唐 鵬 飛

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 四川 成都 610066)

0 引言

粗糙集理論是不確定性分析與智能計(jì)算的有效數(shù)學(xué)工具[1]，已被廣泛應(yīng)用于屬性約簡(jiǎn)[2-3]、知識(shí)發(fā)現(xiàn)[4-5]、規(guī)則推導(dǎo)[6]等領(lǐng)域.其對(duì)于數(shù)據(jù)表的不確定性度量是一個(gè)重要的研究主題.針對(duì)經(jīng)典決策表，近似粗糙度[1]、知識(shí)粒度[7-8]、條件信息熵[9]是刻畫其不確定性的基本測(cè)度與有效手段.然而，除了經(jīng)典決策表，實(shí)際中還存在區(qū)間集決策表[10].區(qū)間集決策表是經(jīng)典決策表的一種擴(kuò)展，其屬性值為兩個(gè)精確集(即用上下邊界集來(lái)描述一個(gè)不確定概念)，從而具有更好的不確定性刻畫能力，當(dāng)前具有相關(guān)研究及成果.例如，文獻(xiàn)[11]根據(jù)區(qū)間分析中的區(qū)間數(shù)，將區(qū)間集概念引入到粗糙集中來(lái)表示不確定信息；文獻(xiàn)[12]基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系，給出四種基于粒度度量的區(qū)間集信息表的不確定性度量；文獻(xiàn)[13]將區(qū)間集引入到概率粗糙近似中，研究了區(qū)間集概率粗糙集的單調(diào)性；文獻(xiàn)[14]基于區(qū)間δ-相似關(guān)系，研究區(qū)間集信息表的不確定性度量.特別地，文獻(xiàn)[15]將經(jīng)典決策表的近似粗糙度與條件信息熵方法拓展到區(qū)間集決策表，提出δ-區(qū)間近似粗糙度與δ-區(qū)間決策條件熵方法.但這兩種方法存在以下兩方面的不足：一是δ-區(qū)間近似粗糙度缺乏對(duì)負(fù)域信息的刻畫，導(dǎo)致計(jì)算出的不確定性偏大；二是采用δ-區(qū)間決策條件熵計(jì)算得到的不確定性度量值反而比考慮一種因素的不確定性度量值小，不符合常理.

本文對(duì)文獻(xiàn)[15]的兩個(gè)不足進(jìn)行改進(jìn).首先提出一種同時(shí)刻畫正域、負(fù)域信息變化的δ-區(qū)間改進(jìn)近似粗糙度；然后將δ-區(qū)間改進(jìn)近似粗糙度變形與δ-條件信息熵進(jìn)行求和，提出一種修正δ-區(qū)間決策條件熵方法，并得到?；瘑握{(diào)性等性質(zhì)；最后通過(guò)一個(gè)實(shí)例對(duì)本文所提方法進(jìn)行有效驗(yàn)證.相關(guān)工作將深化文獻(xiàn)[15]的結(jié)果.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

本節(jié)通過(guò)文獻(xiàn)[15]復(fù)習(xí)區(qū)間集決策表的相關(guān)知識(shí)和分析其現(xiàn)有不確定性度量方法的不足.

1.1 區(qū)間集決策表

表1 區(qū)間集決策表[15]

在區(qū)間集決策表中，條件屬性子集B?C及閾值δ∈[0,1]誘導(dǎo)相似關(guān)系：

1.2 區(qū)間集決策表現(xiàn)有的不確定性度量方法

定義2[15]決策類Dh關(guān)于B的下、上近似集別為

決策分類πD關(guān)于B的δ-區(qū)間近似精度與δ-區(qū)間近似粗糙度分別為

(1)

定義2采用雙近似構(gòu)建了δ-區(qū)間近似精度與δ-區(qū)間近似粗糙度，其中δ-區(qū)間近似粗糙度直接描述近似分類的不確切性，其本質(zhì)是計(jì)算下近似集基數(shù)與上近似集基數(shù)之比，不僅缺乏對(duì)負(fù)域信息變化的刻畫能力，導(dǎo)致計(jì)算出的不確定性度量值偏大，而且對(duì)?；Y(jié)構(gòu)的變化也不敏感.文獻(xiàn)[15]接著對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)，即將其與δ-條件信息熵進(jìn)行信息融合，提出了δ-區(qū)間決策條件熵方法.

定義3[15]基于B?C的δ-條件信息熵為

δ-區(qū)間決策條件熵為

(2)

這樣，當(dāng)集成兩種影響因素所得到的不確定性度量值，反而小于單個(gè)影響因素產(chǎn)生的不確定度量值，顯然不符合常理.

命題2[15]1)A?B?IDHδ(D|B)≤IDHδ(D|A);

2)0≤δ1≤δ2≤1?IDHδ2(D|B)≤IDHδ1(D|B);

基于以上分析可以看出，文獻(xiàn)[15]提出的不確定性度量存在以下兩個(gè)問(wèn)題：一是δ-區(qū)間近似粗糙度缺乏對(duì)負(fù)域信息的刻畫，導(dǎo)致計(jì)算出的不確定性度量值偏大；二是δ-區(qū)間粗糙度與δ-區(qū)間條件信息熵融合后所得到的不確定性度量值反而比單個(gè)影響因素產(chǎn)生的不確定度量值小，不符合常理.因此，本文主要對(duì)以上兩個(gè)不足進(jìn)行改進(jìn).

2 區(qū)間集決策表的不確定性度量

針對(duì)上一節(jié)提出的兩個(gè)不足，本節(jié)首先對(duì)δ-區(qū)間近似粗糙度進(jìn)行改進(jìn)，然后提出一種新型度量方法，即修正δ-區(qū)間決策條件熵方法.

2.1 區(qū)間改進(jìn)近似粗糙度和區(qū)間改進(jìn)近似精度

由于δ-區(qū)間近似粗糙度只刻畫了粗糙集正域信息變化，忽略了粗糙集負(fù)域信息的影響.因此，下面將同時(shí)考慮正域信息與負(fù)域信息的影響來(lái)改進(jìn)δ-區(qū)間近似粗糙度.基于上、下近似集，先給出區(qū)間集決策表的邊界域定義如下.

定義4決策類Dh關(guān)于條件屬性子集B的δ-區(qū)間邊界域?yàn)?/p>

定義5決策分類πD關(guān)于條件屬性子集B的δ-區(qū)間改進(jìn)近似精度與δ-區(qū)間改進(jìn)近似粗糙度分別為

(3)

證明

因此，

命題3提供了δ-區(qū)間改進(jìn)近似粗糙度的等價(jià)形式，進(jìn)一步揭示其度量本質(zhì)(即刻畫邊界域的大小).

命題4設(shè)A,B?C,δ∈[0,1],則以下結(jié)論成立：

1)如果A?B,則

2) 如果0≤δ1≤δ2≤1,則

2)同1)的證明類似.

命題4表明，δ-區(qū)間改進(jìn)近似粗糙度具有關(guān)于屬性與閾值的雙重?；瘑握{(diào)性，能夠度量上、下近似產(chǎn)生的不確定性.

命題5設(shè)A,B?C,δ∈[0,1],則以下結(jié)論成立：

證明

2)同1)的證明類似.

命題5表明，Iρ同時(shí)考慮決策類的正域信息與負(fù)域信息影響后，所得到的近似粗糙度更小，近似精度更大，說(shuō)明改進(jìn)后的粗糙度在度量區(qū)間集決策表不確定度時(shí)要更優(yōu)一些，下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明.

說(shuō)明Iρ對(duì)?；Y(jié)構(gòu)的變化不夠敏感，由命題3可知，Iρ的本質(zhì)在于計(jì)算各個(gè)決策類Dh關(guān)于條件屬性集邊界域的基數(shù)之和與一個(gè)定值的比，當(dāng)?；Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，邊界域的基可能是不變的.雖然文獻(xiàn)[15]中的δ-區(qū)間決策條件熵能夠有效地表征?；Y(jié)構(gòu)變化帶來(lái)的不確定性變化，但該度量采用的是乘積融合形式，使得集成兩種因素后的度量值反而小于單個(gè)因素的度量值，不符合常理.為了克服該缺陷，下面提出修正δ-區(qū)間決策條件熵來(lái)改進(jìn)δ-區(qū)間決策條件熵.

2.2 修正δ-區(qū)間決策條件熵

定義6決策分類πD關(guān)于條件屬性子集B的δ-區(qū)間近似粗糙熵為

δ-區(qū)間近似粗糙熵通過(guò)信息函數(shù)log2(|πD||U|)與δ-區(qū)間改進(jìn)近似粗糙度作積得到，是一種熵形式度量，而δ-區(qū)間改進(jìn)近似粗糙度不是一種熵形式度量，不能與δ-條件信息熵進(jìn)行求和融合.其本質(zhì)上仍是刻畫上、下近似產(chǎn)生的不確定性，只是刻畫形式進(jìn)行了轉(zhuǎn)換.

定義7修正δ-區(qū)間決策條件熵為

式中:

命題6設(shè)A,B?C,δ∈[0,1],則以下結(jié)論成立：

1)A?B?AIDHδ(D|B)≤AIDHδ(D|A);

2)0≤δ1≤δ2≤1?AIDHδ2(D|B)≤AIDHδ1(D|B);

基于定義7的求和融合定義，命題6所述的?；瘑握{(diào)性自然成立.修正δ-區(qū)間決策條件熵融合了δ-區(qū)間近似粗糙熵和δ-條件信息熵的優(yōu)點(diǎn)，既能度量上、下近似產(chǎn)生的不確定性，又能表征粒化結(jié)構(gòu)變化時(shí)不確定性的變化.該度量與單一度量方式相比更加全面，可以彌補(bǔ)兩種度量之間的不足.最后，下述命題7給出修正δ-區(qū)間決策條件熵的非負(fù)性，命題8則說(shuō)明修正δ-區(qū)間決策條件熵集成的度量值確實(shí)大于單個(gè)影響因素產(chǎn)生的不確定性度量值.由此可見，修正δ-區(qū)間決策條件熵滿足不確定度量的基本性質(zhì)，并且克服了δ-區(qū)間決策條件熵的不足，是一種有效、合理的度量方式.

命題7AIDHδ(D|B)≥0且

證明由于

又因?yàn)?/p>

命題8設(shè)B?C,δ∈[0,1].則

證明由于

又因?yàn)?/p>

3 不確定性度量比較分析

例3這里依舊使用表1給出的區(qū)間集決策表.假設(shè)

C={a1,a2,a3}?B={a1,a2}?A={a1},δ1=0.4<δ2=0.5<δ3=0.6.

由此可以計(jì)算關(guān)于屬性集C,B,A及參數(shù)δ1,δ2,δ3的相關(guān)?；Y(jié)構(gòu)：

通過(guò)相關(guān)公式，采用以上?；Y(jié)構(gòu)可以計(jì)算得到五種不確定性度量，數(shù)值如表2所示.

表2 五種不確定性度量比較結(jié)果

觀測(cè)表2，不同粒化結(jié)構(gòu)下的不確定性度量值大小不一，但具有如下的比較結(jié)論.

2)在非最細(xì)劃分情況下，采用δ-區(qū)間改進(jìn)粗糙度計(jì)算得到的不確定性度量值都要小于δ-區(qū)間近似粗糙度的值，這是因?yàn)棣?區(qū)間改進(jìn)粗糙度同時(shí)考慮了正域信息、負(fù)域信息的影響，優(yōu)于只考慮正域信息的δ-區(qū)間近似粗糙度.與命題5一致.

4 結(jié)語(yǔ)

區(qū)間集決策表的不確定性是由上、下近似集和?；Y(jié)構(gòu)變化引起的，δ-區(qū)間決策條件熵可以用來(lái)度量區(qū)間集決策表的不確定性.本文對(duì)文獻(xiàn)[15]所提出的δ-區(qū)間決策條件熵進(jìn)行修正，提出一種修正δ-區(qū)間決策條件熵方法，并得到?；瘑握{(diào)性等性質(zhì).通過(guò)分析和實(shí)例可以看出，與δ-區(qū)間決策條件熵相比，修正δ-區(qū)間決策條件熵具有更為強(qiáng)健的不確定性刻畫能力，后續(xù)的屬性約簡(jiǎn)及規(guī)則提取等還值得深入探討.