黃永忠, 雷冬霞

(華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢430074)

1 引 言

(1)

定義的數(shù)列{xn},其中an>0(?n∈*).這個數(shù)列是單增的，且有如下結(jié)論：

引理1由式(1)定義的數(shù)列{xn}收斂當(dāng)且僅當(dāng)正項級數(shù)∑an收斂.

最后以引理1的證明結(jié)束本節(jié).

從而由比較判別法得到λ-p∑an收斂，因此∑an收斂.

另一方面，設(shè)正項級數(shù)∑an收斂. 對所有正整數(shù)n,有

由比較判別法知，級數(shù)∑(xn+1-xn)收斂，從而數(shù)列{xn}收斂.

為簡便計，涉及數(shù)列等價或極限時，省略n→∞,比如an→0就是an→0(n→∞).

2 數(shù)列{xn}的收斂性

下面依次考慮正項級數(shù)∑an收斂、發(fā)散時與數(shù)列{xn}相關(guān)的等價量.

2.1 級數(shù)∑an收斂的情形

容易驗證下面的簡單不等式性質(zhì)：

證證明思路來自文[1]例1.7.8(2)的解，但那里有兩個地方不嚴(yán)謹(jǐn)(最終結(jié)論是正確的).一個是等價量加法性質(zhì)需要有條件但沒指明，另一個是那里的n0=n0(ε)表明n0與l無關(guān)，這正是需要論證的.對此，下面給出不同的處理.

由數(shù)列{xn}單增且收斂知λ≥xn≥x1>0,從而有

因此，?m,n∈*有

(2)

于是由引理2得

(3)

(4)

綜合式(2)和式(4)，當(dāng)n>n0時對任意正整數(shù)m有

令m→∞,注意到∑an收斂，得

(5)

知

下面的引理3建立了一個等價結(jié)論.

和

令m→∞得到

于是由兩邊夾定理得到

2.2 級數(shù)∑an發(fā)散的情形

證由Stolz定理得到

證由引理1知數(shù)列{xn}是發(fā)散到+∞. 令yn=1/xn則yn→0且由式(1)和Taylor公式有

3 應(yīng) 用

于是結(jié)論(ii)成立.

類似地，有

對于例3，僅給出引理3的相應(yīng)驗證如下：

對α>1由

-c(n+1)α+cnα～-αcnα-1→ -∞,

有

因此由命題1和式(5)，對α<1有

由文[3]命題3, 記

則

最后由命題1得證(ii)、(iii).

4 結(jié) 論

本文對文[1]的一道例題進行推廣，得到由變系數(shù)迭代式所定義數(shù)列的相應(yīng)收斂性結(jié)果，在具體應(yīng)用中涉及級數(shù)余項與其對應(yīng)余積分的等價關(guān)系.應(yīng)用例子本身也是一些結(jié)論的推廣，展現(xiàn)了這種推廣的有效性.

致謝作者非常感謝文獻(xiàn)[1,3]對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.