半球諧振陀螺阻尼不均勻誤差補償方法*
2021-07-07 09:38:12曲天良張晶泊
飛控與探測 2021年1期
郭 杰，曲天良，張晶泊
(大連海事大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院·大連·116026)
0 引 言
隨著導(dǎo)航技術(shù)的發(fā)展，慣性導(dǎo)航在國防和國民經(jīng)濟中的作用愈發(fā)明顯，屬于基礎(chǔ)性、戰(zhàn)略性和前沿性的軍民兩用高新技術(shù)。陀螺是其核心傳感器，而“高精度、微型化”是陀螺發(fā)展的重要方向。哥氏振動陀螺的靈感源于傅科擺，它以單擺的簡諧振動作為慣性參考系測量地球轉(zhuǎn)動，仿生學(xué)領(lǐng)域中的雙翅目昆蟲的平衡棒便是基于哥氏振動陀螺的原理進(jìn)行輔助導(dǎo)航或姿態(tài)控制。半球諧振陀螺(Hemispherical Resonator Gyroscope, HRG)是基于哥氏效應(yīng)測量角速度的新型振動陀螺，其具有結(jié)構(gòu)簡單、精度高、功耗低、壽命長、可靠性好、抗空間輻射等優(yōu)點，一度被慣性技術(shù)界譽為21世紀(jì)先進(jìn)捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)最為理想的陀螺。
半球諧振陀螺的控制方式主要有兩種：力平衡模式(速率型)和全角模式(速率積分型)。力平衡模式更容易實現(xiàn)，靈敏度高，但其動態(tài)范圍過小，應(yīng)用領(lǐng)域十分有限；相對于力平衡模式，全角模式(Whole-Angle,WA)下的半球諧振陀螺具有滿刻度量程，但全角模式的控制更為復(fù)雜。
在全角模式下，半球諧振陀螺需精確測量諧振子駐波位置，并使用兩組驅(qū)動電極施加矢量驅(qū)動力，以維持駐波振動能量，實現(xiàn)幅度控制。同時，正交控制可以有效消除由頻率裂解帶來的誤差項。因此，阻尼不均勻已成為半球諧振陀螺漂移的主要誤差源。由于在全角模式下，駐波在圓周上自由進(jìn)動，阻尼不均勻誤差具有強烈的角度依賴性，不均勻誤差隨駐波方位角呈周期性變化，這是全角模式下半球諧振陀螺必須解決的問題。另外，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速小于由阻尼不均勻所引發(fā)的漂移時，測量的角度將無法跟蹤陀螺的轉(zhuǎn)速，這也是半球諧振陀螺在全角模式下需要解決的閉鎖問題。
1 Lynch平均法
20世紀(jì)90年代中后期，美國的Lynch博士發(fā)表了針對振動陀螺的平均分析方法，促進(jìn)了半球諧振陀螺全角模式的進(jìn)一步發(fā)展，其邏輯概括如圖1所示。圖1(a)是基于二維諧振子模型的常規(guī)變量橢圓軌跡圖，其基本運動方程以位移x、y為變量，具體如式(1)所示。
(a) 常規(guī)變量橢圓軌跡圖
(b) HRG工作原理圖
(1)
其中，x
與y
為諧振子相隔45°的兩組檢測電極的讀出信號。(x
,y
)為諧振子的廣義坐標(biāo)，表示二維質(zhì)點振動模型中質(zhì)量塊的廣義位移，k
為進(jìn)動角增益，k
′為向心力增益，Ω
為轉(zhuǎn)臺輸入旋轉(zhuǎn)速度，ω
為諧振頻率，f
、f
分別為x
、y
軸向上的控制力。橢圓軌跡圖上的a
(長軸)、q
(短軸)、θ
(初始方位角)和φ
′(相位角)是四個慢變量，與殼體振動駐波的振幅、正交量(與頻率裂解相關(guān))、初始方位角和相位角直接對應(yīng)，具有直觀而明確的物理意義。因此，可嘗試通過x
、y
的運動方程得到a
、q
、θ
、φ
′的微分方程?？紤]頻率裂解(Δω
)、頻率軸(θ
)、阻尼不均勻(Δ(1/τ
))和阻尼軸(θ
)等誤差，Lynch首先通過坐標(biāo)變換(如圖1所示)將頻率和阻尼不均勻性誤差引入到了x
、y
的運動方程中，并得到了包含Δω
、θ
、Δ(1/τ
)、θ
在內(nèi)的普適性運動方程，如式(2)所示。
(2)
式中，Δ(1/τ
)、Δω
為阻尼不均勻和頻率裂解缺陷。θ
、θ
分別表示諧振子阻尼軸和頻率軸的角度，γ
、g
為x
軸向上的加速度，γ
、g
為y
軸向上的加速度。利用泡利矩陣(3)可以將普適性運動方程表達(dá)為矩陣形式，如式(4)所示。此處，可忽略加速度γ
、g
、γ
、g
的影響。
(3)
(4)
然后，進(jìn)行平均法處理。諧振子兩個模態(tài)的頻率與參考信號的頻率ω
都十分接近，可引入變量(t
)、(t
)，具體如式(5)、式(6)所示。
(5)
式中，R
(·)表示實部，(ωt
+φ
)為鎖相環(huán)解調(diào)參考信號的相位，c
(t
)、c
(t
)、s
(t
)、s
(t
)為由乘法解調(diào)得到的四個低頻慢變信號。
(6)
式中，f
c(t
)、f
c(t
)分別為F
(t
)、F
(t
)的實部，f
s(t
)、f
s(t
)分別為F
(t
)、F
(t
)的虛部。結(jié)合式(4)、式(5)、式(6)，可以得到基于(t
)的運動方程
(7)
結(jié)合基本運動方程(1)(Ω
=0)的矩陣形式，可進(jìn)一步將(t
)表達(dá)為的形式，如式(8)所示
(8)
其中，φ
為實時諧振信號的初相，φ
′為鎖相環(huán)解調(diào)參考信號的初相，δφ
為實時諧振振動信號與出鎖信號的相位差值。然后，將代入(t
)的運動方程，從而得到a
(或E
)、q
(或Q
)、θ
、φ
′的一階微分方程?？傊诼兞康奶匦院颓擅畹臄?shù)學(xué)處理，得到了四個重要變量的微分方程。微分方程是陀螺四個回路控制(穩(wěn)幅回路、正交控制回路、角度解算支路和頻率跟蹤鎖定回路)的基礎(chǔ)，可使包含誤差在內(nèi)的半球諧振陀螺的數(shù)學(xué)模型趨于理想狀態(tài)。此外，文獻(xiàn)[3]所提及的經(jīng)(t
)組合運算得到的駐波進(jìn)動方程(如式(9)所示)，被國內(nèi)外眾多學(xué)者廣泛引用。以此來分析阻尼不均勻?qū)α闫频挠绊?，可提高陀螺的控制精度?p>
(9)
式中，θ
為方位角，E
為振動能量，Q
為波節(jié)點振幅，f
=-f
s(t
)sinθ
+f
s(t
)cosθ
。21世紀(jì)初期，“四力控制”法、自適應(yīng)補償法和施加虛擬旋轉(zhuǎn)方法陸續(xù)出現(xiàn)，極大地豐富了半球諧振陀螺在全角模式下阻尼不均勻誤差的補償方法(如圖2所示)。另外，如利用差動模式消除兩軸阻尼耦合、利用靜電激勵和電容檢測進(jìn)行非線性分析與校正、進(jìn)行全角模式誤差建模分析與信號處理等工作，也對半球諧振陀螺誤差補償技術(shù)的發(fā)展施加了強勁推力。
圖2 阻尼不均勻誤差補償方法發(fā)展的時間流圖Fig.2 Time flow diagram of compensation method for damping mismatch
2 “四力控制”法
結(jié)合二維諧振子振動方程，若只考慮阻尼及阻尼不均勻性，可得到如下方程
(10)
式中，F
e、F
s、F
e、F
s為與誤差補償相關(guān)的四個控制力，其表達(dá)式如下
(11)
假設(shè)可維持長軸遠(yuǎn)大于短軸(a
?q
)，可得到四個控制力的簡化方程(12)，以及三個參數(shù)(η
、η
和η
)的PID控制方程式，如式(13)所示。
(12)
(13)
其中，A
、A
、A
分別為比例增益、積分增益、微分增益，可以選擇這些增益來優(yōu)化陀螺儀的響應(yīng)。ΔE
為E
信號測量值與目標(biāo)值之差，下標(biāo)-1表示前一時刻的數(shù)值。在仿真模擬中，以Lynch算法為基礎(chǔ)，經(jīng)組合運算得到的E
信號經(jīng)PID控制參與控制力的合成，可實現(xiàn)對諧振子的閉環(huán)控制，如圖3所示。
圖3 “四力控制”原理圖Fig.3 Schematic diagram of "four-force control" method
基于基本正交補償?shù)氖┘?，仿真結(jié)果表明，“四力控制”結(jié)合頻率裂解控制可使陀螺儀的角度依賴漂移誤差降低兩個數(shù)量級以上，施加控制前后的漂移仿真對比如圖4所示。將上述控制方式應(yīng)用于單晶硅圓柱速率積分陀螺(The Single Crystal-Si Cylindrical Rate-Integrating Gyro,CING, MEMS陀螺的一種)，可使漂移減少約25%，如圖5所示。
(a)漂移-駐波方位角關(guān)系圖(控制前)
(b)漂移-駐波方位角關(guān)系圖(控制后)
圖5 CING漂移變化的實驗結(jié)果圖Fig.5 CING experimental drift diagram
3 自適應(yīng)補償法
在駐波進(jìn)動方程式(9)的基礎(chǔ)上，施加正交控制后，Q
≈0。在全角模式下，通常將f
設(shè)為0。但在此方法中，前饋補償項u
用于補償阻尼不均勻擾動，具體方程如下
(14)
進(jìn)動方程離散化近似如下
θ
(κ
)=θ
(κ
-1)-kΩt
+d
(κ
-1)t
-u
(κ
-1)t
(15)
式中，t
為采樣間隔，κ
為離散采樣時刻，d
(κ
)為由阻尼不均勻而產(chǎn)生的擾動，具體如下
(16)
定義前饋補償項為
(17)
Ω
、a
和b
構(gòu)成權(quán)值向量
(18)
相應(yīng)的回歸向量(κ
)為
(19)
為了測量時變輸入角速度，利用歸一化最小均方算法來更新權(quán)值向量(κ
)，使得先驗誤差e
(κ
)平方的期望值趨近于0，以此來降低干擾項d
對角度解算的影響。
(20)
圖6 方位角自適應(yīng)失配補償回路Fig.6 Adaptive mismatch compensation of azimuth angle
(a)輸入速率估計響應(yīng)
(b)啟用補償前后角度測量誤差仿真對比
4 虛擬旋轉(zhuǎn)
在全角模式下，由阻尼不均勻引起的誤差隨駐波方位角呈正弦規(guī)律分布，可通過駐波方位角的旋轉(zhuǎn)調(diào)制和周期性積分等方法進(jìn)行誤差補償。旋轉(zhuǎn)調(diào)制可以通過轉(zhuǎn)臺主動旋轉(zhuǎn)，也可以利用陀螺儀的控制電極施加較大的“虛擬旋轉(zhuǎn)”力以作用于駐波進(jìn)動方程的f
，使由阻尼不均勻引發(fā)的漂移獲得平均，進(jìn)而減少由阻尼不均勻引發(fā)的誤差，而且可以使陀螺走出“鎖區(qū)”測量低轉(zhuǎn)速。結(jié)合駐波進(jìn)動方程，引入新變量y
=tan(θ
-θ
)，主要以兩種情況導(dǎo)出角度θ
的解，從方程的角度解釋了HRG的測速特性。
(21)
其中，Ω
為虛擬旋轉(zhuǎn)速率。當(dāng)輸入角速率低于Δ(1/τ
)/
2k
時，測量角不會跟蹤旋轉(zhuǎn)角，如方程(22)所示，角度會收斂到一個恒定的角度。其中，n
為整數(shù)。
(22)
當(dāng)輸入角速率高于Δ(1/τ
)/
2k
時，如方程(23)所示，角度漂移隨輸入角度呈線性減小趨勢。
(23)
通過數(shù)學(xué)計算，可得到方位角的近似表達(dá)式
(24)
式中，ξ
為一常數(shù)。由方程可知，隨著輸入旋轉(zhuǎn)角Ω
的增加，進(jìn)動角增益收斂于k
，降低了角度漂移。圖8是施加虛擬旋轉(zhuǎn)的原理圖。經(jīng)PID控制的E
、Q
信號及施加的虛擬旋轉(zhuǎn)共同參與控制力的合成。圖8中，E
、Q
分別為E
、Q
經(jīng)PID產(chǎn)生的信號，I
、Q
為鎖相環(huán)產(chǎn)生的相互正交的解調(diào)參考信號，Ω
為虛擬角速率。
圖8 施加虛擬旋轉(zhuǎn)原理圖Fig.8 Schematic diagram of applying virtual rotation method
圖9是仿真結(jié)果圖。盡管存在阻尼不均勻缺陷Δ(1/τ
)=2 (rad/s)≈115(°)/s，當(dāng)施加虛擬旋轉(zhuǎn)Ω
=100 (rad/s)≈5730(°)/s時，陀螺儀角速率的精度可達(dá)Δ(1/τ
)/(8Ω
)≈0.3(°)/s，將由阻尼不均勻誤差帶來的陀螺漂移降低了兩個數(shù)量級以上。從公式Δ(1/τ
)/(8Ω
)可見，虛擬旋轉(zhuǎn)的速度越快，其對角速率測量精度的提高效果越明顯。
(a)測量速率-施加速率關(guān)系圖
(b)虛擬角速率-阻尼不均勻關(guān)系圖圖9 施加虛擬旋轉(zhuǎn)仿真結(jié)果圖Fig.9 Simulation results of applying virtual rotation method
5 結(jié) 論
綜上所述，“四力控制”法與方位角自適應(yīng)補償均可有效降低陀螺儀的漂移。在控制精度方面，自適應(yīng)算法效果更優(yōu)。施加虛擬旋轉(zhuǎn)解決了測量角度受限的鎖區(qū)問題，實現(xiàn)了半球諧振陀螺全角模式下的全角度測量。
國內(nèi)外研究與實踐表明，在航天飛行任務(wù)日益長期化、復(fù)雜化的今天，半球諧振陀螺因其高性能和小型化等特點必將得到廣泛應(yīng)用。如何運用合理有效的補償控制算法，減少半球諧振陀螺對高精密加工工藝的依賴，降低阻尼不均勻漂移誤差，有效提高其性能，還需要完成大量細(xì)致深入的研究工作。為盡快推廣全角模式下半球諧振陀螺在多領(lǐng)域中的應(yīng)用，相關(guān)技術(shù)人員仍需刻苦攻關(guān)。
