)系的.在教學中，應該善于找到這些聯(lián)系并展現(xiàn)給學生.以下結合自己的教學實踐舉幾個例子.

由于本文涉及的問題較多，以下十余個例子中所給的證明只是對證明思路的大致描述，一些細節(jié)因篇幅所限不得不省略.相信這些簡略的文字足以使讀者理解解決這些問題的想法.

例1m中不存在既開又閉的非空真子集.

證設m的非空子集U既開又閉，U≠m.取a∈mU，因U閉，有x∈U使

因U開，可在x附近取點x′∈U使|x′-a|<|x-a|；這就與上式矛盾.

在數(shù)學分析課中介紹這個簡單的例1，是為了得到以下經(jīng)典結果.

例2設f∶m→m是C1-映射，對?x∈m，detf′(x)≠0.若f是強制的，即|x|→∞時，|f(x)|→∞，則f(m)=m.

證事實上，運用反函數(shù)定理，由f的Jacobi行列式處處非零可知f的值域為開集；由f強制可知f的值域為閉集.因此由例1即知f的值域是m.

注1 例2的結論相當于對?b∈m，都有x∈m使f(x)=b.因此例2可以看作非線性代數(shù)方程組的求解問題.此例也可以通過研究φ∶x|f(x)-b|2的最值來證明.進一步，對φ應用山路定理[3]，還可以證明在例2的條件下f是單射，因此f∶m→m是微分同胚，詳見[4].

鑒于方程的求解是數(shù)學的中心問題，以及例2的簡單性，任何學過多元微積分的數(shù)學類本科生都應該至少知道例2的上述兩種證明方法.不幸的是在某些985高校，即使是入選拔尖計劃的優(yōu)秀學生也完全不知道這個例子.

注2 在[1]中，把例2的結論推廣為：設n≥2，f∶m→n是C1-映射，僅有至多有限個x∈m使rankf′(x)

變分方法在近現(xiàn)代數(shù)學中有重要的地位.在多元函數(shù)積分學部分，作為散度定理的應用，可以用變分的思想推導極小曲面方程；這是把泛函極值問題轉化為求解偏微分方程.為了研究數(shù)學、物理中一些重要的非線性偏微分方程解的存在性，也可以反其道而行之，把方程求解的問題歸結為尋找某個能量泛函的極值點或更一般的臨界點，這就是非線性微分方程的變分方法[5-6].在數(shù)學分析這樣的基礎課中當然不可能過多涉及偏微分方程，但是通過研究非線性代數(shù)方程來展示變分方法的威力，應該是很有趣的.

|F(x)|≤C(1+|x|θ)，

f=?F∶m→m.則非線性代數(shù)方程組

即Ax=f(x)有解.

證考慮C1-函數(shù)Φ∶m→，·x-F(x).則|x|→∞時，Φ(x)→+∞，于是Φ在m中的某點ξ達到最小值.由多元函數(shù)極值的必要條件(Fermat定理)有?Φ(ξ)=0，即Aξ=f(ξ).這ξ就是Ax=f(x)的解.

作為在[2]中給出的m-重積分換元公式新證明的簡單推論，立刻得到m-維Brouwer不動點定理(見注10). 不動點理論也是現(xiàn)代數(shù)學中的重要內容，應用Brouwer不動點定理可以改進例3的結果.在以下的例4中，A不必是對稱矩陣，f也不必是某個數(shù)量值函數(shù)F的梯度.

例4設A是m-階可逆矩陣，f:m→m連續(xù)且

(1)

則非線性代數(shù)方程組Ax=f(x)有解.

設b∈m，常值映射f∶xb顯然滿足例4要求的條件.于是由例4可知當A是可逆矩陣時，非齊次線性方程組Ax=b有解.因此例4可以看作線性代數(shù)中的Cramer法則的非線性推廣.方程組Ax=f(x)的求解問題等價于求映射g∶xA-1f(x)的不動點.運用(1)可以找到充分大的r>0使這里是球心在原點半徑為r的閉球，于是可以應用Brouwer不動點定理得到的不動點.具體細節(jié)留給讀者.

3 充分展現(xiàn)微積分的基本思想

進行多元微積分的教學，當然應該透徹地講清楚微積分的基本思想，把它展現(xiàn)在學生面前.先來談微分學，首先回顧一下非線性映射f∶m→n在點a∈m的導數(shù)的概念.如果有n×m矩陣A，使得當h→0時

f(a+h)-f(a)=Ah+o(|h|)，

(2)

就稱f在點a可微；并將由此性質唯一確定的A稱為f在a的(全)導數(shù)，記為f′(a).熟知，A其實就是f在a點的Jacobi矩陣.當然，也可以把A=f′(a)視為m到n的線性映射.

從定義來看，線性映射f′(a)是非線性映射hf(a+h)-f(a)的近似，因此有時也稱其為f在a點的線性化.由于線性映射比非線性映射容易研究，很自然就希望能夠通過考察f′(a)來研究f.

我們認為微分學的基本思想就是通過研究非線性映射f∶m→n在點a的導數(shù)f′(a)來推斷f在a附近的局部性質.大體上說：f′(a)如何，f就大約如何(見例5).這里需要向學生強調的是，由于f在a點的可微性以及其導數(shù)的值都只與f在a點附近的行為有關，所以只能期望得到f在a點附近的局部性質.下面來看一個典型的例子.為了方便起見，用Na表示含a的開集構成的集族.

例5設Ω∈Na，f∶Ω→n是Ck-映射.

(i) 若f′(a)∶m→n可逆(必m=n)，則f在a局部可逆.即有U∈Na及V∈Nf(a)使f∶U→V是雙射，且f-1也是Ck-映射；

(ii) 若f′(a)∶m→n是滿射(必m≥n)，則f在a局部滿.其確切含義是：b=f(a)是f(Ω)的內點.也就是說b點附近的點都在f的值域中，稱這個結論為局部滿射定理.特別地，如果對?x∈Ω，f′(x)都是線性滿射，則f(Ω)是n的開子集；

(iii) 若f′(a)∶m→n是單射(必m≤n)，則f在a局部單.

注3 結論(i)正是反函數(shù)定理.結論(ii)、(iii)則是其推論；它們以及更一般的秩定理，都可以通過補充分量的方法轉化為相同維數(shù)的空間之間的映射，然后應用反函數(shù)定理來證明.這是應用反函數(shù)定理的典型手法.

注4 例5是體現(xiàn)微分學基本思想的最佳范例：它很好地表現(xiàn)了f′(a)如何，f就大約如何這個思想.只有用向量值函數(shù)，才能把它表達得如此簡練、清楚.如果按傳統(tǒng)的教法，只討論數(shù)量值函數(shù)(即n=1的情形)，則情形(i)、(iii)不可能出現(xiàn)，而情形(ii)也只在f′(a)≠0這個平凡的情形出現(xiàn)，因此就沒法通過這個最佳范例展現(xiàn)微分學的基本思想，這無疑是一個巨大的損失.

局部滿射定理、局部單射定理以及更一般的秩定理，對學生今后學習微分流形非常重要.因此在數(shù)學分析課中應該不回避向量值函數(shù)、把這幾個并不困難的定理講清楚.這樣一來，數(shù)學分析的教學才能進入廣闊的新天地.例如，鄭州大學馬建國編著的教材[7]中用局部滿射定理給出約束極值的Lagrange乘數(shù)法的一個有趣的幾何證明；注2中提到的工作[1]也是用局部滿射定理證明的.

下面來談談多元函數(shù)積分學.積分學用于實際問題的關鍵是微元法，我們認為這就是積分學的基本思想.至于各種積分的性質和計算方法乃至它們之間的關系形成的整套理論體系，當然也很重要，但大家在教學中都對此給予了足夠的重視.所以下面著重談一下微元法.

例6(曲面的面積) 利用Gram-Schmidt正交化可以定義并證明m中以a為頂點，以線性無關向量組為邊的平行2k-面體Pa[v]=Pa[v1，…，vk]的體積為

(3)

其中G=(v1，…，vk)是以vi為列向量的m×k矩陣.

(ii) 模掉一個平移，x′(u0)∶k→m則將Pu0[du]映成S在x0=x(u0)的切空間Tx0S中的小2k-面體Px0[v].這里·x′(u0)εi.用Px0[v]的體積來近似dσ(這是微元法的要點)，則得到面積微元

dσ≈μ(Px0[v]) =du1…duk·μ(Px0[x′(u0)ε1，…，x′(u0)εk])

(4)

這里第二個等號用了(3).第一個等號用到由(3)容易推知的事實：將平行2k-面體的某邊伸縮為原來的λ倍，則其體積變成原來的λ倍；見例8.

很自然，當u0跑遍U時，把面積微元dσ累積起來，就得到m中k-維曲面S的面積

運用k-重積分換元公式，很容易證明上式右端的k-重積分與曲面S的參數(shù)表示的選擇無關.因此這樣來定義m中k-維曲面S的面積是合理的.

以下介紹的余面積公式通常并不是數(shù)學分析課的教學內容，但是南京大學梅加強編著的教材[8]中對它做了簡單的介紹.鑒于這個公式非常有用，在課程中運用學生正在學的常微分方程(在我校安排在二年級第1學期)的知識證明了余面積公式，見例13.這里先用微元法形式上做些推導.

例7(余面積公式) 設G?m是開區(qū)域，f∶G→.視Ω=f-1[a，b]為m中的物體，g:Ω→是密度函數(shù).則Ω的質量

任取t∈[a，b].在曲面f-1(t)上的點x取面元dσ.過x作法線交鄰近的曲面f-1(t+dt)于y.則

dt=f(y)-f(x)≈?f(x)·(y-x)，

這里用到f在x的Taylor展開并略去高階無窮小量.由于?f(x)和y-x都是曲面f-1(t)在x處的法向量，即它們是共線的，在上式兩邊取模得到

用x處的密度g(x)來近似代替以dσ為底，|y-x|為高的柱體中各點的密度.這柱體的體積dV和質量dm分別等于

將dm沿曲面f-1(t)積分，就得到環(huán)狀區(qū)域f-1[t，t+dt]的質量

現(xiàn)在在[a，b]上對t積分，就得到Ω的總質量

(5)

這就是余面積公式.它其實就是化重積分為累次積分，只不過里層積分在一個曲面上進行.

注6 本例在兩個層次上運用微元法.先取t方向的微元dt，然后在曲面f-1(t)上點x處取面積微元dσ，得出小柱體dV的質量微元dm后對dσ積分得到環(huán)狀區(qū)域f-1[t，t+dt]的質量dM，再對dt積分得到整個區(qū)域f-1[a，b]的質量.因此，這是微元法比較復雜的應用，但是把它介紹給學生能很好地加強對微元法的理解，從而提高運用積分解決實際問題的能力.

微元法的另一精彩應用是由Gauss公式推導Archimedes浮力定律.這是歐陽光中等編著的教材[9]中的一道例題，也是陳紀修等編著的教材[10]中的一道習題.因此我們這里就略而不談了.

4 不同課程之間融會貫通

在我國大部分高校數(shù)學院系的課程設置方案中，數(shù)學分析3(即多元微積分)一般被安排在二年級第一學期.此時，學生已經(jīng)學完了線性代數(shù).傳統(tǒng)的數(shù)學分析課運用了一些線性代數(shù)的知識，主要限于用線性映射和矩陣表達非線性映射的導數(shù)(見(2))、用矩陣乘法表達復合函數(shù)求導的鏈鎖法則，以及通過考察函數(shù)在臨界點處的Hesse矩陣的正定性來研究極值.文[11]對微積分與線性代數(shù)教學的互相促進關系做了很好的闡述.另外，在很多學校二年級第一學期的學生同時在學習常微分方程，但是根據(jù)對國內外微積分或數(shù)學分析教學的了解，沒有看到將常微分方程的知識應用于數(shù)學分析教學的做法.

在教學中發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)可以對數(shù)學分析的教學發(fā)揮更大的作用.此外，近年的教學中運用學生剛剛掌握的常微分方程知識來處理數(shù)學分析中的一些重要問題，也取得了很好的效果.以下分別介紹這兩方面的典型例子.

4.1 線性代數(shù)

例8(初等矩陣的妙用) 在(3)中給出了m中的平行2k-面體體積的計算公式.在應用中往往需要用到平行多面體的體積的性質，這些性質可以利用公式(3)結合初等矩陣來得到.例如，討論m中k-維曲面的面積時，在(4)式需要以下等式

μ(Pa[v1，…，λvi，…，vk])=|λ|μ(Pa[v1，…，vi，…，vk]).

例9(超曲面的法向量) 設U是m-1中的開集，來求m中以正則C1-映射x∶U→m為參數(shù)表示的曲面S在點x0=x(u0)的法向量N.

對?h∈m-1，γ∶tx(u0+th)是S上過x0的曲線，其切向量為

由于N與γ′(0)正交，有

0=γ′(0)·N=(x′(u0)h)·N=hT([x′(u0)]TN).

由h的任意性可知[x′(u0)]TN=0.法向量N至少有一個非零分量，于是此式實際上是以剩余m-1個分量為未知量的非齊次線性方程組.由x正則即rankx′(u0)=m-1可知此方程組的系數(shù)行列式非零，于是由Cramer法則可求出法向量

注7 大部分數(shù)學分析教材只用三維空間中向量的叉乘討論m=3的情形，有些教材(例如[8])運用學生比較陌生的(m-1)個m-維向量的叉乘討論m-維情形.例9用學生熟悉的線性代數(shù)來研究，顯得更為自然.作為課后的練習還可以讓學生運用關于k個含m-1個未知數(shù)的非齊次線性方程組的理論研究m中k-維曲面的法向量問題.

定向是流形等一些數(shù)學對象的一個整體性質.常常說Jacobi行列式大于零的映射保持定向，指的是：設φ∶m→m，a∈m，detφ′(a)>0，若是Tam的正基，則是Tφ(a)m的正基.以下的例10從另一個重要的角度討論Jacobi行列式的符號與定向的關系.

例10(Jacobi行列式的符號與定向) 設Ω和D是m中的光滑閉區(qū)域，φ∶Ω→D是微分同胚.設U是m-1中的開集，x∶U→?Ω是?Ω在點a∈?Ω附近的局部參數(shù)表示，熟知y=φ°x∶U→?D是?D在b=φ(a)附近的局部參數(shù)表示.若detφ′(a)>0，并且

是?Ω在a點的外法向量，則

是?D在b=φ(a)點的外法向量.

注8 設N是?Ω在a∈?Ω的法向量.若有ε>0，使得當t∈(-ε，0)時a+tN∈Ω°，就稱N是?Ω在a處的外法向量.例10的關鍵是證明D中的曲線γ∶tφ(a+tN)在b=φ(a)的切向量v與的夾角是銳角.為此運用了扁矩陣與瘦矩陣之積的行列式的Cauchy-Binet公式，以及A*A=(detA)Im等線性代數(shù)知識；這里A*是A的伴隨矩陣，Im是m-階單位陣.

例11(重積分換元公式) 設D和Ω是m中Jordan可測的有界閉區(qū)域，φ∶Ω→D是C1-微分同胚.若f∈C(D)，則有m-重積分的換元公式

(6)

重積分換元公式的證明是數(shù)學分析教學中比較困難的問題.do Carmo的名著[12]中有一道習題，讓讀者用Green公式證明二重積分換元公式.受其啟發(fā)，[2]中把這道習題的思想推廣到高維，用數(shù)學歸納法給出m-重積分換元公式(6)的一個比較簡單的證明.

其中x∶U→m是曲面S的參數(shù)表示，N是由此參數(shù)表示按例9給出的S的法向量場.由歸納假設，即(m-1)-重積分換元公式，容易證明上式右端與S的參數(shù)表示的選擇無關.

然后，利用化重積分為累次積分容易證明m-維散度定理.最后利用散度定理證明m-重積分換元公式，這時需要用到Cauchy-Binet公式，行列式按行展開等線性代數(shù)知識.

注9 與劃分積分區(qū)域并估計每個小塊變換后的體積，進而研究Riemann和的傳統(tǒng)證明相比，在[2]中給出的上述證明完全是巧妙的計算，便于課堂講授，學生也容易掌握.這個證明基于鏈法則和微積分基本定理(即散度定理)，在思想上與一元情形(即定積分)是一脈相承的.因此，有一定理由相信這是證明重積分換元公式最合理的辦法.

在證明的過程中，順便建立了(第一類)曲面積分的理論，包括m-維的散度定理.因此從需要的學時來看，可能比其他方法會節(jié)省一些.利用曲面的參數(shù)表示將曲面積分定義為參數(shù)區(qū)域上的(m-1)-重積分，是近些年來很多數(shù)學分析教材(例如[8，9，13，14])采用的做法.當然，這些教材需要先用其他方法證明重積分換元公式，以保證曲面積分的定義與曲面的參數(shù)表示的選擇無關.

注10 在證明中，當Ω是球體時，只要求換元映射φ將?Ω微分同胚地映成?D，也就是說φ∶Ω→D可以既不單也不滿.于是，用[15]中的想法立刻就得到m-維Brouwer不動點定理.據(jù)我所知，國內外出版的數(shù)學分析教材中幾乎都沒能探討高維的Brouwer不動點定理，除非先花大量篇幅介紹微分流形、微分形式以及流形上的積分和Stokes公式(見Zorich [16]). 張筑生教授的教材[17]用Green公式證明了二維的Brouwer不動點定理.關于Brouwer不動點定理的其他初等證明(即只用微積分)，可見[18-19].

4.2 常微分方程

設g∈C1(m)，?x∈S=g-1(0)有?g(x)≠0，則S是m中的光滑曲面，設p∈S.眾所周知，?g(p)與S上任一經(jīng)過p點的曲線γ的切向量γ′(0)都正交，因此?g(p)是S在p點的法向量.一個自然的問題是：設h∈m，?g(p)·h=0，S上是否有經(jīng)過p點的曲線以h為切向量？這個問題與約束極值的Lagrange乘數(shù)法有關.對此，有如下結果.

例12設g∈C2(m，n)，p∈S=g-1(0)，rankg′(p)=n.若g′(p)h=0，則有C1-映射γ∶(-ε，ε)→S使γ(0)=p且γ′(0)=h.

利用這個結論，可以研究f∈C1(m)在約束條件g(x)=0下的約束極值問題，證明Lagrange乘數(shù)法.一些數(shù)學分析教材運用隱函數(shù)定理給出例12的證明，這是隱函數(shù)定理的漂亮應用，課上當然也會講.但是.我們還運用常微分方程的方法給出如下證明.

γ′(t)=Y(γ(t))，γ(0)=p

(7)

有解γ∶(-ε，ε)→m，顯然γ(0)=p，γ′(0)=Y(p)=h.

用Gram-Schmidt正交化將向量場Y用?gi線性表示，并利用(7)以及g′(p)h=0容易驗證(g°γ)′(t)=0.故g(γ(t))=g(p)=0，即γ(-ε，ε)?S.

注11 要求g∈C2(m，n)是為了對(7)應用常微分方程解的存在唯一性定理.如果用隱函數(shù)定理來證明的話，只需要求g∈C1(m，n).上述證明是受[20]第3章啟發(fā)做出的，那里考慮的是n=1的情形，此時

在例7中曾用微元法導出余面積公式.作為常微分方程對數(shù)學分析的應用的另一個例子，現(xiàn)在來證明余面積公式.

例13(余面積公式) 設G?m為有界開集，f∈C2(G)，Ω=f-1[a，b].對任意x∈Ω有?f(x)≠0.若g∈C(Ω)，則

證為簡單起見只考慮f-1(a)有統(tǒng)一的參數(shù)表示的情形，設φ∶U→m是其參數(shù)表示.利用常微分方程初值問題

(8)

的解x=x(t，p)可構造微分同胚T∶U×[a，b]→Ω，(u，t)x(t，φ(u)).利用行列式按列展開、共線向量內積的絕對值等于它們的模之積以及(8)，容易算出

這里Nt是曲面f-1(t)的參數(shù)表示uT(u，t)按照例9的方式確定的法向量.于是由重積分換元公式和化重積分為累次積分即得

注12 上述余面積公式的證明與我的研究領域臨界點理論[5]中的形變引理有密切關系.這個證明也可以看作伍洪熙等教授的書[21]第11章講述的Riemann流形上的余面積公式在歐氏空間情形的初等版本.然而[21]中的證明需要很多微分流形和Riemann幾何方面的預備知識，所以需要把這些高級的概念解包，整理成上述的初等證明，其中的一個關鍵之處是上述證明中提及的對detT′(u，t)的巧妙計算.給出的這個改編的證明把常微分方程、線性代數(shù)完美地結合起來，很值得玩味，應該會使學生受到很大的啟發(fā).

注13 在2018年秋季講完余面積公式后，很驚喜地發(fā)現(xiàn)有學生運用這個公式給出如下關于等值面的Catalan公式的極簡證明：設f∈C1(n)，對?v∈，等值面f-1(v)都是封閉曲面，設其所圍立體的體積為F(v)，并且F∈C1[a，b].則

當n≤3時，Catalan公式是林源渠、方企勤的習題集[22]中的題目.由于相應教材中沒講余面積公式，我的學生用余面積公式給出的證明當然不是[22]的作者期望的證明.

在數(shù)學分析課中系統(tǒng)地運用常微分方程的知識，應該說是一個大膽的嘗試，在全世界可能都沒有先例.在我國大部分高校，常微分方程與數(shù)學分析3都在二年級第一學期開設，因此，在數(shù)學分析3中運用常微分方程的知識是完全可行的.筆者認為這樣做有助于培養(yǎng)學生對數(shù)學的整體觀念和融會貫通地運用不同課程的知識來解決問題的能力.

5 結 論

數(shù)學類本科生在一年級主要學習一元微積分和線性代數(shù).這兩門課分別關注一維和高維，不太可能有實質性的交叉融合；因此一年級應該是打基礎的階段.但是正如已經(jīng)看到的，在二年級第一學期，線性代數(shù)和常微分方程可以很自然地進入數(shù)學分析的教學，得到豐富多彩的結果.現(xiàn)在看來多元微積分應該是學生接觸的第一門綜合性的課程.這樣的交叉融合，也有利于學生更好地理解線性代數(shù)和常微分方程.此外，很多學校的普通物理課在一年級第二學期和二年級第一學期開設，因此，正如[23]所倡導的，多元微積分的教學還可以與學生正在學習的物理學結合起來，使學生對數(shù)學和物理都有更好的理解.

本文中多次強調，數(shù)學分析中應該重視向量值函數(shù).在注4中清楚地表明：對向量值函數(shù)避而不談或講得不夠，就很難向學生充分展現(xiàn)微分學的基本思想.如果不熟悉向量值函數(shù)，學生也將錯過數(shù)學分析中很多精彩的內容.在二年級第一學期，學生已經(jīng)學完高等代數(shù)，不應該對處理向量和向量值函數(shù)有實質性的困難.也許是因為現(xiàn)有的大部分數(shù)學分析教材都回避向量值函數(shù)(或把它作為選學內容)的原因，有些教師擔心學生接受不了；這種保守的觀念應該改變.

本文談到的這些體會和看法，雖然是這幾年為廈門大學入選拔尖學生培養(yǎng)試驗計劃的優(yōu)秀學生講授多元微積分的過程中對這門課進行思考和探索而產(chǎn)生的，但是筆者認為這些想法和做法也完全適合其他的學生(包括非重點院校的數(shù)學類本科生).其理由是：在二年級第一學期，各類學生在知識儲備上幾乎沒有差別.今后，希望能有機會把筆者對本門課程的教學經(jīng)驗應用到更廣泛的學生群體，為數(shù)學教育事業(yè)做出應有的貢獻.

致謝作者對多元微積分教學的想法曾得到北京大學張恭慶院士的關心并受他邀請到北京大學做報告.本文部分內容曾在一些高校為本科生做報告，并應樓紅衛(wèi)教授邀請在復旦大學舉辦的數(shù)學分析教學研討會報告.作者衷心感謝張恭慶院士、樓紅衛(wèi)教授，以及安排作者與本科生交流的有關高校.此外，作者感謝審稿專家提出的寶貴意見.