俞立超,李立斌

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

張量范疇是現(xiàn)今數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向,而融合范疇正是現(xiàn)今張量范疇研究的一個(gè)重要方向．Wasserman[1]確定了對(duì)稱融合范疇的Drinfeld中心;董井成等[2]研究了秩為4的非平凡分次自對(duì)偶融合范疇,并對(duì)這個(gè)范疇上的Grothendieck環(huán)進(jìn)行了分類;王志華等[3]討論了融合環(huán)上的廣義Cartan矩陣．自2003年Siehler[4]提出近群融合范疇的概念以來,國內(nèi)外關(guān)于近群融合范疇已有許多研究成果．Evans等[5]討論了近群融合范疇上的對(duì)偶;董井成等[6]刻畫了近群融合范疇的結(jié)構(gòu),并對(duì)其進(jìn)行了分類;苑呈濤等[7]給出了可范疇化的近群融合環(huán)K(Z3,3)上的所有不可分解Z+-模;Tucker[8]提出近群融合環(huán)上Frobenius-Schur指數(shù)的概念．若一個(gè)環(huán)具有Z+-基S,且對(duì)于任意g,h∈G,S中一個(gè)固定的元X滿足以下融合規(guī)則:g·h=gh;g·X=X·g=X;X2=∑g∈Gg+nX,其中G為S中所有可逆元構(gòu)成的有限群,n為給定的非負(fù)整數(shù),則稱該環(huán)為近群融合環(huán),記為K(G,n)．本文主要計(jì)算近群融合環(huán)K(G,n)的Casimir數(shù),并給出復(fù)數(shù)域C上近群融合代數(shù)A=K(G,n)?ZC上所有互不同構(gòu)的不可約表示．

1 預(yù)備知識(shí)

引理1設(shè)G是一個(gè)群,(V,ρ)是群G的不可約非平凡表示,則有∑g∈Gρ(g)=0．

證明 若dimV=1．由于(V,ρ)是非平凡表示,則存在g0∈G,λ≠1使得ρ(g0)=λ．注意到(ρ(g0)-1)∑g∈Gρ(g)=∑g∈Gρ(g)-∑g∈Gρ(g)=0,且ρ(g0)-1=λ-1在復(fù)數(shù)域上存在逆元,故∑g∈Gρ(g)=0．

2 主要結(jié)果

(1)

(2)

推論4K(G,n)?ZC是半單代數(shù)．

證明 根據(jù)定理3可得,K(G,n)?ZC的Casimir數(shù)不為0,因此由Higman定理[11]知,K(G,n)?ZC是半單代數(shù)．

定理5上述構(gòu)造出的(W,γ)是A的表示．

證明 根據(jù)上述構(gòu)造方式,易驗(yàn)證(W,γ)一定是CG表示,所以為了判斷(W,γ)是否是A的表示只須驗(yàn)證γ(Xg)=γ(X)γ(g)=γ(g)γ(X)=γ(X),?g∈G;γ(X2)=γ(∑g∈Gg+nX)．

定理6設(shè)(V,ρ)是G的一個(gè)不可約表示,A=K(G,n)?ZC且(W,γ)是上述構(gòu)造出的一個(gè)A的表示,則(W,γ)是A的不可約表示．

證明 若(W,γ)存在非平凡子表示(N,γ|N),則(N,γ|N)滿足A作用封閉,即G作用封閉．由于(W,γ)可自然看作G的表示,從而作為G的表示,有(W,γ)=(V,ρ),即(N,γ|N)是(V,ρ)的子表示,這與(V,ρ)是G的不可約表示矛盾．

設(shè){(V1,ρ1),(V2,ρ2),…,(Vs,ρs)}是CG上的互不同構(gòu)的不可約表示,其中(V1,ρ1)是平凡表示．由(V1,ρ1)構(gòu)造的2個(gè)A的不可約表示記作(W0,γ0)和(W1,γ1),由(Vi,ρi)(i≥2)構(gòu)造的A的不可約表示記作(Wi,γi)．

定理7設(shè)A=K(G,n)?ZC且群G的互不同構(gòu)表示為{(V1,ρ1),(V2,ρ2),…,(Vs,ρs)},則A的所有互不同構(gòu)的不可約表示就是{(W0,γ0),(W1,γ1),(W2,γ2),…,(Ws,γs)}．