曾 春， 李云飛

(西華師范大學 數(shù)學與信息學院， 四川 南充 637009)

0 引言

隨著社會的不斷進步，人們對產(chǎn)品的質(zhì)量要求越來越高，在高可靠性產(chǎn)品的可靠性試驗中，往往沒有樣品失效，獲得的數(shù)據(jù)稱為無失效數(shù)據(jù)，而無失效數(shù)據(jù)一般不適用于經(jīng)典的數(shù)理統(tǒng)計方法，通常采用Bayes方法處理這些數(shù)據(jù)[1-2].

1 模型假設

可靠性壽命試驗中的截尾試驗一般有定時截尾和定數(shù)截尾兩類，由于定數(shù)截尾試驗可以得到比較多的失效數(shù)據(jù)，而無失效數(shù)據(jù)通常出現(xiàn)在定時截尾試驗中，所以本文將在定時截尾試驗下進行討論[12].

設產(chǎn)品壽命T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布exp(λ),對應分布函數(shù)為

隨機抽取S個樣品，分為m組，分別進行定時截尾試驗，對應截尾時間為ti(i=2,3,…,m),試驗樣品數(shù)分別為ni,所有樣品在試驗結束之前無一失效.由此，得到一組無失效數(shù)據(jù)(ti,ni).

綜上，模型可做以下假設：

1)當t0=0時，產(chǎn)品的失效概率p0=P(T≤0)=F(0)=0；

3)0=t0ti)為t=ti時的可靠度，則有0=p0

文獻[8]中，取p2先驗分布的核為(1-p2)2,利用指數(shù)分布的無記憶性和凸性得到Ri(i=2,…,m)的取值范圍和先驗分布分別為

2 可靠度Ri的估計

為了更好地利用指數(shù)分布的無記憶性，假設定時截尾時間是等間隔的，即

t2-t1=t3-t2=…=tm-tm-1=t.

2.1R1的估計

在無失效數(shù)據(jù)場合，當t=t1時，有S1個樣品未失效，取失效概率p1的估計為[8]

由此得到R1的估計為

2.2 Ri(i=2,3,…,m)的估計

由于F″(t)=-λ2exp(-λt)(t>0)恒小于0，所以F(t)是關于t的凸函數(shù).由凸函數(shù)的性質(zhì)，

引理1取p2的減函數(shù)(1-p2)2作為p2的先驗分布的核，則Ri(i=2,3,…,m)的先驗分布為

證明取p2的減函數(shù)(1-p2)2作為p2的先驗分布，則p2的先驗分布為

由于R2=1-p2,所以R2的先驗分布為

其中，

因為指數(shù)分布具有無記憶性這一特征，所以

同理，根據(jù)指數(shù)分布的無記憶性可以得到

Ri=1-pi=P(T>ti)=P(T>ti-1)R(t),

根據(jù)引理1所求得的Ri的先驗分布，Ri的似然函數(shù)以及Bayes定理，可得Ri的后驗分布為

則在平方損失下，Ri的Bayes估計為：

3 參數(shù)λ的最小二乘估計

設產(chǎn)品壽命T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布exp(λ)時，產(chǎn)品在當t=ti時的可靠度可表示為Ri=P(T>ti)=exp(-λti),左右兩邊取對數(shù)，并變號可得

-lnRi=λti,

-lnRi=λti+εi,

令yi=-lnRi,利用加權最小二乘法，使得

值達到最小，其中

可得λ的估計為

由此可得平均壽命θ的估計為

任意時刻t的可靠度估計為

4 算例分析

本文選用文獻[8]的試驗數(shù)據(jù)，如表1所示.

表1 某可靠性試驗的無失效數(shù)據(jù)

表2 可靠度估計結果

接下來，通過比較誤差平方和驗證本文提出的改進方法.趙海兵等[8]提出的方法得到的誤差平方和為2.854 864 37×10-4,而本文提出的方法得到的誤差平方和為3.762 956 49×10-6.可以看出，與趙海兵等[8]提出的方法相比，利用本文提出的方法得到的誤差平方和更小，估計精度提高了98.68%.

5 結論

采用Bayes方法，最關鍵的是確定先驗分布，本文充分利用指數(shù)分布的凸性和無記憶性，在文獻[8]的基礎上修正了可靠度Ri(i=2,3,…,m)的取值上界，從而進一步修正了可靠度Ri(i=2,3,…,m)的先驗分布，得到可靠度Ri及平均壽命θ的估計.最后通過對實際數(shù)據(jù)進行計算、分析、比較，驗證了本文提出的修正方法的合理性和可行性，同時也證明了本文提出的方法提高了可靠度估計的精度.