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        廣義非線性方程的顯示解

        2021-07-07 14:18:26何黎霞孫峪懷
        內江師范學院學報 2021年6期

        何黎霞, 孫峪懷, 胡 艷

        (四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

        0 引言

        (1)

        1 方法的簡述

        完全判別系統(tǒng)法的主要步驟可概括如下:

        考慮非線性數學和物理方程

        P(q,qx,qt,qxx,qxt,qtt,…)=0,

        (2)

        其中,q=q(x,t)是未知函數,P是關于q及其偏導數的多項式.作行波變換q(x,t)=u(ξ)exp(iφ),ξ=x-ct,φ=x+ωt+θ,方程(2)簡化為如下常微分方程

        u′(ξ)=F(u,a1,…,am),

        其中,a1,…,am是參數.將上式積分一次,得到

        (3)

        其中,ξ0是積分常數.顯然,只需求解(3)式.然而, 確定參數a1,…,am的取值范圍卻十分困難.借助多項式的完全判別系統(tǒng)[16],確定參數a1,…,am的取值范圍,從而得到F(u,a1,…,am)的具體形式.最后,直接求解積分式(3),進而得到方程(1)的解.

        2 過程與結果

        假設方程(1)有如下形式的解

        q(x,t)=u(ξ)exp(iφ),ξ=x-ct,φ=x+ωt+θ,

        (4)

        其中,u和φ分別表示q的振幅和相位.將(4)式代入方程(1),并且令虛部和實部分別為零,可得

        (5)

        (6λ-s)u″=(2ω+2λ-s)u+(2μ-2)u3,

        (6)

        比較方程(5)和方程(6),有

        對方程(5)積分一次,可得

        (u′)2=mu4+nu2+a2,

        (7)

        其中,a2是積分常數,

        作如下變換

        方程(7)轉化為

        (8)

        將方程(8)寫成積分形式,有

        (9)

        其中,ζ0是積分常數,并且在方程(1)的精確解中令其為零.

        情形1假設Δ=0.由于ψ>0,有

        (10)

        如果a1<0,由(10)式可得方程(1)有如下形式的解

        其中,

        如果a1>0,由(10)式可得方程(1)有如下形式的解

        其中,

        如果a1=0,由(10)式可得方程(1)有如下形式的解

        其中,

        情形2假設Δ>0并且a2=0.由于ψ>-a1,有

        (11)

        如果a1<0,由(11)式可得方程(1)有如下形式的解

        其中,

        如果a1>0,由(11)式可得方程(1)有如下形式的解

        其中,

        情形3假設Δ>0,a2≠0并且α<β<γ.假設α,β,γ中一個為零,其余為F(ψ)的根.作變換ψ=α+(β-α)sin2φ,可得

        (12)

        其中,

        當m1=0或m1=1時,Jacobi橢圓函數將退化為三角函數或雙曲函數,從而得到方程(1)額外的解

        其中,

        當m1=0或m1=1時,Jacobi橢圓函數將退化為三角函數或雙曲函數,從而得到方程(1)額外的解

        其中,

        (13)

        為了更直觀地理解這些顯示解,將參數取特殊值,繪制了部分顯示解的三維圖.圖1(a)-圖3(a)分別表示扭結波解q1(x,t)、周期波解q15(x,t)以及暗孤波解q16(x,t).圖1(b)-圖3(b)分別表示三個行波解在t=0,t=1時沿x軸的波.

        圖1 扭結波解q1(x,t),當時的圖像

        圖2 周期波解q15(x,t),當時的圖像

        圖3 暗孤波解q16(x,t),當時的圖像

        3 結論

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