楊 浩，李紹良，趙萬(wàn)良，段 杰，成宇翔，王 偉

(1.上海航天控制技術(shù)研究所·上海·201109；2.上海慣性工程技術(shù)中心·上海·201109)

0 引 言

半球諧振陀螺(Hemispherical Resonator Gyroscope， HRG)(如圖1所示)是一種高精度、高可靠性、長(zhǎng)壽命的慣導(dǎo)級(jí)固體陀螺儀，它是利用半球諧振子的振動(dòng)駐波進(jìn)動(dòng)效應(yīng)來(lái)感測(cè)基座旋轉(zhuǎn)的一種振動(dòng)陀螺。半球諧振陀螺儀無(wú)運(yùn)動(dòng)部件，內(nèi)部功耗小，對(duì)磁場(chǎng)不敏感，潛在的失效因素少，因此其具有很高的測(cè)量精度、超強(qiáng)的穩(wěn)定性和可靠性、良好的抗沖擊振動(dòng)性，以及高動(dòng)態(tài)、低噪聲的特點(diǎn)?；诹己玫男阅埽肭蛑C振陀螺目前在航天、航海、戰(zhàn)術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域均已獲得了應(yīng)用。

圖1 典型半球諧振陀螺結(jié)構(gòu)[1]Fig.1 Typical structure of HRG

頻差是影響半球諧振陀螺精度指標(biāo)的核心參數(shù)。頻差的存在，使得半球諧振子檢測(cè)角速度的靈敏度降低、駐波被破壞、產(chǎn)生漂移等，從而使陀螺的性能降低。因此，對(duì)高精度半球諧振陀螺必須進(jìn)行頻差移植。由于機(jī)械調(diào)平存在著精度極限，半球陀螺中的諧振子在經(jīng)過(guò)機(jī)械調(diào)平后仍然會(huì)存在一定的頻差。因此，需要進(jìn)一步通過(guò)電學(xué)方法對(duì)該頻差進(jìn)行抑制。針對(duì)諧振子殘余頻差的電剛度補(bǔ)償，文獻(xiàn)[5]給出了對(duì)電剛度補(bǔ)償?shù)墓浪悖墨I(xiàn)[6]則指出了利用直流和交流兩種方法進(jìn)行電剛度補(bǔ)償?shù)募?xì)節(jié)。但是，上述文獻(xiàn)均采用單個(gè)電極進(jìn)行電剛度補(bǔ)償，且沒(méi)有闡述主軸方位角對(duì)電剛度補(bǔ)償?shù)挠绊?。?shí)際上，當(dāng)0°電極與諧振子主軸不對(duì)準(zhǔn)，即存在主軸失準(zhǔn)角時(shí)，使用單個(gè)電極無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)殘余頻差的完全抑制。

因此，針對(duì)存在主軸失準(zhǔn)角的情況，本文建立了包含主軸失準(zhǔn)角在內(nèi)的完整電剛度補(bǔ)償模型，并給出了不同主軸方位下的諧振子電剛度補(bǔ)償方案及仿真結(jié)果，以指導(dǎo)對(duì)諧振子殘余頻差進(jìn)行進(jìn)一步的抑制，提高半球諧振陀螺的精度。

1 電剛度補(bǔ)償后的半球諧振子動(dòng)力學(xué)模型

1.1 帶有頻差的動(dòng)力學(xué)模型

由于質(zhì)量不均勻和剛度不均勻?qū)Π肭蛑C振子四波腹模態(tài)的頻率影響是等價(jià)的，因此可假設(shè)半球諧振子的頻差全部來(lái)源于質(zhì)量的不均勻性。諧振子的密度可表示為

ρ

(

φ

)=

ρ

+∑

ρ

cos

n

(

φ

-

φ

)

(1)

式中，

φ

表示諧振子上的環(huán)向角度方位，

ρ

表示密度的常值分量，

ρ

表示第

n

次的不均勻密度，

φ

為第

n

次不均勻密度的方位角，

n

=1,2,3,4…；頻差只受密度的四次諧波影響，因此

φ

可記為主軸失準(zhǔn)角。半球諧振子密度四次不均勻密度及頻差的示意圖如圖2所示。主軸方位上的頻率即為

ω

和

ω

，則頻差可定義為Δ

ω

=|

ω

-

ω

|。

圖2 四次不均勻密度及頻差示意圖Fig.2 Schematic diagram of uneven density and frequency difference

在半球諧振陀螺工作時(shí)，可以將諧振子的振型設(shè)為

w

(

φ

,

t

)=

a

(

t

)cos2

φ

+

b

(

t

)sin2

φ

(2)

其中，

a

(

t

)表示0°方位上的振動(dòng)，

b

(

t

)表示45°方位上的振動(dòng)。理想的全對(duì)稱(chēng)的半球諧振子動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

式中，

ω

為諧振子的理想振動(dòng)圓頻率，

Q

為諧振子的振動(dòng)

Q

值。當(dāng)諧振子存在四次不均勻密度時(shí)，半球諧振子的動(dòng)力學(xué)方程可轉(zhuǎn)化為

(4)

式中，

ε

=

ρ

/ρ

。

諧振子的振動(dòng)頻率通常為5000～8000Hz，而諧振子的振幅變化在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)可近似為不變，因此有

(5)

將式(5)代入式(4)，有

(6)

1.2 動(dòng)力學(xué)模型中電剛度項(xiàng)的引入

在動(dòng)力學(xué)模型式(6)中，令

(7)

從式(7)可以看出，矩陣使諧振子在其振動(dòng)模態(tài)之間產(chǎn)生了頻差，該頻差使兩模態(tài)間的振動(dòng)發(fā)生了相互耦合，從而將產(chǎn)生隨機(jī)漂移和正交誤差。因此，必須通過(guò)電剛度補(bǔ)償將矩陣補(bǔ)償為0矩陣。

在半球諧振陀螺中，通常利用激勵(lì)電極對(duì)諧振子進(jìn)行電剛度補(bǔ)償。激勵(lì)電極與諧振子的關(guān)系如圖3所示，即在諧振子的外側(cè)分布著16個(gè)獨(dú)立的激勵(lì)電極。通過(guò)這些電極，即可以對(duì)殘余頻差進(jìn)行抑制。

圖3 激勵(lì)電極與諧振子的位置關(guān)系Fig.3 Position relationship between excitation electrode and harmonic oscillator

諧振子的電剛度控制等效模型如圖4所示。諧振子與電極構(gòu)成電容，間距為

d

，諧振子的振幅為

w

。為調(diào)節(jié)諧振子的等效剛度，在方位角位置為

θ

的電極板上施加了大小為

U

的直流電壓。

圖4 電極模型Fig.4 Electrode model

則該電容中的電勢(shì)能為

(8)

式中，

φ

2-

φ

1=Δ

φ

為電極展角，

K

>0為常數(shù)，

K

取決于陀螺的具體設(shè)計(jì)參數(shù)。對(duì)電勢(shì)能進(jìn)行求導(dǎo)，將求導(dǎo)結(jié)果代入到動(dòng)力學(xué)模型中，只考慮剛度項(xiàng)后，化簡(jiǎn)得到

(9)

其中，

(10)

(11)

加入電剛度補(bǔ)償項(xiàng)后，矩陣變?yōu)?p>

(12)

2 模型分析

可以看出，為使矩陣變?yōu)?矩陣，應(yīng)分別使

(13)

為滿(mǎn)足上式，需按照電極位置，將激勵(lì)電極分為四組：

圖5 電極的分組Fig.5 Grouping of electrodes

若cos(4

φ

)>0，sin(4

φ

)>0，即0<

φ

<22

.

5°時(shí)，則使用B組和D組進(jìn)行電剛度校正，此時(shí)有

(14a)

若cos(4

φ

)>0，sin(4

φ

)<0，即22

.

5°<

φ

<45°時(shí)，則使用B組和C組進(jìn)行電剛度校正，此時(shí)

(14b)

若cos(4

φ

)<0，sin(4

φ

)>0，即45°<

φ

<67

.

5°時(shí)，則使用A組和D組進(jìn)行電剛度校正，此時(shí)

(14c)

若cos(4

φ

)<0，sin(4

φ

)<0，即67

.

5°<

φ

<90°時(shí)，則使用A組和C組進(jìn)行電剛度校正，此時(shí)

(14d)

可以看出，根據(jù)諧振子頻率主軸的不同方位，需要使用不同方位上的電極，從而在理論上實(shí)現(xiàn)對(duì)頻差的完全抑制。

3 電剛度補(bǔ)償仿真研究

3.1 單個(gè)電極電剛度補(bǔ)償

在仿真時(shí)，設(shè)諧振子的初始頻差為0.02Hz，電剛度補(bǔ)償電極方位為0°電極位置，利用單個(gè)電極對(duì)諧振子的頻差進(jìn)行調(diào)整。當(dāng)失準(zhǔn)角

φ

取0°、22.5°、45°及55°時(shí)，頻差隨電壓的關(guān)系如圖6所示。從圖6可以看出，隨著補(bǔ)償直流電壓的加入，諧振子的振動(dòng)頻率均會(huì)降低，即出現(xiàn)電負(fù)剛度效應(yīng)。但是，兩個(gè)主軸頻率下降的速率不一致。當(dāng)電剛度補(bǔ)償電極位于0°位置時(shí)，若失準(zhǔn)角位于-22.5°<

φ

<22.5°時(shí)，則無(wú)法調(diào)節(jié)頻差；當(dāng)22.5°<

φ

<67.5°時(shí)，能夠調(diào)節(jié)頻差，且

φ

越接近45°，頻差調(diào)節(jié)能力越強(qiáng)；只有當(dāng)電極與重軸完全對(duì)準(zhǔn)時(shí)，才能夠?qū)㈩l差完全抑制為0；因此，對(duì)于存在主軸失準(zhǔn)的半球諧振陀螺，必須采用多電極電剛度補(bǔ)償方法。

圖6 有失準(zhǔn)角時(shí)單個(gè)電極電剛度補(bǔ)償結(jié)果Fig.6 Single electrode electrical stiffness compensation result when there is misalignment angle

3.2 多電極電剛度補(bǔ)償

以失準(zhǔn)角0<

φ

<22

.

5為例，介紹多電極電剛度補(bǔ)償方案。當(dāng)0<

φ

<22

.

5時(shí)，可以看出，cos(4

φ

)>0，sin(4

φ

)>0。此時(shí)，應(yīng)使用B組和D組激勵(lì)電極進(jìn)行電剛度補(bǔ)償，且補(bǔ)償電壓的幅值分別為

(15)

此時(shí)，諧振子的頻差如圖7所示?？梢钥闯?，在0<

φ

<22

.

5的任意角度下，諧振子的頻差均可被完全抑制為0。即在存在主軸失準(zhǔn)角的情況下，通過(guò)B組和D組激勵(lì)電極施加適當(dāng)?shù)闹绷麟妷海纯蓪?shí)現(xiàn)對(duì)諧振子殘余頻差的抑制。當(dāng)

φ

位于其他方位時(shí)，則可按照式14(a)～式14(d)進(jìn)行電極組合，實(shí)現(xiàn)對(duì)頻差的完全抑制。

圖7 有失準(zhǔn)角時(shí)多電極電剛度補(bǔ)償結(jié)果Fig.7 Multi-electrode electrical stiffness compensation results with misalignment angle

4 結(jié) 論

建立了帶有主軸失準(zhǔn)角的半球諧振陀螺動(dòng)力學(xué)模型，在動(dòng)力學(xué)模型中引入了電剛度補(bǔ)償項(xiàng)，討論了不同失準(zhǔn)角度下半球諧振陀螺電剛度補(bǔ)償方法。仿真證明，當(dāng)存在主軸失準(zhǔn)角時(shí)，利用不同組的激勵(lì)電極進(jìn)行組合，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)諧振子殘余頻差的完全抑制。