董 樂， 朱亞麗， 馬迎賓

(河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng)453000)

1 引 言

高等數(shù)學(xué)課程是我國(guó)理工科非數(shù)學(xué)專業(yè)的公共基礎(chǔ)課，其核心內(nèi)容為“微積分”.因?yàn)榇苏n程內(nèi)容具有廣泛的應(yīng)用性，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供了必要的數(shù)學(xué)工具；但同時(shí)它還有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候會(huì)感覺有些不適應(yīng).

這門課程通常在大學(xué)一年級(jí)開設(shè)，而剛走出高中、走進(jìn)大學(xué)的學(xué)生往往會(huì)有“數(shù)學(xué)就是做題”的片面認(rèn)識(shí)，遇到困難又容易產(chǎn)生畏難心理.并且他們的計(jì)算能力普遍強(qiáng)于證明能力，邏輯推理水平不高，嚴(yán)密嚴(yán)謹(jǐn)性把握不準(zhǔn)確.教師如果僅僅按照教材照本宣科，或只重視做題能力的培養(yǎng)，學(xué)生難免會(huì)覺得枯燥乏味，抽象困難，對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)也會(huì)造成影響，印證“難學(xué)”的說法.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)可讓學(xué)生認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)的發(fā)展歷程，從而更加深刻地理解概念本身，厘清邏輯關(guān)系，并增加教學(xué)趣味性[1-2].

此外，三次數(shù)學(xué)危機(jī)也能培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神，讓學(xué)生懂得危機(jī)與機(jī)遇并存，只要堅(jiān)持科學(xué)的理念、正確的方法，自強(qiáng)不息，不斷探求、解決遇到的危機(jī)與困難，就能不斷突破，戰(zhàn)勝自我，從而使本節(jié)課成為課程思政的典型案例.

2 三次數(shù)學(xué)危機(jī)簡(jiǎn)介

公元前六世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出“萬物皆數(shù)”的哲學(xué)理念，認(rèn)為萬物按照一定的數(shù)量比例構(gòu)成和諧的秩序.這里的數(shù)量比例指的是互素整數(shù)的比，也就是常說的既約分?jǐn)?shù)，所以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派聲稱的“數(shù)”指的就是今天所說的有理數(shù)，他們稱其為可公度的.畢達(dá)哥拉斯定理，在中國(guó)稱為“勾股定理”，但正是這一定理得到了當(dāng)時(shí)無法解釋的結(jié)果.學(xué)派中一位叫希帕索斯的門徒發(fā)現(xiàn)，對(duì)于直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形來說，其斜邊的長(zhǎng)無法寫成兩互素整數(shù)比的形式，即若a2=2，則a是不可公度的.這就與“萬物皆數(shù)”的說法相矛盾，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)爆發(fā).

解決第一次數(shù)學(xué)危機(jī)并不僅僅是承認(rèn)無理數(shù)存在那么簡(jiǎn)單，還要對(duì)無理數(shù)的本質(zhì)進(jìn)行準(zhǔn)確地刻畫，但囿于數(shù)學(xué)發(fā)展水平，這種刻畫在當(dāng)時(shí)是無法真正給出的.

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生于17至18世紀(jì)，基于古代數(shù)學(xué)中割圓術(shù)、窮竭法的思想和當(dāng)時(shí)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一些科學(xué)家對(duì)求最大最小值、求曲線長(zhǎng)度等問題的研究日漸深入，而最終牛頓和萊布尼茨兩人成為集大成者，分別由速度、加速度問題和切線問題出發(fā)獨(dú)立地構(gòu)建了微積分系統(tǒng).牛頓與萊布尼茨的方法可以解決較以前來說更為廣泛的問題，并使微積分不再是古希臘幾何的附庸和延展，而是一門獨(dú)立的科學(xué)[3].但當(dāng)時(shí)微積分的理論基礎(chǔ)并不牢固，甚至可以說非常脆弱.許多證明被攻擊為不可靠的，或者是不嚴(yán)密的.英國(guó)的貝克萊主教稱微分法是忽略了高階無窮小才消除了誤差，因此是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結(jié)果”[3]，甚至挖苦說無窮小量是“消逝量的鬼魂”[4].這樣，有關(guān)微積分基礎(chǔ)的爭(zhēng)論導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的爆發(fā).

之后，許多杰出的數(shù)學(xué)家嘗試進(jìn)行微積分的嚴(yán)密性工作.柯西的《代數(shù)分析教程》和《無窮小分析教程概論》邁出了微積分嚴(yán)密化的關(guān)鍵一步，但其中“無限趨近”和“要多小有多小”這樣的非形式化表述表明嚴(yán)密化的不徹底性.直到19世紀(jì)，魏爾斯特拉斯給出了極限和連續(xù)的“ε-δ”語(yǔ)言定義，并將導(dǎo)數(shù)、積分等概念嚴(yán)格地定義在極限的基礎(chǔ)上，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的結(jié)束才成為可能，魏爾斯特拉斯也獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)[5].

為了對(duì)極限理論進(jìn)行完善，魏爾斯特拉斯在1860年提出用遞增有界數(shù)列來定義無理數(shù).1872年和1883年，戴德金和康托爾又分別用分割和基本序列來定義無理數(shù).這些努力都證明了實(shí)數(shù)系的完備性，標(biāo)志著分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)的完成，也宣告了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的最終結(jié)束[5].在分析的嚴(yán)格化過程中，無窮多個(gè)元素組成的集合成為無法回避的重點(diǎn)概念.康托爾在研究“函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表達(dá)式的唯一性問題”時(shí)接觸到了無窮點(diǎn)集，隨后一步步地發(fā)展出一般集合的概念，并把集合論發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科[6].而隨著集合論占統(tǒng)治地位，現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)代正式到來.康托爾的超限基數(shù)與超限序數(shù)理論在數(shù)學(xué)界引起軒然大波，但最終獲得認(rèn)可，并飽受贊譽(yù).不料，羅素悖論橫空出世，它是那么地簡(jiǎn)潔明晰，而且所涉及的正是集合論中最重要的方面，所以給予已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并被大部分?jǐn)?shù)學(xué)家認(rèn)可的集合論以致命一擊，直接導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī).

為解決危機(jī)，德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅把集合作為不加定義的原始概念，并規(guī)定滿足他給出的幾條公理，在弗蘭克爾的改進(jìn)下形成了“策梅羅-弗蘭克爾集合論公理系統(tǒng)”，簡(jiǎn)稱“ZF系統(tǒng)”.此外，馮·諾依曼等人通過另一種排除悖論的方式構(gòu)建了所謂的“NBG系統(tǒng)”.但是將集合論建立在一系列公理之上，引起了許多數(shù)學(xué)家的非議，這些公理的合理性爭(zhēng)論一直延續(xù)至今.

三次數(shù)學(xué)危機(jī)分別以“希帕索斯悖論”、“貝克萊悖論”和“羅素悖論”為導(dǎo)火索，是數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段，在一定的背景下產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)上的“觀念危機(jī)”[7].而且，危機(jī)都涉及到了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分[8]，并危及眾多重要數(shù)學(xué)成果的正確性，成為無法回避的矛盾，從而引起數(shù)學(xué)界的高度重視.為了化解危機(jī)，許多杰出數(shù)學(xué)家做了大量工作，從各個(gè)角度進(jìn)行了多次的嘗試，而且往往歷經(jīng)漫長(zhǎng)的歷史時(shí)期才結(jié)束危機(jī).每一次的“轉(zhuǎn)危為安”，都會(huì)使數(shù)學(xué)前進(jìn)一大步，使人類的數(shù)學(xué)理念得到更新和升華，并且得到許多“副產(chǎn)品”，出現(xiàn)更多的與當(dāng)前時(shí)代緊密相連的數(shù)學(xué)分支，促進(jìn)科學(xué)技術(shù)更快更好地發(fā)展[9-10].

3 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

馬克思主義哲學(xué)家阿爾都塞認(rèn)為科學(xué)的危機(jī)實(shí)質(zhì)上是科學(xué)家自發(fā)的哲學(xué)的危機(jī)，又與實(shí)踐的意識(shí)形態(tài)相關(guān)聯(lián)，這就使得哲學(xué)成為了應(yīng)對(duì)與化解科學(xué)危機(jī)的主戰(zhàn)場(chǎng)[11].用三次數(shù)學(xué)危機(jī)作為高等數(shù)學(xué)課程的第一課，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，其教學(xué)設(shè)計(jì)按照時(shí)間順序，由第一次數(shù)學(xué)危機(jī)開始，到第三次數(shù)學(xué)危機(jī)結(jié)束.本節(jié)給出對(duì)每次數(shù)學(xué)危機(jī)的設(shè)計(jì)思路、實(shí)施方案和實(shí)踐效果與反思，這些設(shè)計(jì)考慮了學(xué)生情況、課程特點(diǎn)、課程內(nèi)容與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.1 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

3.1.1 設(shè)計(jì)思路

高等數(shù)學(xué)的授課對(duì)象為大一新生，他們剛剛經(jīng)歷過高考選拔，從高中進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí).與中學(xué)側(cè)重知識(shí)傳授和方法應(yīng)用不同，大學(xué)培養(yǎng)的學(xué)生要富有質(zhì)疑精神，對(duì)書本和老師給出的學(xué)習(xí)內(nèi)容要多問“為什么”.所以，高等數(shù)學(xué)的第一課應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神，告訴學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容不能直接全盤接受，更不能人云亦云.而第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的過程就是學(xué)生質(zhì)疑老師的過程，希帕索斯對(duì)“萬物皆(有理)數(shù)”的質(zhì)疑使無理數(shù)登上歷史舞臺(tái)，并最終形成了完備的實(shí)數(shù)系統(tǒng).

此外，大一學(xué)生的計(jì)算能力較強(qiáng)，而證明水平偏弱，對(duì)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的介紹可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理這一核心素養(yǎng)，培養(yǎng)“只有數(shù)學(xué)證明的命題才令人信服”的觀念.

3.1.2 實(shí)施方案

首先簡(jiǎn)單介紹古希臘的重要哲學(xué)派別——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.該學(xué)派提出“數(shù)”是萬物的本源，而所稱的“數(shù)”其實(shí)僅是今天所說的有理數(shù)；并且，“畢達(dá)哥拉斯定理”享譽(yù)西方，即我國(guó)的“勾股定理”(經(jīng)典的證明方法中學(xué)已給出，這里不必贅述).

最后，老師將問題推廣，給學(xué)生留下思考題：

3.2 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

3.2.1 設(shè)計(jì)思路

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)與高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容密切相關(guān)，對(duì)它的介紹可以直接回應(yīng)學(xué)生初學(xué)時(shí)最大的困惑——為什么要用“ε-δ”語(yǔ)言來給出極限的定義.

歷史發(fā)展的順序是先有微積分應(yīng)用于實(shí)際問題，后有極限的嚴(yán)格定義完善其理論基礎(chǔ)；但是一般教材都是極限定義在先，導(dǎo)數(shù)和積分在后.如果老師按照這樣的順序講授，就會(huì)使學(xué)生不知道為什么極限要用如此抽象的方式定義，產(chǎn)生畏難心理或者逆反心理，并對(duì)后面的學(xué)習(xí)造成負(fù)面影響.而如果先講導(dǎo)數(shù)和積分，后講極限，那么導(dǎo)數(shù)和積分的定義將無法講授，因?yàn)樗鼈兌际峭ㄟ^極限給出定義的.

介紹第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，通過講述貝克萊對(duì)無窮小的譏諷、牛頓與萊布尼茨的束手無策、柯西等人的不懈努力和魏爾斯特拉斯的另辟蹊徑，可以使學(xué)生了解歷史的真相，一起感受無窮小嚴(yán)格定義難產(chǎn)的無奈，最終體會(huì)到極限“ε-δ”語(yǔ)言定義的必然性和巧妙所在.

3.2.2 實(shí)施方案

微積分的出現(xiàn)是歷史的必然.老師首先需要指出，在費(fèi)馬等一批數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)之上，牛頓和萊布尼茨建立了較為完善的微積分系統(tǒng)，但是仍有一些關(guān)鍵性問題無法解釋清楚.

這時(shí)拋出貝克萊對(duì)牛頓責(zé)難的“求xn的流數(shù)(導(dǎo)數(shù))”的例子[6]，其中符號(hào)與現(xiàn)代記法保持一致：

為了求xn的流數(shù)，假設(shè)在相同的時(shí)間內(nèi)，x通過流動(dòng)變化為x+Δx，即x有增量Δx，同時(shí)xn變化為

貝克萊指責(zé)說，在過程中先取一個(gè)非零的Δx進(jìn)行計(jì)算，最終卻又讓它“消失”，這本身就是一個(gè)前后矛盾的推理，并稱這些消失的增量為“消逝量的鬼魂”，甚至稱牛頓是“瞪著眼睛說瞎話”，“從兩個(gè)互相矛盾的假設(shè)，不可能得出任何合理的結(jié)論.”

老師應(yīng)該說明，此處的Δx實(shí)際上是趨于零的，也就是后面將要學(xué)到的極限為零的無窮小量，牛頓和萊布尼茨都曾經(jīng)嘗試給出無窮小量的準(zhǔn)確描述，但是都失敗了.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生之后，一些數(shù)學(xué)家將代數(shù)中的“數(shù)”和幾何中的“量”分離開來，導(dǎo)致了代數(shù)與幾何的脫離，并一度使幾何幾乎成為數(shù)學(xué)發(fā)展的全部；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中，有的數(shù)學(xué)家(例如麥克勞林)也嘗試用幾何建立流數(shù)學(xué)說，從而回?fù)糌惪巳R，但更多的數(shù)學(xué)家(例如歐拉和拉格朗日)則依靠代數(shù)表達(dá)式的形式演算.

為了和后面極限的內(nèi)容接軌，老師需指明化解第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的關(guān)鍵點(diǎn).牛頓去世近一百年后，柯西從定義“變量”和“函數(shù)”出發(fā)，利用極限的概念定義無窮小量，他稱“無窮小”就是收斂到極限0的變量，而極限的定義則是“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨近一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小有多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限.” 雖然柯西用極限定義無窮小使微積分嚴(yán)格化進(jìn)程前進(jìn)了一大步，但其給出的極限定義不夠嚴(yán)謹(jǐn)，其中“無限趨近”和“要多小有多小”無法嚴(yán)格界定.德國(guó)人魏爾斯特拉斯也指出“一個(gè)變量趨近一個(gè)極限”的說法，會(huì)讓人想起時(shí)間和運(yùn)動(dòng)，這樣會(huì)使人認(rèn)為討論是在物理背景下進(jìn)行的.

最后老師的介紹以魏爾斯特拉斯的工作結(jié)束，但不宜給出其極限定義的細(xì)節(jié)，而只需給出三個(gè)方面的說明：①擺脫時(shí)間、運(yùn)動(dòng)等物理元素；②奠基在算術(shù)概念的基礎(chǔ)上，擺脫幾何的束縛；③終止了第二次數(shù)學(xué)危機(jī).細(xì)節(jié)在后面講授極限部分的時(shí)候再給出.

3.3 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

3.3.1 設(shè)計(jì)思路

許多高等數(shù)學(xué)教材從集合講起，而集合的概念學(xué)生在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，大多認(rèn)為此概念相對(duì)簡(jiǎn)單.但是，這一概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一，而且正是這一看似簡(jiǎn)單的概念導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，動(dòng)搖了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).

對(duì)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的介紹可以使學(xué)生更深刻地理解集合的概念，并且提醒學(xué)生這一“簡(jiǎn)單”的概念其實(shí)并不簡(jiǎn)單，使學(xué)生重視對(duì)集合的學(xué)習(xí).

3.3.2 實(shí)施方案

“高等數(shù)學(xué)”課程并不強(qiáng)調(diào)實(shí)數(shù)的完備性，所以老師在設(shè)計(jì)第二次危機(jī)之后數(shù)學(xué)發(fā)展的銜接時(shí)，只需介紹康托爾的研究導(dǎo)致了集合論的誕生.

接著便可以讓“羅素悖論”登場(chǎng)了.基于認(rèn)知情況，老師可以先給出“理發(fā)師悖論”這一通俗化的形式：一個(gè)鄉(xiāng)村理發(fā)師，只給所有不給自己刮臉的人刮臉，那么他是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，那么按規(guī)定他不能給自己刮臉；如果他不給自己刮臉，那么他需要給自己刮臉.然后再給出其集合形式：集合S由一切不是自身元素的集合所組成，那么S是否屬于S呢？如果S屬于S，按定義它不能屬于S；如果S不屬于S，則它又屬于S.顯然這不符合“排中律”，也徹底攻擊了集合的“確定性”原則，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)爆發(fā)了.

解決第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的方案不宜作為課堂講授的重點(diǎn)，老師可以簡(jiǎn)述為：康托爾本人其實(shí)早就發(fā)現(xiàn)了問題，稱不能說“由一切集合所成的集合”；后期策梅洛和馮·諾依曼等人又給出了公理化集合論的方案，但是公理化集合論的相容性尚未證明.

3.4 實(shí)踐效果

三次數(shù)學(xué)危機(jī)都是數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段，對(duì)關(guān)鍵問題出現(xiàn)的“認(rèn)識(shí)危機(jī)”，客觀反映了人類對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律，其矛盾點(diǎn)或與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容關(guān)系密切，與大學(xué)新生的學(xué)情契合.筆者團(tuán)隊(duì)歷經(jīng)三年，對(duì)計(jì)算機(jī)類專業(yè)、化學(xué)類專業(yè)等15個(gè)班1300余名學(xué)生進(jìn)行了探索實(shí)踐，與之前傳統(tǒng)第一課模式授課班級(jí)比較，學(xué)生通過了解數(shù)學(xué)史實(shí)，對(duì)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容產(chǎn)生了更為濃厚的興趣，并且在以后的學(xué)習(xí)中明顯重視定義出現(xiàn)的背景和定理的證明，也表現(xiàn)出了明顯的探索精神和質(zhì)疑精神.通過問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，89.58%的學(xué)生認(rèn)為三次數(shù)學(xué)危機(jī)作為高等數(shù)學(xué)第一課可以提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，反過來認(rèn)為不可以的僅占2.08%；有89.36%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)史引導(dǎo)提升了自己的探索精神，反過來認(rèn)為沒有提升探索精神的僅占4.26%；有93.75%的學(xué)生希望老師在教學(xué)過程中適當(dāng)加入數(shù)學(xué)史內(nèi)容，反過來不希望的學(xué)生僅占4.17%.從這些數(shù)據(jù)可以看出，三次數(shù)學(xué)危機(jī)作為高等數(shù)學(xué)第一課，不僅提升了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，達(dá)到了預(yù)期的目標(biāo).通過對(duì)提出反面意見學(xué)生的個(gè)人訪談，一般認(rèn)為課堂中加入的數(shù)學(xué)史內(nèi)容與具體專業(yè)學(xué)情結(jié)合還不充分，這些意見為筆者團(tuán)隊(duì)下一步工作指明了方向.

圖1 問卷調(diào)查主要問題結(jié)果餅圖

4 結(jié) 論

三次數(shù)學(xué)危機(jī)作為數(shù)學(xué)史上的重要事件，有推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要作用.用三次數(shù)學(xué)危機(jī)作為高等數(shù)學(xué)課程的第一課，除了使學(xué)生了解相關(guān)史實(shí)之外，還會(huì)對(duì)課程中極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分等概念的學(xué)習(xí)有較大幫助，并提醒學(xué)生注意集合等基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)和理解.根據(jù)筆者的具體實(shí)踐，學(xué)生了解了數(shù)學(xué)發(fā)展中的矛盾與碰撞，便獲悉了概念產(chǎn)生的前因后果，明白了證明對(duì)于命題的重要性，初學(xué)時(shí)的困惑大大減少，學(xué)習(xí)成績(jī)也有明顯的提升.

更重要的是，這種第一課的講授方式還會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神和嚴(yán)謹(jǐn)理念，讓學(xué)生了解到萬事萬物發(fā)展過程中都會(huì)遇到問題和危機(jī)，這些危機(jī)大多都是“認(rèn)識(shí)危機(jī)”，也正是這些觸及根本的危機(jī)帶來了跨越性發(fā)展和本質(zhì)性提高.讓學(xué)生明白已有的知識(shí)、結(jié)果、方法并非是終極真理，數(shù)學(xué)也一直在向前發(fā)展，為之后獨(dú)立思考和大膽創(chuàng)新打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

致謝作者非常感謝審稿人提出的問題和建議，感謝參考文獻(xiàn)所提供的優(yōu)質(zhì)素材和啟發(fā)，本文是作者團(tuán)隊(duì)在前人豐富研究成果的基礎(chǔ)之上所得.