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        “擺球推方塊”模型中二者分離位置的數(shù)理分析

        2021-07-09 10:01:40張邦忠
        物理教師 2021年6期
        關鍵詞:輕桿擺球方塊

        李 力 高 遠 張邦忠

        (1. 重慶市清華中學,重慶 400054; 2. 重慶市實驗中學,重慶 401320)

        在中學物理教學中,常見如下“擺球推方塊”模型:[1]如圖1所示,長為L的輕桿上端固定一質量為m的小球A(可視為質點),桿的下端用鉸鏈固接于水平面上的O點,置于同一水平面上質量為M的立方塊B恰與A接觸。今有微小擾動使桿向右傾倒,從而擺球推著方塊向右運動.若不計各處摩擦,試問擺球與方塊在何處分離?

        圖1

        通常憑直覺會判斷出,二者分離瞬間輕桿轉過的角度θ應該與方塊、小球質量比k=M/m有關,而且質量比越大時,即越輕的小球推越重的方塊,推動會越困難,所以分離位置應該越滯后.本文將通過數(shù)理分析得到它們之間的定量關系,最后探討與之緊密相關的3個結論及其物理意義.

        假設經(jīng)一段時間,二者位形如圖2所示.由速度關聯(lián)和機械能守恒定律分別得

        vAcosθ=vB.

        (1)

        (2)

        令k=M/m,則解得

        (3)

        圖2

        二者分離時方塊速度vB最大,從而vB2達到最大.為簡便計,可等價考慮以下函數(shù)f(θ)的最值:

        (4)

        kcos3θ+3cosθ-2=0.

        (5)

        圖3

        現(xiàn)在研究分離時輕桿對小球的作用力F.首先,通常輕桿對小球的作用力未必沿桿,但本問題中此力必然沿桿方向,原因是:對輕桿考慮對轉軸的轉動定律,0轉動慣量(值為0)乘以有限的角加速度(可以為0)等于為0的外力矩,從而球對桿的作用力必然通過轉軸沿桿方向,再由牛頓第三定律知桿對小球的作用力沿桿.換言之,如果小球對桿的作用力不沿桿方向,則外力矩不為0,在不計轉動慣量的輕桿上會產(chǎn)生與實際不符的無窮大角加速度.

        其次,由于分離瞬間方塊加速度為0,從而小球的水平加速度也為0.另一方面,小球所受重力豎直向下,如果沿桿方向輕桿對小球作用力不為0,則水平方向必有其分力,故水平加速度不可能為0,這個矛盾說明分離瞬間必有F=0.由以上分析不難判斷出“在分離之前輕桿向外頂小球,之后向內(nèi)拉小球”.這樣可得結論3:“無論質量比k與分離角度θ如何,分離時桿對小球的作用力F均為0”.

        分離位置以后,方塊以分離瞬間速度水平向右勻速前進,小球繼續(xù)沿圓弧下擺,其水平速度一直減小直至豎直落地時水平速度為0,可見分離位置之后二者完全分開沒有接觸.

        (6)

        從(6)式也可看出k→∞時有θ→π/2.(5)式和(6)式其實是分離角度θ與質量比k之間函數(shù)關系的兩種顯式表達和一種隱式表達,它們彼此是等價的.

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