石永飛

如果問從事教學(xué)工作的一線教師最大的愿望是什么，那回答無非是希望我們的學(xué)生能在課堂上大膽質(zhì)疑，師生互動、生生互動活躍，學(xué)生積極回答教師提出的問題，教學(xué)取得滿意的效果。這當(dāng)然是一種美好的愿望，但實際情況并不如教師希望的那樣。教師有時精心準(zhǔn)備了一節(jié)課，學(xué)生的表現(xiàn)卻不盡如人意。學(xué)生或者一言不發(fā)，或者答非所問，課堂上意外的狀況不斷。有時明明是教師自我感覺良好的一節(jié)課，學(xué)生的作業(yè)情況卻錯誤百出。這時，教師可能就會斥責(zé)學(xué)生：做這么簡單的題目還會出錯，你上課時到底是在干什么？你的學(xué)習(xí)狀態(tài)真令人失望！……確實，教師付出的辛勞沒有得到回報，有時可能會有點兒失望。其實從發(fā)展的角度來看，犯錯誤原本就是學(xué)生特有的權(quán)利。學(xué)習(xí)本來就是以問題解決為導(dǎo)向的復(fù)雜的思維和互動過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)動機最初產(chǎn)生于“學(xué)習(xí)困境”。恩格斯說過：“要明確地懂得理論，最好的道理就是從本身的錯誤中，從親身經(jīng)歷的痛苦體驗中去學(xué)習(xí)。”華羅庚曾經(jīng)也說過：“天下只有啞巴沒有說過錯話；天下只有白癡沒有想錯過問題；天下沒有數(shù)學(xué)家沒算錯過題的?！奔热诲e誤在所難免，錯誤又是難得的教學(xué)資源，那就讓我們有效利用錯誤資源，充分發(fā)揮生成性錯誤資源的價值，學(xué)生也會在錯誤的體驗中成長起來的。

一、生成性錯誤資源的成因與教學(xué)價值

作為一線教師，總是千方百計避免學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生錯誤，但錯誤總是不約而至。究其原因，小學(xué)生的知識背景、思維方式、情感體驗和成人有很大的不同，所以他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中難免會出現(xiàn)各種各樣的錯誤。錯誤作為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的相伴產(chǎn)物是難以避免的。

（一）真探究引發(fā)的錯誤

在新課程的大背景下，新課堂呼喚學(xué)生的“自主、合作、探究”，而真探究必然伴隨大量差錯的生成。比如，我在最近的教研課“扇形統(tǒng)計圖”的教學(xué)中，為學(xué)生提供了這樣一道題：請根據(jù)小華家兩天消費的各類食物所占百分比的扇形統(tǒng)計圖，選擇比較合理的飲食搭配方案。第一次我教學(xué)這道題時，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)爭論時，我馬上進(jìn)行了提示，問題很快得到了解決?？晌医o聽課教師留下的印象卻是在教學(xué)中牽著學(xué)生的鼻子走，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性并沒有發(fā)揮出來，學(xué)生并沒有弄懂扇形統(tǒng)計圖的特點。于是我在第二次教學(xué)這道題時進(jìn)行了調(diào)整，當(dāng)學(xué)生又出現(xiàn)爭論時，沒有進(jìn)行提示，反而問了學(xué)生這樣一個問題：“在日常生活中，當(dāng)你們碰到爭執(zhí)不下的問題時，都是怎么處理的？”學(xué)生的思路被打開，在回憶過往經(jīng)歷的過程中想到了各種辦法，有的學(xué)生甚至產(chǎn)生“少數(shù)服從多數(shù)”的荒謬想法。可見真探究會花費更多的時間，甚至還要走上一段彎路，但學(xué)生經(jīng)歷了波折，學(xué)習(xí)的感受會更為深刻。

（二）假學(xué)習(xí)導(dǎo)致的錯誤

學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生錯誤也跟學(xué)習(xí)狀態(tài)有關(guān)。隨著年級增高，虛假學(xué)習(xí)和淺表學(xué)習(xí)的學(xué)生越來越多，學(xué)生缺少深度思考，人云亦云。例如，在學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)問題時，很多學(xué)生碰到諸如“甲比乙高10%，那乙就比甲矮10%”的判斷題時主觀認(rèn)為是對的。很顯然，學(xué)生受到原來比多少知識的影響，產(chǎn)生了思維定式。學(xué)生缺少深度思考，沒有考慮到單位“1”變化的實際情況。再如水、電表讀數(shù)的問題，出租車、電話費的計費問題等，都和實際生活有密切關(guān)系。要解決這些問題，需要學(xué)生靜下心來深入實際調(diào)查研究，以利于問題的解決。但很多學(xué)生根本就沒看懂題意，又沒做實際的研究，盲目做題，自然就會產(chǎn)生錯誤。

凡此種種，都是學(xué)生虛假學(xué)習(xí)和淺表學(xué)習(xí)的表現(xiàn)。其負(fù)面作用是束縛學(xué)生的思維，使得學(xué)生容易自我滿足，在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生各種各樣的錯誤。

學(xué)生雖然在認(rèn)知過程中出現(xiàn)了種種偏差和失誤，但這是一種真切發(fā)生在學(xué)生身邊，學(xué)生自己“創(chuàng)造”出來的寶貴的教學(xué)資源。全國知名教師葉瀾說：“學(xué)生在課堂活動中的狀態(tài)，包括他們的學(xué)習(xí)興趣、積極性、注意力，學(xué)習(xí)方法和思維方式，合作能力與質(zhì)量，發(fā)表的意見、建議、觀點，提出的問題與爭論，乃至錯誤的回答等，無論是以言語，還是以行為、情緒方式表達(dá)，都是教學(xué)過程中的生成性資源?！彼赃@種即時生成的學(xué)習(xí)錯誤同樣是一種有價值的教學(xué)資源。作為教師，不僅要幫助學(xué)生改正學(xué)習(xí)錯誤，更要善于利用學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤，讓錯誤資源發(fā)揮最大的功效。

二、生成性錯誤資源的類型與特征

既然錯誤是一種不期而至的生成性資源，那么教師就不能拒絕錯誤，更不能掩飾錯誤。我們可以查找一下錯誤產(chǎn)生的緣由，以便更好地改正錯誤，減少錯誤的發(fā)生。根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)能力的差異，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯誤可以分為以下兩種類型。

（一）不良學(xué)習(xí)習(xí)慣下的非理解性錯誤

非理解性錯誤主要表現(xiàn)在學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不嚴(yán)謹(jǐn)，粗枝大葉。審題時沒看清題意，漏掉關(guān)鍵條件；字跡潦草，把數(shù)抄錯了；習(xí)慣口算，不重視筆算，計算中出現(xiàn)錯誤……甚至有些學(xué)生根本不思考，隨意猜測而造成的無為之錯等。這些都是無心之錯，與某些學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣有關(guān)。有些學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不夠?qū)Ｐ?，注意力不夠集中，沒有時間管理意識，甚至屢次出現(xiàn)時間不夠用的情況，從而導(dǎo)致答題效率低下，在解一些本該答對的基本題時都會出現(xiàn)錯誤。

（二）知識遷移過程中的理解性錯誤

理解性錯誤是指學(xué)生對概念沒有達(dá)到理解水平而導(dǎo)致的錯誤。表現(xiàn)形式為概念辨析錯誤、概念混淆錯誤和概念排斥錯誤。其原因在于學(xué)生沒有建立概念的意義和概念間的聯(lián)系，沒有做好認(rèn)知準(zhǔn)備，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，由于主觀認(rèn)識的偏差或者對新、舊知識的聯(lián)系和關(guān)系認(rèn)知不夠準(zhǔn)確而造成的。學(xué)習(xí)心理指出，任何學(xué)習(xí)都存在遷移現(xiàn)象，而根據(jù)遷移的影響效果，分為正遷移和負(fù)遷移，而理解性錯誤正是負(fù)遷移造成的結(jié)果。學(xué)生對數(shù)學(xué)先入為主的想法會阻礙他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

三、生成性錯誤的使用策略

福建師范大學(xué)教授余文森曾說過：“教學(xué)的精彩不應(yīng)是教師的精彩，而應(yīng)是學(xué)生的精彩?！碑?dāng)學(xué)生的錯誤暴露出來以后，作為教師，要善于為學(xué)生營造探討問題的環(huán)境。讓學(xué)生在融錯、化錯的過程中強化數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)，從而在情感上喜歡數(shù)學(xué)。當(dāng)然，為了節(jié)省時間，對于個別學(xué)生的錯誤，我們應(yīng)該單獨利用時間幫助學(xué)生糾正錯誤。而對于學(xué)生普遍性的錯誤，作為教師，我們應(yīng)該鼓勵學(xué)生主動把錯誤暴露出來，通過集體的智慧，探尋解決問題的方法。

（一）在反思中減少錯誤

很多時候，學(xué)生犯的都是低級錯誤，都是由于粗心造成的。比如，計算錯誤、漏條件、沒找準(zhǔn)關(guān)鍵詞……這些錯誤都是非理解性的錯誤，即便是這樣的錯誤，有些學(xué)生也看不出來。對于這樣的錯誤，我常常通過視頻展臺把學(xué)生的作業(yè)展示出來，再讓其他學(xué)生一起幫忙找錯誤。學(xué)生你一言我一語，錯誤一會兒就被找出來了。就連寫了錯別字、答句寫得過于簡略等細(xì)小的問題都被找了出來。接著，我往往會補上一句：“這個學(xué)生為什么會犯這樣的錯誤？你覺得需要提醒他（她）做點兒什么嗎？”學(xué)生往往會說出一大堆的注意點。比如，計算完了要檢驗，審題時把關(guān)鍵詞圈起來，畫個圖幫助理解之類。這不但幫助了犯錯的學(xué)生，其實對所有的學(xué)生都能起到很好的提醒作用。通過反思，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)許多錯誤是完全可以避免的。學(xué)生就會慢慢養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有效減少錯誤的發(fā)生。

（二）在爭辯中化解錯誤

有時讓學(xué)生幫助糾正錯誤，不同的學(xué)生還能從不同的角度指出錯誤，起到意想不到的學(xué)習(xí)效果。學(xué)生發(fā)言中迸發(fā)出智慧的火花，能給人很好的啟迪，從而幫助學(xué)生更好地化解錯誤。比如，有道題要求學(xué)生選擇合適的單位填空。題目是這樣的：一張課桌的面積是44（）。有一個學(xué)生填寫的單位是平方米，卻不明白自己為何錯了。于是我讓學(xué)生來討論填這個單位是否合理。有學(xué)生說：“我們原來學(xué)過邊長是1米的正方形大小為1平方米。一張課桌有44平方米，顯得太大了。”也有學(xué)生說：“從下面一題‘一間教室的占地面積是48平方米，也可以推算出來一張課桌是44平方米是錯的。如果一張課桌的面積是44平方米，那么一間48平方米的教室里就只能放一張課桌了?！边@樣的回答太直觀、太有說服力了！學(xué)生的精彩回答使那名學(xué)生馬上認(rèn)識到填“平方米”是錯誤的，只能在平方分米和平方厘米中間選一個。接著再集體回顧一下1平方分米和1平方厘米面積的大小，該生最終認(rèn)識到只有填“平方分米”才是合理的。學(xué)生從不同角度幫助分析錯題，他們在討論中經(jīng)歷了再學(xué)習(xí)的過程，不知不覺中把過去遺忘的知識復(fù)習(xí)了一遍。

（三）在應(yīng)用中消融錯誤

課堂教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)實際情況，不斷調(diào)整自己的教學(xué)行為，敏銳把握不期而至的生成性教學(xué)資源。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)了一些錯誤的觀點和結(jié)論時，教師應(yīng)該耐心引導(dǎo)學(xué)生對自己的觀點進(jìn)行表述和解釋。學(xué)生在思想的碰撞中生成智慧，演繹出不曾預(yù)約的精彩。比如，有道題告訴我們?nèi)切蔚拿娣e是9平方厘米，底是3厘米，求高是多少厘米。很多學(xué)生列式為9÷3=3（厘米），得出高為3厘米。雖然有個別學(xué)生提出反對意見，但大部分學(xué)生表示同意。這時我也不急著揭曉答案，而是讓學(xué)生驗證一下答案的準(zhǔn)確性。學(xué)生把高為3厘米代入三角形面積計算公式，結(jié)果發(fā)現(xiàn)算得的三角形的面積為4.5平方厘米，只有原條件9平方厘米的一半。顯然高是3厘米是不合適的。我隨即問：“那你們覺得高是多少厘米是合適的？”學(xué)生直觀感覺應(yīng)該是6厘米。學(xué)生再次驗證，發(fā)現(xiàn)這個結(jié)果是正確的?！澳闶窃趺聪氲降?？”我繼續(xù)追問。有學(xué)生答道：“我是這樣想的，求三角形的面積是用底×高÷2，所以求高就用三角形的面積÷底×2?！睂W(xué)生的解釋似乎無懈可擊。這時，我進(jìn)一步問：“你能解釋一下這樣列式的理由嗎？”學(xué)生答不上來。于是我又問：“剛才我們用三角形的面積直接除以底，求得了高的一半，這個能通過畫圖解釋一下嗎？”學(xué)生通過畫圖發(fā)現(xiàn)把三角形轉(zhuǎn)化成底不變、高只有一半的平行四邊形就可以解釋了?！凹热磺笕切蔚母咝枰玫脚c三角形等底的平行四邊形，你還能想到怎樣求三角形的高？”我趁熱打鐵問。學(xué)生很自然地想到需要把三角形的面積乘2，算出與三角形等底等高的平行四邊形的面積，再除以底就可以求出高了?！澳侨绻廊切蔚拿娣e和高求底呢？”我進(jìn)一步問。學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)還得求出與三角形等底等高的平行四邊形的面積?？梢?，有時教師不急于糾正錯誤，等學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)矛盾時自行尋找解決辦法，通過實際應(yīng)用，反而能消融錯誤，達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果。

（四）在變換中改正錯誤

有時候我們在改正錯誤的時候，還可以生發(fā)出去，通過變式練習(xí)鞏固所學(xué)的知識。

比如，有道判斷題是這樣的：三角形的面積是平行四邊形的一半。有相當(dāng)一部分學(xué)生認(rèn)為是對的。我讓學(xué)生自己來判定對錯。有一名學(xué)生舉例：“一個三角形很大，一個平行四邊形很小，三角形的面積就不是平行四邊形面積的一半?！笔艿竭@名學(xué)生的啟發(fā)，馬上有一名學(xué)生發(fā)言：“一個三角形很小，另一個平行四邊形很大，三角形的面積也不是平行四邊形的一半?！苯?jīng)大家舉例，這道判斷題很容易判斷出對錯。接著我又問：“那這道題怎么改就是對的？”有學(xué)生說：“三角形是由兩個同樣的三角形拼成的平行四邊形面積的一半?！保ㄒ呀?jīng)說到點子上了，但還不夠簡潔）“那這個三角形和這個平行四邊形有什么關(guān)系呢？”學(xué)生回答：“等底等高?！薄澳沁@句話還可以怎么說呢？”這時學(xué)生很自然能得出結(jié)論：三角形的面積是等底等高的平行四邊形面積的一半。顯然三角形的面積是平行四邊形的一半是有前提的。這時我又追問：“如果老師說三角形的面積可能是平行四邊形的一半，對不對呢？”這時學(xué)生都說“對”，學(xué)生這次牢牢抓住了判斷句中的“可能”兩字。學(xué)生在反復(fù)的辨析中抓住了關(guān)鍵點，從而掌握真知，改正錯誤。

由此可見，錯誤是一種寶貴的教學(xué)再生資源。錯誤總是和真理不可分割地聯(lián)系在一起的。我們應(yīng)該讓學(xué)生在自然狀態(tài)下探究，給學(xué)生出錯的時空，甚至可以促進(jìn)差錯的生成。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤時，教師不要急于糾正錯誤，而是充分發(fā)揮學(xué)生的集體智慧，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生。

當(dāng)然，上面講到的都是生源性錯誤，也有一些是師源性錯誤，教師也要盡量避免。我的同事備課相當(dāng)精到，考慮到了方方面面。比如，在教學(xué)“多邊形面積”這一單元時，讓學(xué)生熟記面積計算公式，甚至總結(jié)出了求常見多邊形高和底的計算公式，讓學(xué)生爛熟于心，確實也減少了錯誤的發(fā)生。我曾有過猶豫：要不要也這樣做？考慮再三，我覺得還是讓錯誤“見見光”吧！我相信錯誤資源只要運用得當(dāng)，同樣能成為學(xué)生探究真知的深度學(xué)習(xí)的過程。只要我們善于融錯、化錯，我們的課堂也會因差錯的存在而變得更具有生命力！

參考文獻(xiàn)：

[1]陳靜靜.學(xué)習(xí)共同體（走向深度學(xué)習(xí)）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.

[2][英]Robert Fisher.教學(xué)生學(xué)會思考[M].冷璐，譯.北京：中國輕工業(yè)出版社，2020.