許 瑤,凌 智

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

蚊蟲等媒介昆蟲引起的傳染病對(duì)人類造成了極大威脅．1911年英國(guó)微生物學(xué)家Ross博士通過建立一個(gè)連續(xù)的微分方程模型[1]研究瘧疾在蚊蟲和人群中傳播的動(dòng)力學(xué)行為,開啟了蚊媒傳染病數(shù)學(xué)模型的研究．近年來,隨著“一帶一路”倡議的不斷推進(jìn),帶來了全球化和經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展,同時(shí)也對(duì)新時(shí)期蚊媒傳染病的防控造成了挑戰(zhàn)．相對(duì)于醫(yī)療水平的提高,研究蚊媒傳染病的傳播機(jī)制可以從源頭減少疾病的發(fā)生．?dāng)?shù)學(xué)模型的分析作為一種主要研究方法,在預(yù)測(cè)、控制甚至消除疾病等方面發(fā)揮著重要作用．例如,Cunha等[2-3]對(duì)黃熱病和寨卡病毒進(jìn)行相關(guān)研究;Polwiang[4-5]、丁亮[6]和王藝瑋[7]等針對(duì)登革熱疫情進(jìn)行系列研究,而這些都是由埃及伊蚊作為媒介引發(fā)的傳染病;因此,對(duì)蚊蟲動(dòng)力學(xué)的研究具有現(xiàn)實(shí)意義,可以幫助人們了解在特定環(huán)境下蚊蟲的動(dòng)力學(xué)行為,為相關(guān)醫(yī)療人員制定適當(dāng)?shù)目刂撇呗蕴峁├碚撘罁?jù)．

本文主要研究在有開放河流的區(qū)域中蚊蟲繁殖與擴(kuò)散的動(dòng)力學(xué)模型:

(1)

1 比較原理

為了得到解的存在唯一性,引入針對(duì)問題(1)的上下解定義．記Du,T=R×(0,T),Du,T∪ΓT=R×[0,T),Dv,T=Ω×(0,T),Dv,T∪ΓT=Ω0×[0,T),Ω={(x,y):x∈R,y>0},Ω0={(x,y):x∈R,y≥0}．

(2)

2 解的存在唯一性

的解有界．

證明 記方程組的解為u*(x,t),有

(3)

顯然,問題

(4)

證明 分三步完成證明．

1)近似解．類似文獻(xiàn)[9]中證明過程,有

(5)

(6)

從vn-1(n=1)>0開始,不難看出方程組(5)和(6)每一步都可解,且un,vn非負(fù)．下面重點(diǎn)討論方程組(5)．

(7)

(8)

3)收斂性．在步驟(2)的基礎(chǔ)上取p>N+1,通過Morrey不等式可以得到(un)n,(vn)n關(guān)于Cα(0<α<1)的模也是一致有界的．通過Schauder估計(jì),它們對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和空間二階導(dǎo)數(shù)在緊集上一致H?lder連續(xù),所以(un,vn)n收斂于(u,v),得到limn→+∞(un,vn)=(u,v)．由步驟(1)可知(u,v)是非負(fù)有界的．

綜上所述,解的存在唯一性得證．

3 解的長(zhǎng)時(shí)間行為

引理5如果b>γm+a,那么方程組

(9)

證明 該證明與文獻(xiàn)[10]中定理4.6的證明過程類似,此處省略．

定理6設(shè)(u,v)是方程(1)的唯一解,如果b>γm+a,β/μ=u*,那么(u,v)滿足limt→+∞(u(t,x),v(t,x,y))→(u*,1)．

4 數(shù)值模擬分析

選取參數(shù)a=0.4,b=0.5,m=0.4,μ=0.5,β=0.4,γ=1/12,使其滿足定理6中條件;D=10,d=100,即蚊蟲在田野上的擴(kuò)散速度比河流快;Lx=200,Ly=100,σ=25;步長(zhǎng)Δx=Δy=1 m,Δt=0.001 d;考察5 000次迭代,即t≤5 d;初始條件為

其中δ=0.5．

圖1和圖2分別表示隨著時(shí)間變化河流和田野區(qū)域中蚊蟲的密度分布．不難看出,如果時(shí)間取得足夠大,蚊蟲的密度將趨向于穩(wěn)定的數(shù)值,即limt→∞(u,v)→(β/μ,1)=(0.8,1),從而驗(yàn)證了定理6的結(jié)論．

圖1 預(yù)設(shè)參數(shù)值下河流蚊蟲在不同時(shí)刻的密度分布Fig.1 Density distribution of mosquitoes at different time points on the river under preset parameters

(a)t=0.0 d (b)t=2.0 d (c)t=3.5 d (d)t=5.0 d圖2 預(yù)設(shè)參數(shù)值下田野蚊蟲在不同時(shí)刻的密度分布Fig.2 Density distribution of mosquitoes at different time points in the field under preset parameters