宋麗君，周 蕾，段 杰，孫湘鈺，李紹良，路明慧

(1.西安建筑科技大學 信息與控制工程學院·西安·710055；2.上海航天控制技術研究所·上海·201109)

0 引 言

半球諧振陀螺在國內(nèi)外慣性技術領域受到關注并被成功而廣泛地應用(尤其是在國防領域中的空間科學探索、衛(wèi)星的穩(wěn)姿穩(wěn)態(tài)、遠程導彈制導，以及深海潛艇導航等方面)，主要歸功于半球諧振子的性能優(yōu)化，而各向同性的材料是高品質(zhì)半球諧振子的基礎，加工高精度球殼結構的半球諧振子是技術的核心。目前，半球諧振子的理想材料為熔融石英玻璃。依據(jù)國內(nèi)熔融石英玻璃的研制情況，以及國內(nèi)外半球諧振子加工技術的研究成果和經(jīng)驗，結合熔融石英玻璃在復雜曲面超精密加工過程中存在的技術瓶頸，需將材料與諧振子加工技術、諧振子品質(zhì)因數(shù)測試、頻差測試、材質(zhì)均勻度、鍍膜技術等進行有機結合及考慮，將材料研究與材料應用研究作為一個系統(tǒng)工程以進行研究。

諧振子表面殘余應力對殼體振動陀螺的性能有較大影響，研究表面殘余應力的形成機理，分析應力在諧振子表面的分布規(guī)律，對于提高陀螺性能具有重要意義。近年來，針對應力問題，國外進行了大量研究，為諧振子表面殘余應力的研究提供了借鑒和指導。

本文以半球諧振陀螺的表面殘余應力分析為主，重點圍繞半球諧振陀螺的表面殘余應力與疲勞壽命的分析研究，探索了表面殘余應力的大小與分布規(guī)律,從而進一步提升了半球陀螺諧振子的品質(zhì)。

1 半球諧振子的基本結構

高精度半球諧振陀螺的核心部件是采用熔融石英玻璃制造的半球諧振子，其基本形狀是在極點區(qū)域由圓柱形支撐桿固定的薄壁半球殼，為半球彈性體，可使每克諧振腔材料對彎曲能量的儲存達到最大值。支撐桿與半球殼采用一體加工的方式制造而成，支撐桿一方面可起到約束、支撐諧振子的作用，另一方面還可起到傳遞電信號的作用。其常見直徑為15～60mm，壁厚為0.3～1mm。半球諧振子的結構如圖1所示。

圖1 半球諧振子結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of hemispherical resonator structure

如圖1所示，

R

是諧振子的中面半徑，

h

為諧振子壁厚，

r

是支撐桿半徑，

L

、

L

和

L

是支撐桿不同位置的長度。半球諧振子選用的材料為熔融石英玻璃，各參數(shù)選取如表1所示。

表1 半球諧振子結構參數(shù)(單位：mm)

為了對半球諧振子的力學性能變化進行分析，采用SolidWorks軟件先進行對單端約束半球諧振子的二維草圖的繪制，然后再將二維草圖進行旋轉，得到三維的半球諧振子模型。選取8節(jié)點的SOLID45單元，以映射方式對半球諧振子進行網(wǎng)格劃分，可以得到半球諧振子的每個有限元單元均為8節(jié)點的六面體單元。其中，熔融石英材料的楊氏模量為

E

=76700MPa，其密度為2.2×10kg/m，泊松比為0.17。半球諧振子的三維實體模型如圖2所示。

圖2 半球諧振子有限元模型三維實體Fig.2 Finite element model of hemispherical harmonic oscillator 3D entity

2 半球諧振陀螺應力分析

2.1 應力強度因子

應力強度因子是驅動裂紋擴展的關鍵參數(shù)，表征了半球諧振子的裂紋擴展速率，反映了裂紋頂端附近應力的強弱程度。應力強度因子

K

與作用于半球諧振子表面裂紋頂端處的微應力

σ

、裂紋尺寸

a

之間的關系如式(1)所示

(1)

其中，

Y

表征的是半球諧振子構件幾何形狀的一個無因次系數(shù)。

不同的裂紋擴展類型有不同的應力強度因子，分別為張開型斷裂模式(I型)、滑動型斷裂模式(II型)，以及撕開型斷裂模式(III型)。

I型裂紋是低應力斷裂產(chǎn)生的主要原因，裂紋產(chǎn)生平面與I型裂紋表面的位移方向垂直，并且兩裂紋表面呈張開分離狀態(tài)。其各向應力計算如式(2)所示

(2)

II型裂紋是由與裂紋平面平行的剪應力使裂紋上下表面發(fā)生滑動而導致的裂紋擴展。其各向應力計算如式(3)所示

(3)

III型裂紋是由于受到平行于裂紋表面、與裂紋前緣平行的剪應力的作用，而導致裂紋上下表面錯開。其各向應力的計算如式(4)所示

(4)

其中，

σ

、

σ

、

σ

分別為

x

、

y

、

z

三個方向的拉應力，

τ

、

τ

、

τ

分別為

xy

、

xz

、

yz

三個面的剪切應力，

r

、

θ

為裂紋尖端處的極坐標。

2.2 殘余應力分析

殘余應力(Residual Stress)實質(zhì)上是構件自相平衡的內(nèi)應力，是當構件不受外部因素作用時，在構件內(nèi)部為達到平衡而存在的應力。殘余應力主要是由構件在加工過程中內(nèi)部塑性變形不均勻而引發(fā)的，其大小與構件材料的塑性變形量有關。構件在其毛坯制備、機械加工、熱效應處理和電子裝配的過程中均會產(chǎn)生殘余應力。殘余應力一般是有害的，但其存在有時不會立即表現(xiàn)為缺陷，而當構件在工作中因工作應力與殘余應力疊加使得總應力超過強度極限時，所導致的突發(fā)性破壞對構件的尺寸穩(wěn)定性、加工精度和靜強度等產(chǎn)生了嚴重的影響。殘余應力也有有益的作用，可以通過適當?shù)目刂铺岣甙肭蛑C振子構件的疲勞強度和耐磨性能。

2.3 應力分析仿真

2.3.1 前處理

使用SolidWorks軟件繪制半球模型并將其導入ANSYS，定義熔融石英材料參數(shù)，再進行網(wǎng)格劃分，具體過程如圖3所示。

圖3 半球諧振子有限元模型網(wǎng)格劃分Fig.3 Mesh division of the hemispherical harmonic oscillator finite element model

2.3.2 求解

本文采用封閉端為固定邊界，開口端為自由邊界的約束條件，在半球殼及以下部分自由之后對半球諧振子進行結構靜力分析。在半球殼球面上施加大小為0.5MPa的壓力，方向垂直球面向外施加一個張力，對諧振子半球殼的應力變化進行分析。

半球諧振子的模型約束加載圖如圖4所示。

圖4 半球諧振子模型加載約束圖Fig.4 Loading constraint diagram of hemispherical harmonic oscillator model

2.3.3 后處理

定義了材料，施加了載荷和約束，添加了結果后，模型便做好了求解的準備。在求解完成后，便可查看求解結果，后處理求解結果如下：

(1)殘余應力等效應力仿真結果，如圖5所示：

(a)正視圖

(b)底視圖圖5 殘余應力等效應力仿真Fig.5 Residual stress equivalent stress simulation

由殘余應力等效應力仿真圖可知：等效應力最大值出現(xiàn)的區(qū)域為桿的固定約束端，為569.43MPa；等效應力最小值為1.6795×10MPa。

(2)殘余應力強度仿真結果如圖6所示。

(a)正視圖

(b)底視圖圖6 殘余應力強度仿真Fig.6 Simulation of residual stress intensity

由殘余應力強度仿真圖可知，殘余應力強度最大值出現(xiàn)的區(qū)域為桿的固定約束端，為576.62MPa，等效應力最小值為1.9098×10MPa。

3 裂紋擴展與疲勞壽命分析

3.1 半球諧振子疲勞壽命

材料疲勞是指構件材料性能在應力作用下發(fā)生變化的現(xiàn)象。材料疲勞會嚴重制約構件的使用壽命，要提高材料的抗疲勞強度，就必須要詳細分析材料疲勞產(chǎn)生的原因。半球諧振子的制造希望提供盡可能小的振動環(huán)。由于半球諧振子是一個半球形腔殼體，其必須選用各向同性且內(nèi)部摩擦盡可能小的材料。熔融石英玻璃為半球諧振子的理想材料，也是目前半球諧振子制造環(huán)節(jié)最為常用的材料。

疲勞壽命表示半球諧振子構件在應力作用下發(fā)生疲勞破壞時所經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)，或者承受應力作用的時間。疲勞壽命主要受材料的尺寸大小、加載應力的集中程度、材料試樣的表面加工情況及加載載荷的類型頻次等因素影響。傳統(tǒng)的疲勞壽命確定方法是以疲勞破壞理論及大量實驗壽命數(shù)據(jù)為基礎的，采用與構件實際情況相同或近似的實驗來獲得半球諧振子的疲勞數(shù)據(jù)，然后使用疲勞壽命分析不同方案的疲勞壽命，以校核半球諧振子構件的疲勞壽命是否滿足設計要求，并建立疲勞壽命預測模型和方法，在構件加工過程中進行科學處理，制定有針對性的措施，有效提高材料的抗疲勞強度。

3.2 裂紋擴展分析

在實際工程應用中，疲勞裂紋擴展也是疲勞壽命預測的重要內(nèi)容。疲勞裂紋所產(chǎn)生的原因，主要是其承受了循環(huán)式的交變載荷。疲勞裂紋自表面產(chǎn)生后會沿著垂直于裂紋主應力的方向擴展。伴隨著裂紋擴展加速，應力逐漸增加，材料在達到其應力強度極限后,便會發(fā)生最終的瞬時斷裂。

在半球諧振子構件中，三維裂紋及尖端坐標系可抽象為如圖7所示。

圖7 裂紋尖端局部坐標系示意圖Fig.7 Schematic diagram of crack tip local coordinate system

根據(jù)線彈性斷裂力學對構件表面裂紋進行力學分析，可知由任意外載作用所產(chǎn)生的裂紋尖端附近的位移場與應力強度因子之間的關系可表達為

(5)

其中，

l

為裂紋擴展長度；

θ

為裂紋開裂角；

K

、

K

、

K

為各型應力強度因子；

u

、

v

、

w

為裂紋尖端徑向位移、法向位移和切向位移；

G

為剪切模量；

k

為與材料有關的常數(shù)。

若已知上裂紋表面與下裂紋表面的某一點位移，則可得裂紋應力強度因子計算公式

(6)

本文采用基于模型的有限元法分析半球諧振子亞表面裂紋在殘余應力狀態(tài)下的應力強度因子，為半球諧振子的疲勞壽命預測提供了理論基礎。

圖8為支撐桿和半球殼外表面連接處的橢圓形表面裂紋。其中，裂紋的主半徑為0.3mm，次半徑為0.1mm。

X

軸為裂紋擴展方向，

Y

軸為擴展法向，

Z

軸為橢圓裂紋前緣方向。加載后計算得到的等效應力云圖，以及I型、II型、III型裂縫應力強度因子圖如圖9和圖10所示。由圖9可以看出，支撐桿和半球殼連接處存在細小的應力變化。由圖10通過ANSYS計算可得I型裂縫應力強度因子

K

=0.13932MPa·mm，

(a)裂紋網(wǎng)格

(b)橢圓形裂紋圖8 橢圓形表面裂紋Fig.8 Elliptical surface crack

(a)應力整體云圖

(b)應力局部云圖圖9 應力云圖整體圖與局部圖Fig.9 Overall and local stress nephogram

(a)KI云圖

(b)KII云圖

(c)KIII云圖圖10 三種裂紋云圖求解Fig.10 Three kinds of crack nephogram solving

II型裂縫應力強度因子

K

=-33.446MPa·mm，以及III型裂縫應力強度因子

K

=-12.098MPa·mm。

3.3 半球諧振子疲勞壽命分析

3.3.1 Miner理論

應力循環(huán)是半球諧振子構件產(chǎn)生疲勞破壞的外因。在實際工程中，通常存在的是變幅應力循環(huán),情況較為復雜,需要利用疲勞累積損傷理論進行分析。

假定達到疲勞應力極限的應力不會損傷半球諧振子構件，變幅應力載荷的加載順序對疲勞累計損傷也不產(chǎn)生任何影響。Miner理論認為：

(1)當構件受到等幅荷載時,由一次循環(huán)造成的構件損傷為

(7)

其中,

N

對應當前載荷水平的疲勞壽命。由

n

次循環(huán)造成的損傷為

(8)

當

n

=

N

時,發(fā)生疲勞破壞。

(9)

其中,

N

為應力水平Δ

σ

在應力-循環(huán)次數(shù)(S-N)曲線上對應的循環(huán)次數(shù)。

3.3.2 疲勞抗力曲線

半球諧振子疲勞壽命預測方法以S-N曲線為依據(jù)進行壽命估算，可以經(jīng)計算直接得到總壽命。在目前的疲勞壽命預測工程中，常用Basquin公式表示恒幅載荷下疲勞壽命與應力的關系，表達式如下

(10)

其中，

N

為直至構件被破壞時的疲勞壽命循環(huán)次數(shù)；

σ

為應力幅值；

σ

′為構件疲勞強度系數(shù)，

σ

′與靜拉伸斷裂時的真實應力系數(shù)

σ

一致；

b

為疲勞強度指數(shù)。

由式(10)可以得到相應的S-N曲線的冪函數(shù)表達式為

σ

N

=

C

(11)

其中，

N

為疲勞壽命循環(huán)次數(shù)，

m

和

C

是與材料屬性及載荷加載有關的參數(shù)。

在陀螺正常工作期間, 半球諧振子最容易發(fā)生疲勞破壞的位置為桿的固定約束端。啟用基于有限元分析結果的疲勞分析設計工具MSC-fatigue對半球諧振子的應力值進行計算，并通過應力值插值S-N曲線得到半球諧振子的疲勞壽命。S-N曲線如圖11所示

圖11 S-N曲線Fig.11 The S-N curve

S-N曲線是材料所受交變應力與斷裂循環(huán)周次之間的關系曲線，一般可通過實驗獲得。這里，以熔融石英材料標準試件應力強度的對數(shù)值為縱坐標，以疲勞壽命的對數(shù)值為橫坐標，可表示一定循環(huán)特征下標準試件的疲勞強度與疲勞壽命之間的關系。

3.3.3 疲勞壽命仿真

疲勞計算采用了Miner累計疲勞準則。在該理論的假設下，變形仿真、損傷仿真與安全系數(shù)仿真如圖12、圖13及圖14所示。

(a)變形整體云圖

(b)變形局部云圖圖12 變形仿真圖Fig.12 Deformation simulation diagram

通過對圖12進行分析可知，在約束端，模型幾乎沒有形變，而模型的其他部位均存在不同程度的形變，形變最大值可達0.96312mm。

通過對圖13進行分析可知，大小為0.5MPa的殘余應力的存在對模型的不同部位都會導致不同程度的損傷，最高值可達3.032×10。同時，可觀察到球面與桿交界處存在數(shù)值為33778～67456的輕微損傷。

疲勞壽命的求解結果如圖14所示。

通過對疲勞壽命仿真圖(圖14)進行分析可知，在殘余應力作用下，壽命最短的位置為圖中的紅色區(qū)域，該區(qū)域的壽命循環(huán)次數(shù)為3298.1次。藍色區(qū)域為壽命最長的區(qū)域，壽命循環(huán)次數(shù)為1×10次，這說明藍色區(qū)域在殘余應力的存在下也可以無限的工作下去。

(a)損傷整體云圖

(b)損傷局部云圖圖13 損傷仿真圖Fig.13 Damage simulation diagram

(a)疲勞壽命整體云圖

(b)疲勞壽命局部云圖圖14 疲勞壽命仿真圖Fig.14 Fatigue life simulation diagram

4 結 論

最為常見的機械零件破壞形式就是疲勞損壞，本文利用ANSYS軟件對殘余應力對熔融石英半球諧振子損傷及裂紋擴展的影響進行了仿真分析。殘余應力對半球諧振子影響的最高值可達569.43MPa，并且由于殘余應力的存在，半球諧振子在約束端之外的部位均存在不同程度的形變與損傷。疲勞計算采用Miner累計疲勞準則，其壽命最短為3298.1次，壽命最長循環(huán)次數(shù)為1×10次，確定因殘余應力所引起的疲勞危險部位為半球諧振子的桿固定約束端。同時，在疲勞部位進行了裂紋擴展分析，得到的三種裂紋應力強度因子分別為

K

=77.656MPa·mm、

K

=-272.34MPa·mm和

K

=-23.82MPa·mm，為半球諧振子的結構設計和工程應用提供了理論支撐。