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        一類變系數(shù)迭代數(shù)列的收斂性

        2021-07-09 10:00:44黃永忠雷冬霞
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年3期
        關(guān)鍵詞:定義

        黃永忠, 雷冬霞

        (華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,武漢430074)

        1 引 言

        (1)

        定義的數(shù)列{xn},其中an>0(?n∈*).這個數(shù)列是單增的,且有如下結(jié)論:

        引理1由式(1)定義的數(shù)列{xn}收斂當(dāng)且僅當(dāng)正項級數(shù)∑an收斂.

        最后以引理1的證明結(jié)束本節(jié).

        從而由比較判別法得到λ-p∑an收斂,因此∑an收斂.

        另一方面,設(shè)正項級數(shù)∑an收斂. 對所有正整數(shù)n,有

        由比較判別法知,級數(shù)∑(xn+1-xn)收斂,從而數(shù)列{xn}收斂.

        為簡便計,涉及數(shù)列等價或極限時,省略n→∞,比如an→0就是an→0(n→∞).

        2 數(shù)列{xn}的收斂性

        下面依次考慮正項級數(shù)∑an收斂、發(fā)散時與數(shù)列{xn}相關(guān)的等價量.

        2.1 級數(shù)∑an收斂的情形

        容易驗證下面的簡單不等式性質(zhì):

        證證明思路來自文[1]例1.7.8(2)的解,但那里有兩個地方不嚴(yán)謹(jǐn)(最終結(jié)論是正確的).一個是等價量加法性質(zhì)需要有條件但沒指明,另一個是那里的n0=n0(ε)表明n0與l無關(guān),這正是需要論證的.對此,下面給出不同的處理.

        由數(shù)列{xn}單增且收斂知λ≥xn≥x1>0,從而有

        因此,?m,n∈*有

        (2)

        于是由引理2得

        (3)

        (4)

        綜合式(2)和式(4),當(dāng)n>n0時對任意正整數(shù)m有

        令m→∞,注意到∑an收斂,得

        (5)

        下面的引理3建立了一個等價結(jié)論.

        令m→∞得到

        于是由兩邊夾定理得到

        2.2 級數(shù)∑an發(fā)散的情形

        證由Stolz定理得到

        證由引理1知數(shù)列{xn}是發(fā)散到+∞. 令yn=1/xn則yn→0且由式(1)和Taylor公式有

        3 應(yīng) 用

        于是結(jié)論(ii)成立.

        類似地,有

        對于例3,僅給出引理3的相應(yīng)驗證如下:

        對α>1由

        -c(n+1)α+cnα~-αcnα-1→ -∞,

        因此由命題1和式(5),對α<1有

        由文[3]命題3, 記

        最后由命題1得證(ii)、(iii).

        4 結(jié) 論

        本文對文[1]的一道例題進行推廣,得到由變系數(shù)迭代式所定義數(shù)列的相應(yīng)收斂性結(jié)果,在具體應(yīng)用中涉及級數(shù)余項與其對應(yīng)余積分的等價關(guān)系.應(yīng)用例子本身也是一些結(jié)論的推廣,展現(xiàn)了這種推廣的有效性.

        致謝作者非常感謝文獻(xiàn)[1,3]對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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