高立夫，肖鵬博，潘 瑤，楊開(kāi)勇，羅 暉

(1. 海裝駐湘潭地區(qū)軍事代表室·湘潭·411100；2. 國(guó)防科技大學(xué) 前沿交叉學(xué)科學(xué)院·長(zhǎng)沙·410073)

0 引 言

圓柱殼體振動(dòng)陀螺是利用基于彈性駐波的哥氏效應(yīng)測(cè)量載體角速度或角度的新型振動(dòng)陀螺，具有精度高、體積小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功耗低等優(yōu)點(diǎn)，在飛行器導(dǎo)航、石油鉆井、戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈制導(dǎo)、艦艇導(dǎo)航、平臺(tái)穩(wěn)定等領(lǐng)域擁有廣闊的應(yīng)用前景。相較于半球諧振陀螺，圓柱殼體諧振子的制造工藝相對(duì)簡(jiǎn)單、成品率高、成本更低，因而在中高精度慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中有著廣闊的應(yīng)用前景。圓柱殼體振動(dòng)陀螺常見(jiàn)的工作模式包括力平衡模式(Force to Rebalance, FTR)與全角模式(Whole Angle, WA)。其中，力平衡模式可被應(yīng)用于高精度的角速率測(cè)量，極限靈敏度較高，全角模式則可被應(yīng)用于高動(dòng)態(tài)范圍的角度測(cè)量。在力平衡模式下，圓柱殼體振動(dòng)陀螺負(fù)責(zé)輸出角速率信息，噪聲特性好、漂移誤差易補(bǔ)償、分辨率高；在全角模式下，陀螺則直接輸出轉(zhuǎn)動(dòng)角度，其對(duì)陀螺加工精度及對(duì)稱性的要求極高，且需要復(fù)雜的控制回路以進(jìn)行誤差補(bǔ)償。相較而言，在進(jìn)行小范圍測(cè)量時(shí)，力平衡工作模式下的陀螺精度要優(yōu)于全角模式。此外，殼體振動(dòng)陀螺的主要應(yīng)用領(lǐng)域是航天器定姿，其對(duì)精度的要求極高，發(fā)生劇烈機(jī)動(dòng)的可能性很小，因而著手力平衡模式的研究是十分必要的，這也是進(jìn)一步研究與實(shí)現(xiàn)全角模式控制的基礎(chǔ)。本文重點(diǎn)研究了殼體振動(dòng)陀螺的力平衡控制原理。對(duì)力平衡模式下的頻率跟蹤回路、幅度控制回路、正交控制回路、力平衡控制回路等四大控制回路的基本原理進(jìn)行了介紹，并實(shí)現(xiàn)了力平衡模式下的陀螺閉環(huán)控制仿真。

圓柱殼體振動(dòng)陀螺工作在力平衡模式下時(shí)，可采用位置激勵(lì)方式，使諧振子振動(dòng)駐波維持在相對(duì)于殼體的固定位置(常為0°電極方向)，隨后根據(jù)克服哥氏力并維持駐波相對(duì)固定所施加的反饋力推算出外界輸入角速率,在力平衡模式下，主要通過(guò)四個(gè)回路對(duì)圓柱殼體振動(dòng)陀螺進(jìn)行控制，這四個(gè)回路分別為頻率跟蹤回路、幅度控制回路、正交控制回路及力平衡控制回路。其中，頻率跟蹤回路與幅度控制回路共同構(gòu)成了陀螺主模態(tài)控制回路，負(fù)責(zé)系統(tǒng)的頻率與幅度控制；正交控制回路與力平衡控制回路共同構(gòu)成了敏感模態(tài)控制回路，負(fù)責(zé)系統(tǒng)正交誤差的抑制、敏感模態(tài)的抑制，以及角速率信息的提取。本文對(duì)各個(gè)控制回路的基本控制原理進(jìn)行了分析。

1 頻率跟蹤回路

圓柱殼體振動(dòng)陀螺諧振子的諧振頻率會(huì)隨著外界溫度變化而發(fā)生改變。為了使諧振子能夠穩(wěn)定工作在諧振頻率點(diǎn)，必須設(shè)計(jì)頻率跟蹤回路，以實(shí)現(xiàn)對(duì)諧振子諧振頻率的實(shí)時(shí)跟隨。頻率跟蹤回路確保了陀螺維持在共振狀態(tài)，使得相位參考點(diǎn)不發(fā)生偏移，是實(shí)現(xiàn)圓柱殼體振動(dòng)陀螺力平衡模式工作的第一環(huán)，而鎖相環(huán)(Phase-Locked Loop, PLL)則是構(gòu)建頻率跟蹤回路的核心。

鎖相環(huán)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入?yún)⒖夹盘?hào)頻率的自動(dòng)跟蹤，其基本組成部分包括鑒相器(Phase Detector, PD)、低通濾波器(Low Pass Filter, LPF)，以及壓控振蕩器(Voltage Controlled Oscillator, VCO)。圖 1所示為其基本原理框圖。

圖1 鎖相環(huán)原理框圖Fig.1 The principle block diagram of phase-locked loop

鑒相器，也被稱為相位比較器，可以檢測(cè)輸入信號(hào)相位

θ

(

t

)與反饋信號(hào)相位

θ

(

t

)之間的相位差

θ

(

t

)。常用的鑒相器在實(shí)際過(guò)程中即表現(xiàn)為乘法器，負(fù)責(zé)輸出含有相位差信息的誤差信號(hào)

u

(

t

)。將其搭配低通濾波器一起使用，則可得到含有輸入信號(hào)與反饋信號(hào)相位差信息的電壓信號(hào)

u

(

t

)。將其用作壓控振蕩器的輸入控制電壓，則控制電壓

u

(

t

)的表達(dá)式為

(1)

式中，

U

、

U

分別為輸入與輸出信號(hào)的電壓幅值，

ω

為輸入信號(hào)角頻率，

ω

為環(huán)內(nèi)壓控振蕩器自由振蕩角頻率。將控制電壓

u

(

t

)加載在壓控振蕩器上，可使其產(chǎn)生頻率偏移并跟蹤輸入信號(hào)頻率。壓控振蕩器的輸出信號(hào)瞬時(shí)頻率

ω

(

t

)以

ω

為中心并跟隨輸入控制電壓在一定區(qū)域內(nèi)發(fā)生線性變化，滿足

ω

(

t

)=

ω

+

K

u

(

t

)

(2)

其中，

K

表示控制比例系數(shù)。因此，在控制電壓作用下，輸出信號(hào)的瞬時(shí)頻率

ω

(

t

)逐漸向

ω

靠攏。由式(1)可知，當(dāng)壓控振蕩器頻率與輸入信號(hào)頻率相等且兩者之間保持了固定的穩(wěn)態(tài)相位差時(shí)，環(huán)路即達(dá)到了鎖定。

將鎖相環(huán)應(yīng)用于頻率跟蹤回路，圖2所示即為頻率跟蹤回路的基本控制原理。首先，諧振子主振型檢測(cè)軸振動(dòng)經(jīng)前置微弱信號(hào)對(duì)電路進(jìn)行檢測(cè)后經(jīng)AD轉(zhuǎn)換產(chǎn)生數(shù)字信號(hào)；隨后，基于PI控制設(shè)定初始參考頻率，可實(shí)現(xiàn)對(duì)誤差量的控制，構(gòu)建鎖相環(huán)；最后，采用直接數(shù)字頻率合成技術(shù)(Direct Digital Synthesis, DDS)產(chǎn)生能夠?qū)崟r(shí)跟蹤諧振子諧振頻率的輸出電壓信號(hào)，以用于陀螺激勵(lì)及信號(hào)解調(diào)。

圖2 頻率跟蹤回路控制原理Fig.2 The control principle of frequency tracking loop

2 幅度控制回路

由于阻尼存在，諧振子主振型的振動(dòng)幅值將不斷衰減。同時(shí)，諧振子主模態(tài)振動(dòng)幅值的穩(wěn)定性將直接影響陀螺標(biāo)度因數(shù)的穩(wěn)定性。同時(shí)，考慮到溫度變化將導(dǎo)致諧振子的振動(dòng)特性參數(shù)發(fā)生改變，因此，必須通過(guò)設(shè)立幅度控制回路對(duì)諧振子進(jìn)行能量補(bǔ)充，使其振動(dòng)幅值保持恒定。

幅度控制回路一般是建立在頻率跟蹤回路的基礎(chǔ)之上并與其協(xié)同工作的，如圖 3所示。其核心是自動(dòng)增益控制環(huán)(Automatic Gain Control, AGC)，包含幅值檢測(cè)器、PI控制器和DDS。首先，將諧振子主振型檢測(cè)軸的振動(dòng)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，并將信號(hào)送至幅值檢測(cè)器以提取其幅值信息；隨后，將該幅值信息與設(shè)定的初始參考幅值進(jìn)行比較，進(jìn)而PI控制器可通過(guò)該誤差信號(hào)調(diào)整其輸出幅值的大??；最后，輸出幅值信息與鎖相環(huán)回路所得到的頻率信息通過(guò)DDS為諧振子主振型激勵(lì)軸提供激勵(lì)信號(hào)。

圖3 幅度控制回路的控制原理Fig.3 The control principle of amplitude control loop

3 正交控制回路

由諧振子缺陷導(dǎo)致的頻率裂解將使諧振子敏感軸方向的振動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)與輸出角速率信號(hào)相位正交的誤差量，該部分即為圓柱殼體振動(dòng)陀螺的正交誤差。下面，首先基于諧振子二維振動(dòng)方程分析了正交誤差的來(lái)源；隨后，給出了正交控制回路(Quadrature Control Loop, QCL)的基本原理圖并具體分析了正交控制的實(shí)現(xiàn)方式。

圓柱殼體諧振子的振動(dòng)過(guò)程可以簡(jiǎn)化為一個(gè)二維振動(dòng)質(zhì)量塊的模型，如圖 4所示。坐標(biāo)軸原點(diǎn)處的質(zhì)量單元代表圓柱殼體諧振子，

x

、

y

分別為諧振子激勵(lì)方向及45°方向的振動(dòng)位移，

x

′、

y

′分別為諧振子兩簡(jiǎn)并模態(tài)在剛度主軸(頻率主軸)上的振動(dòng)位移。在理想情況下，諧振子的各項(xiàng)物理特性完全對(duì)稱，兩簡(jiǎn)并模態(tài)的諧振頻率及衰減時(shí)間完全相等，主軸方向與激勵(lì)方向重合，如圖4(a)所示。在實(shí)際情況下，諧振子受到質(zhì)量不均勻性、剛度不均勻性、阻尼不均勻性等因素的影響，兩簡(jiǎn)并模態(tài)的諧振頻率及衰減時(shí)間存在差異，主軸方向與激勵(lì)方向不再重合，而是出現(xiàn)振型偏移角，如圖4(b)所示。兩簡(jiǎn)并模態(tài)上振動(dòng)質(zhì)量點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)滿足

ω

Δ

ω

(

x

cos2

θ

+

y

sin2

θ

)=

f

y

sin2

θ

)=

f

(3)

(4)

其中，

ω

=2π

f

、

ω

=2π

f

分別為系統(tǒng)兩簡(jiǎn)并模態(tài)剛度主軸的本征角頻率，

t

、

t

分別為系統(tǒng)的兩個(gè)阻尼主軸方向上的衰減時(shí)間。

(a)理想情況下的二維振動(dòng)質(zhì)量塊模型

(b)實(shí)際情況下的二維振動(dòng)質(zhì)量塊模型圖4 圓柱殼體諧振子二維振動(dòng)質(zhì)量塊模型Fig.4 The two-dimensional mass model of cylindrical shell resonator vibration

首先，對(duì)式(3)進(jìn)行簡(jiǎn)并替換，可得

(5)

其中，

(6)

先考慮主振型模態(tài)，假定外界激勵(lì)力

f

=

f

sin(

ω

t

)。式中，

f

表示諧振子的諧振頻率，

ω

為壓控振蕩器輸出角頻率，則激勵(lì)軸的振動(dòng)位移為

(7)

其中，

ω

代表主振型諧振角頻率，

φ

為敏感模態(tài)振動(dòng)位移的初始相位，

x

為由前式進(jìn)行的簡(jiǎn)化改寫(xiě)。可見(jiàn)，在鎖相環(huán)正常工作的前提下，激勵(lì)力信號(hào)在相位上應(yīng)超前振幅信號(hào)90°。

隨后，考慮敏感振型模態(tài)，假定主振型振動(dòng)已實(shí)現(xiàn)頻率跟蹤且振動(dòng)幅值穩(wěn)定，則敏感軸方向的振動(dòng)位移滿足

(8)

y

=

Y

cos(

ω

t

+

φ

)+

Y

sin(

ω

t

+

φ

)

(9)

式中，

為同相分量，

ω

-

K

=

ω

-(

ω

+

ω

Δ

ω

cos2

θ

)

=(

ω

-

ω

)sin

θ

=2

ω

Δ

ω

sin

θ

(10)

首先考慮理想狀態(tài)(即不考慮阻尼不均勻性與頻率裂解時(shí))，諧振子敏感模態(tài)振動(dòng)滿足

(11)

可知，在理想狀態(tài)下，諧振子敏感模態(tài)位移僅有同相分量，且幅值與外界輸入角速率正相關(guān)，符合圓柱殼體振動(dòng)陀螺的基本工作原理。

在考慮阻尼不均勻性而不考慮頻率裂解時(shí)，諧振子的敏感模態(tài)振動(dòng)滿足

(12)

而在考慮頻率裂解、不考慮阻尼不均勻性時(shí)，滿足

(13)

此時(shí)，式(12)中的正交部分

Y

sin(

ω

t

+

φ

)≠0，正交誤差產(chǎn)生，且該正交誤差為

E

=

(14)

因此，可以通過(guò)PI控制、利用正交分量的反饋來(lái)消除正交誤差，這也意味著頻率裂解及由其導(dǎo)致的同相誤差量可被一并消除。

圖 5所示即為正交控制回路的基本控制原理。首先，將諧振子敏感振型檢測(cè)軸振動(dòng)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，隨后進(jìn)行信號(hào)解調(diào)與低通濾波，并提取其正交信號(hào)

Δ

，即為

圖5 正交控制回路的控制原理Fig.5 The control principle of quadrature control loop

Δ

=

LPF

|

yK

c·2cos(

ω

t

)|=

Y

K

ccos(

φ

)+

Y

K

csin(

φ

)=

Y

K

c+

Y

K

c

φ

(15)

式中，

LPF

表示對(duì)相應(yīng)部分進(jìn)行低通濾波，

K

c為諧振子振動(dòng)位移與電壓信號(hào)間的轉(zhuǎn)換系數(shù)。以此正交信號(hào)作為誤差信號(hào)，通過(guò)PI控制得到正交控制力

f

q，滿足

(16)

式中，

K

f為電壓信號(hào)與力間轉(zhuǎn)換系數(shù)，

K

為PI控制比例項(xiàng)系數(shù)，

K

為PI控制積分項(xiàng)系數(shù)。此時(shí)，通過(guò)PI控制、由DDS為諧振子敏感模態(tài)振型激勵(lì)軸提供激勵(lì)信號(hào)，并使得

f

q+

F

=

f

q-

K

x

cos(

ω

t

)=0

(17)

則正交控制完成。

4 力平衡控制回路

當(dāng)諧振子在力平衡模式下工作時(shí)，其振型在敏感軸方向的外力作用下保持著一種非進(jìn)動(dòng)狀態(tài)，即當(dāng)載體相對(duì)諧振子振型發(fā)生進(jìn)動(dòng)時(shí)，必須通過(guò)力平衡控制回路使諧振子振型克服哥氏效應(yīng)，與殼體保持一致，如同進(jìn)動(dòng)消失。

圖 6所示為正交控制回路的基本控制原理。首先，將諧振子敏感振型檢測(cè)軸振動(dòng)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，進(jìn)行信號(hào)解調(diào)與低通濾波，并提取其同相信號(hào)

Δ

即有

圖6 力平衡控制回路的控制原理Fig.6 The control principle of force balance control loop

Δ

=

LPF

|

yK

c2sin(

ω

t

)|=

Y

K

ccos(

φ

)+

Y

K

csin(

φ

)=

Y

K

c+

Y

K

c

φ

(18)

以此同相信號(hào)作為誤差信號(hào)，通過(guò)PI控制得到同相控制力

f

p，滿足

(19)

式中，

K

′為PI控制比例項(xiàng)系數(shù)，

K

′為PI控制積分項(xiàng)系數(shù)。此時(shí)，通過(guò)PI控制、由DDS為諧振子敏感模態(tài)振型激勵(lì)軸提供激勵(lì)信號(hào)，使得

f

p+

F

=

f

p-(2

kΩ

+

D

)

x

ω

sin(

ω

t

)=0

(20)

則力平衡控制完成，再將控制力大小作為速率輸出，并由此解算出外界載體角速率。

將頻率跟蹤回路、幅度控制回路、正交控制回路及力平衡控制回路進(jìn)行組合，便可實(shí)現(xiàn)圓柱殼體振動(dòng)陀螺的力平衡模式控制，如圖7所示，并可以此控制回路作為FPGA硬件控制電路設(shè)計(jì)的原理基礎(chǔ)。

圖7 圓柱殼體振動(dòng)陀螺力平衡模式控制原理框圖Fig.7 The block diagram of force balance mode control of the cylindrical vibrating gyroscope

5 力平衡模式控制原理仿真

對(duì)上述圓柱殼體振動(dòng)陀螺力平衡模式的控制原理進(jìn)行仿真。首先，基于諧振子二維振動(dòng)方程及力平衡模式控制原理進(jìn)行建模，如圖 8所示。

圖8 圓柱殼體振動(dòng)陀螺力平衡模式控制原理仿真建模Fig.8 The simulation of force balance mode control of the cylindrical vibrating gyroscope

對(duì)仿真系統(tǒng)輸入不同的外界角速率

Ω

，得到系統(tǒng)的速率輸出，如圖 9所示。其中，藍(lán)色波形表示外界輸入角速率，紅色波形表示速率輸出。賦予

Ω

三個(gè)不同的值，可見(jiàn)，當(dāng)外界輸入角速率從0增加至1(°)/s時(shí)，系統(tǒng)速率輸出端波形亦由初始零位開(kāi)始迅速上升，并在經(jīng)過(guò)一段約為0.03s的反應(yīng)時(shí)間后逐漸穩(wěn)定。而當(dāng)外界輸入角速率再次增加至2(°)/s時(shí)，系統(tǒng)速率輸出端波形則再次上升，并逐漸穩(wěn)定在約2倍高度位置，滿足陀螺力平衡工作模式下的速率輸出規(guī)律。

圖9 力平衡模式控制原理仿真下的速率輸出Fig.9 The output rate of simulation of the force balance mode control

繼續(xù)觀察其主模態(tài)振動(dòng)位移及敏感模態(tài)振動(dòng)位移，如圖 10所示。其中，紅色波形表示主模態(tài)振動(dòng)位移的電信號(hào)輸出，藍(lán)色波形表示敏感模態(tài)振動(dòng)位移的電信號(hào)輸出。可見(jiàn)，通過(guò)幅度控制回路的作用，在系統(tǒng)啟動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，主模態(tài)振動(dòng)位移在外界輸入角速率不斷變化的前提下也依然可以維持在設(shè)定幅值而不再改變。同時(shí)，在力平衡控制回路的作用下，敏感模態(tài)振動(dòng)位移在哥氏效應(yīng)下即使出現(xiàn)一定的瞬時(shí)增加，亦可迅速被抑制到零，即保持非進(jìn)動(dòng)狀態(tài)。

圖10 力平衡模式控制原理仿真下主模態(tài)及敏感模態(tài)的振動(dòng)位移Fig.10 The vibration displacement of main mode and sensitive mode of simulation of the force balance mode control

隨后，觀察敏感模態(tài)正交控制力及正交耦合力部分，如圖11所示。其中，紅色波形表示敏感模態(tài)正交控制力，藍(lán)色波形表示敏感模態(tài)正交耦合力，且圖11下半部分為橫坐標(biāo)的局部放大圖。由圖11可見(jiàn)，當(dāng)正交控制回路正常工作后，即使外界輸入角速率出現(xiàn)變化，其正交耦合力部分依然保持不變，這與式(8)正交耦合力部分與角速率無(wú)關(guān)的結(jié)論相符。同時(shí)，正交控制力與正交耦合力大小相等、相位相反，亦滿足式(17)的要求。

圖11 力平衡模式控制原理仿真下主模態(tài)及敏感模態(tài)正交控制力和耦合力Fig.11 Orthogonal control force and coupling force of main mode and sensitive mode of simulation of the force balance mode control

最后觀察其同相控制力及哥氏力部分，如圖 12所示。其中，紅色波形表示敏感模態(tài)哥氏力，藍(lán)色波形表示敏感模態(tài)同相控制力，且圖12下半部分為橫坐標(biāo)的局部放大圖。由圖12可見(jiàn)，在力平衡控制回路正常工作后，當(dāng)外界輸入角速率逐漸增加時(shí)，哥氏效應(yīng)的加劇將導(dǎo)致其哥氏力階梯式增加，這與式(8)哥氏力部分在阻尼不均勻性很小時(shí)與角速率成正相關(guān)的結(jié)論相符。因此，要求PI控制律反饋給系統(tǒng)敏感模態(tài)的同向控制力亦分段增加，滿足式(20)的要求。此外，哥氏力與同向控制力大小相等、相位相反，亦滿足式(20)的要求。

圖12 力平衡模式控制原理仿真下同相控制力與哥氏力結(jié)果Fig.12 The results of in-phase control force and Coriolis force of simulation of the force balance mode control

6 結(jié) 論

本文針對(duì)圓柱殼體振動(dòng)陀螺力平衡控制下的頻率跟蹤回路、幅度控制回路、正交控制回路、力平衡控制回路等四大控制回路的基本原理展開(kāi)了研究。其中，頻率跟蹤回路與幅度控制回路共同構(gòu)成了陀螺主模態(tài)控制回路，負(fù)責(zé)系統(tǒng)的頻率與幅度控制；正交控制回路與力平衡控制回路共同構(gòu)成了敏感模態(tài)的控制回路，負(fù)責(zé)系統(tǒng)正交誤差的抑制、敏感模態(tài)的抑制，以及角速率信息的提取。最后，實(shí)現(xiàn)了圓柱殼體振動(dòng)陀螺力平衡控制的閉環(huán)控制仿真，驗(yàn)證了相應(yīng)控制原理分析的準(zhǔn)確性。