王玲玲 曹俊鑫 趙銀霜 程想 孔德文

摘 要：近場動力學(xué)假定一定范圍內(nèi)的物質(zhì)點之間存在非局部相互作用，通過空間積分重構(gòu)物質(zhì)點的運動方程，克服了傳統(tǒng)有限元方法位移場連續(xù)性條件的局限，在分析強非線性不連續(xù)問題時具有無網(wǎng)格屬性的數(shù)值優(yōu)勢，已成為研究脆性材料破壞的新興理論。本文簡要介紹了近場動力學(xué)的基本內(nèi)容及其理論框架，總結(jié)了近場動力學(xué)理論在脆性材料準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展、動態(tài)裂紋擴展及沖擊失效研究方面的應(yīng)用現(xiàn)狀。

關(guān)鍵詞：近場動力學(xué);脆性材料;裂紋擴展;數(shù)值模擬;沖擊失效

中圖分類號：O346.1

文獻標(biāo)志碼：A

由于本征脆性，混凝土、陶瓷、玻璃等脆性材料的破壞模式與破壞機理研究尤為重要。在達到極限承載力前，脆性材料經(jīng)歷從微裂紋產(chǎn)生到擴展的損傷過程，較低的抗拉強度使得裂紋擴展成為脆性材料的主要破壞模式。因此，許多學(xué)者力爭能夠準(zhǔn)確預(yù)測脆性材料或結(jié)構(gòu)的承載力以及相應(yīng)的裂紋擴展過程與路徑。目前，數(shù)值模擬是研究材料與結(jié)構(gòu)內(nèi)部裂紋產(chǎn)生與擴展問題的主要方法，如有限元方法（finite element method，F(xiàn)EM）[1]、擴展有限元方法（extended finite element method，XFEM）[2]和粒子方法[3]等。上述方法可以有效預(yù)測材料出現(xiàn)的大部分裂紋問題，但在復(fù)雜的裂紋問題（如裂紋合并、裂紋分支和任意三維裂紋問題）研究方面存在一定的局限性，而近場動力學(xué)在很大程度上克服了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（computational continuum mechanics，CCM）的局限性，能夠有效解決復(fù)雜的裂紋問題。

近場動力學(xué)（peridynamics，PD）的基本思想是由SILLING[4]提出的，它通過空間積分方程的求解來描述物質(zhì)點的運動，可以看作是經(jīng)典連續(xù)力學(xué)的一種非局部形式，因此PD中不再需要CCM中連續(xù)位移場的假設(shè)。即使在材料中出現(xiàn)不連續(xù)或裂紋，PD的控制方程也可以保持有效性。PD的另一個優(yōu)點是無需使用額外的裂紋擴展準(zhǔn)則，重新網(wǎng)格化方法和裂紋跟蹤方法，就可以自發(fā)預(yù)測損傷過程及裂紋擴展情況。這些自然特征使近場動力學(xué)在研究和預(yù)測材料中裂紋或不連續(xù)性問題時擁有強大的適用性，甚至可以使用近場動力學(xué)很好地模擬復(fù)雜的裂紋問題。

SILLING[5]首先提出的理論是鍵型近場動力學(xué) （bond-based peridynamics，BBPD），其中，兩個物質(zhì)點間的相互作用僅取決于該物質(zhì)點間鍵的變形。這種假設(shè)使泊松比受到限制，平面應(yīng)力情況下的泊松比固定為1/3，平面應(yīng)變和三維情況下的泊松比固定為1/4。為了解決這個問題，SILLING[6]在此基礎(chǔ)上提出了更通用的態(tài)型近場動力學(xué)（state-based peridynamics，SBPD）。態(tài)型近場動力學(xué)模型中兩個物質(zhì)點之間的相互作用不僅取決于物質(zhì)點間鍵的變形，還取決于連接到這兩個物質(zhì)點的其他鍵的變形。態(tài)型近場動力學(xué)模型包括常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)和非常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)兩種類型。常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)模型中力矢量的方向與鍵的方向平行，而非常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)模型中力矢量的方向與鍵的方向不要求平行[7]。相對于鍵型近場動力學(xué)，態(tài)型近場動力學(xué)的另一個優(yōu)勢是其PD表面效應(yīng)明顯小于BBPD[8]。由于近場動力學(xué)具有模擬各種復(fù)雜裂紋問題的強大能力，引起了研究人員越來越多的關(guān)注，并應(yīng)用于脆性材料破壞行為的研究工作中。

1 PD理論基礎(chǔ)

近場動力學(xué)理論通過求解空間積分方程而非有限元方法中的偏微分方程來描述物質(zhì)點之間的相互作用。在空間域R上，假設(shè)材料中的兩個物質(zhì)點在給定近場范圍δ內(nèi)時存在非局部的相互作用。物質(zhì)點之間的相互作用會引起鍵的伸長或縮短（見圖1），物質(zhì)點x和x′之間的相互作用力f可以由下式表示[4]：

2 近場動力學(xué)理論在材料破壞行為方面的應(yīng)用

近場動力學(xué)理論已成為解決不連續(xù)問題的一種新興理論，用于研究材料破壞行為，并取得了一系列較好的研究成果。本文總結(jié)了近場動力學(xué)理論在脆性材料準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展，動態(tài)裂紋擴展及沖擊破壞等方面的研究成果，闡明了近場動力學(xué)理論在研究脆性材料破壞行為方面的優(yōu)勢。

2.1 準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展研究

脆性材料的準(zhǔn)靜態(tài)破壞過程一般包括裂紋的萌生、擴展直至材料破壞，近場動力學(xué)理論可以較好地預(yù)測準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展路徑與模式。KILIC等[10]學(xué)者基于近場動力學(xué)理論，引入自適應(yīng)動態(tài)松弛法[11]，模擬了單軸拉伸荷載下帶孔平板的裂紋擴展過程，數(shù)值計算收斂性好，驗證了自適應(yīng)動態(tài)松弛法預(yù)測材料損傷行為的適用性，裂紋產(chǎn)生和擴展的預(yù)測結(jié)果如圖2所示。

黃丹等[12]學(xué)者將人工阻尼和系統(tǒng)失衡判斷準(zhǔn)則引入到模型中，實現(xiàn)了PD框架下靜力學(xué)的定量計算，結(jié)合外力分級加載方法，采用近場動力學(xué)方法定量地分析了準(zhǔn)靜態(tài)情況下材料的變形計算和破壞問題。并通過典型算例驗證了該算法的準(zhǔn)確性，采用近場動力學(xué)方法實現(xiàn)了由準(zhǔn)靜態(tài)變形、裂紋萌生和擴展直至結(jié)構(gòu)破壞的全過程模擬，準(zhǔn)確預(yù)測了破壞荷載、裂紋萌生部位與擴展路徑。此外，RABCZUK等[13]學(xué)者基于近場動力學(xué)理論，提出了適用于顆粒狀材料與巖石斷裂行為研究的dual-horizon peridynamics （DH-PD）公式。與傳統(tǒng)有限元法相比，DH-PD可以模擬裂紋的自然路徑，無需在裂紋表面添加任何準(zhǔn)則來處理復(fù)雜的斷裂形式（如裂紋分支和合并）。同時引入了人工阻尼，開展了巖石剪切試驗和巴西圓盤劈裂試驗過程的模擬，DH-PD的計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好。裂紋擴展問題的靜態(tài)解是分析結(jié)構(gòu)破壞荷載和破壞機理的有效方法。LI等[14]學(xué)者建立了適用于桁架和張拉整體結(jié)構(gòu)非線性靜力分析的近場動力學(xué)模型，通過應(yīng)變能密度的等價關(guān)系求解近場動力學(xué)參數(shù)，利用自適應(yīng)動態(tài)松弛方法來獲得穩(wěn)態(tài)解，并采用典型算例驗證了模型的有效性和準(zhǔn)確性。

近場動力學(xué)的運動方程是基于時間和位移的空間積分，模型中的物質(zhì)點是動態(tài)變化的，不適合直接進行靜力學(xué)計算與模擬準(zhǔn)靜態(tài)破壞過程。但可以通過引入人工阻尼的動態(tài)松弛方法，使物質(zhì)點在外力作用下達到平衡狀態(tài)，充分利用了PD方法在處理不連續(xù)問題上的優(yōu)勢來成功解決準(zhǔn)靜態(tài)破壞問題。此外，BREITENFELD等[15]學(xué)者用隱式算法實現(xiàn)了在非常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)框架內(nèi)的線彈性靜力學(xué)計算。GALVANETTO等[16]學(xué)者耦合了有限元與近場動力學(xué)網(wǎng)格以獲得靜態(tài)解。NI等[17]學(xué)者基于近場動力學(xué)數(shù)值程序，提出了兩種全新的隱式算法來研究裂紋擴展問題。以上研究成果表明基于近場動力學(xué)方法可以較好地實現(xiàn)準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展形態(tài)及過程的數(shù)值模擬。

2.2 動態(tài)裂紋擴展研究

脆性材料的動態(tài)裂紋擴展過程短暫，比準(zhǔn)靜態(tài)情況復(fù)雜，很難通過試驗觀測捕捉其裂紋萌生部位或裂紋擴展路徑，而近場動力學(xué)方法可以很好地重現(xiàn)動態(tài)裂紋的擴展過程。LEE等[18]學(xué)者建立近場動力學(xué)數(shù)值模型，研究了不同加載速率下裂紋的萌生和擴展現(xiàn)象，模擬了雙軸拉伸荷載下含有缺口的脆性聚合物的裂紋擴展和分叉情況，破壞模式與試驗觀察結(jié)果一致，并從裂紋擴展角度和彈性應(yīng)變能等方面揭示了脆性聚合物的破壞機理。ZHANG等[19]學(xué)者基于近場動力學(xué)理論，研究了動態(tài)載荷作用下環(huán)形試件的裂紋擴展問題，采用試驗結(jié)果驗證了近場動力學(xué)模擬結(jié)果的正確性，并開展了動態(tài)荷載作用下帶孔洞環(huán)形試件裂紋擴展的模擬，討論了孔洞對試件破壞路徑的影響。通過峰值應(yīng)力和破壞路徑模擬與試驗結(jié)果對比，證明了近場動力學(xué)理論分析動態(tài)荷載作用下巖石類材料破壞過程的有效性。Kalthoff-Winkler沖擊試驗（見圖3）是經(jīng)典的動態(tài)斷裂問題，成為了驗證模型適用性與算法準(zhǔn)確性的典型算例[20]。

ZHOU等[21]學(xué)者基于非常規(guī)態(tài)基近場動力學(xué)理論，引入應(yīng)力破壞準(zhǔn)則，即當(dāng)相互作用的物質(zhì)點之間的平均應(yīng)力滿足應(yīng)力破壞準(zhǔn)則時，相互作用的物質(zhì)點之間的鍵就會斷裂。將該方法用于動載荷作用下脆性材料的裂紋擴展和分叉現(xiàn)象研究中。利用Kalthoff-Winkler試驗驗證該數(shù)值方法的有效性和準(zhǔn)確性，并模擬了動態(tài)雙軸載荷下脆性材料（Homalite-100）的單個裂紋擴展與分叉，討論了幾何特征與載荷條件的影響情況。

近場動力學(xué)的非局部特性也存在一些不足，如存在表面效應(yīng)、邊界條件不夠靈活且計算效率低等缺點，但可以通過近場動力學(xué)與有限元耦合來彌補這些不足。MACEK等[22]學(xué)者利用桁架元素在FEM框架中實現(xiàn)了PD建模。KILIC等[23]學(xué)者提出引入重疊區(qū)域的耦合方法，在重疊區(qū)域中同時使用PD和FEM方程。SHOJAEI等[24]學(xué)者將近場動力學(xué)與有限點法（finite point-peridynamic method，F(xiàn)PM）耦合，開發(fā)了一種無網(wǎng)格方法來解決動態(tài)裂紋擴展問題，該方法將求解域分為三部分：PD離散化部分，F(xiàn)PM離散化部分及兩種方法之間切換的過渡部分，以完全無網(wǎng)格的形式實現(xiàn)耦合。用PD描述裂紋存在或可能擴展的區(qū)域，用FPM描述需要較少計算量的區(qū)域。通過數(shù)值方法成功模擬了動態(tài)斷裂動力學(xué)問題。PANCHADHARA等[25]學(xué)者基于近場動力學(xué)理論，利用近場動力學(xué)數(shù)據(jù)來估算應(yīng)力強度因子，研究加載速率對動態(tài)裂紋擴展的影響情況，并通過準(zhǔn)靜態(tài)拉伸試驗和Kalthoff-Winkler試驗驗證了該方法的可行性，結(jié)果表明隨著加載速率的增大，裂紋擴展速度加快，裂紋分叉數(shù)量增多。YANG等[26]學(xué)者將常規(guī)態(tài)基近場動力學(xué)和有限元法耦合，研究了動態(tài)載荷下脆性材料的斷裂現(xiàn)象。模型中的PD網(wǎng)格與FEM網(wǎng)格之間的作用力始終是相互平衡的，避免了耦合模型中過渡區(qū)域的復(fù)雜性，大幅降低了PD的表面效應(yīng)。通過對比FEM結(jié)果和常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)結(jié)果，驗證了所提出的耦合模型的正確性。此外，IMACHI等[27]學(xué)者基于常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)建立新的鍵失效模型，研究動態(tài)荷載下脆性材料的裂紋擴展現(xiàn)象。該模型將連接的鍵變?yōu)檫^渡鍵，用阻尼檢驗了過渡鍵的有效性，并減弱了應(yīng)力強度因子的數(shù)值振蕩，裂紋路徑的模擬結(jié)果與Kalthoff-Winkle試驗結(jié)果吻合良好。LAI等[28]學(xué)者建立了非常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)模型，引入改進的JH-2本構(gòu)模型并構(gòu)建了態(tài)型近場動力學(xué)公式，模擬了邊緣撞擊和玻璃平板落球沖擊試驗，模擬結(jié)果與試驗結(jié)果基本一致。

經(jīng)典的連續(xù)理論假設(shè)一個物質(zhì)點僅與其直接相鄰的物質(zhì)點產(chǎn)生相互作用。當(dāng)材料內(nèi)部發(fā)生裂紋萌生和擴展時，原本連續(xù)的位移場與應(yīng)力場將不再連續(xù)，裂紋尖端會產(chǎn)生奇異性。采用基于局部理論的有限元方法解決這些問題時，需要加入斷裂準(zhǔn)則來模擬裂紋的擴展與分叉，且在裂紋擴展后需要重新劃分網(wǎng)格，對網(wǎng)格的依賴性較大[29]。為了克服上述不足，WAGNER等[30]學(xué)者提出了擴展有限元方法，但當(dāng)出現(xiàn)位移不連續(xù)且涉及多個裂紋相互作用和分叉時，仍需引入裂紋擴展準(zhǔn)則。使用XFEM模擬三維裂紋擴展時，計算過程會變得復(fù)雜。光滑粒子流體動力學(xué)（smoothed particle hydrodynamics，SPH）方法能有效解決上述問題[31]，但是這類分子動力學(xué)方法存在如計算時間較長、計算量較低的明顯不足等。而近場動力學(xué)方法求解裂紋擴展等不連續(xù)問題時展現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢，無需預(yù)設(shè)裂紋路徑就可以模擬裂紋的自然萌生和擴展，并允許多條裂紋相互作用，且表現(xiàn)出很高的計算精度。此外，將有限元法與近場動力學(xué)耦合[32-33]，利用近場動力學(xué)離散裂紋擴展的區(qū)域，利用有限元法離散其他不需要大量計算的區(qū)域，大幅提高了模型的計算效率，同時降低了近場動力學(xué)模型的表面效應(yīng)。

2.3 沖擊破壞行為研究

脆性材料的沖擊破壞過程快速且復(fù)雜，準(zhǔn)確揭示沖擊裂紋的萌生和擴展機理難度較大，而近場動力學(xué)方法在脆性材料沖擊斷裂過程研究方面適用性較強。WU等[34]學(xué)者基于近場動力學(xué)建立了動態(tài)損傷模型來研究混凝土的沖擊破壞行為。該模型引入鍵的動態(tài)破壞及伸長率的損傷演化，建立了混凝土材料鍵的拉壓破壞與伸長率之間的關(guān)系，并預(yù)報了不同情況下試樣的裂紋擴展路徑和裂紋擴展速度，與試驗結(jié)果吻合較好。GUO等[35]學(xué)者建立了常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)模型，該模型引入線性的本構(gòu)來表征材料的力學(xué)行為，采用該模型模擬了Kalthoff-Winkler低速沖擊試驗，與試驗結(jié)果一致。王涵等[20]學(xué)者建立非常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)熱黏塑性模型，基于Kalthoff-Winkler沖擊試驗，考慮靶板溫度的變化，研究了不同沖擊速度對裂紋擴展角度與擴展速度的影響規(guī)律。

另外，近場動力學(xué)在材料熱沖擊行為研究中也表現(xiàn)出較強的適用性，在一定程度上克服了理論和傳統(tǒng)數(shù)值方法難以揭示熱沖擊裂紋萌生和擴展機理的弊端[36-39]。KILIC等[40-41]學(xué)者將鍵的熱拉伸引入到本構(gòu)力函數(shù)中，建立了非耦合鍵基近場動力學(xué)模型，成功地將該模型應(yīng)用到斷裂問題研究中。OTERKUS等[42]學(xué)者建立了鍵基與態(tài)基近場動力學(xué)的熱力耦合模型。KILIC等[43]學(xué)者基于近場動力學(xué)，研究了不同淬火溫度條件下含初始裂紋玻璃平板的裂紋擴展問題。WANG等[44]學(xué)者采用近場動力學(xué)熱力耦合模型，研究了熱沖擊下脆性材料的裂紋擴展與分叉，并驗證了模型的準(zhǔn)確性，模擬了紅外輻射加熱下陶瓷圓盤的裂紋擴展試驗，破壞路徑與試驗現(xiàn)象基本吻合。此外，還分析了熱流密度、預(yù)制缺口長度及近場范圍等因素對裂紋破壞形態(tài)的影響，系統(tǒng)地研究了裂紋尖端應(yīng)變能、裂紋分叉角和裂紋擴展速度對裂紋擴展的影響情況。XU等[45]學(xué)者建立了近場動力學(xué)模型，以預(yù)測熱沖擊下玻璃薄板的裂紋擴展。WANG等[46]學(xué)者在此基礎(chǔ)上考慮了熱力荷載下物質(zhì)點相對位移對熱彈性剛度與熱傳導(dǎo)的影響，基于鍵基近場動力學(xué)提出了改進的熱力耦合模型，用以研究熱沖擊作用下脆性材料的損傷機理，模擬了淬火條件下陶瓷材料的裂紋擴展試驗，數(shù)值結(jié)果（如圖4與圖5）與試驗現(xiàn)象吻合良好。

D′ANTUONO等[47]學(xué)者建立常規(guī)狀態(tài)型近場動力學(xué)熱力耦合模型，研究了熱沖擊下陶瓷薄板與厚板的斷裂行為， 得到二維有序平行裂紋和三維柱狀蜂窩裂紋的模擬結(jié)果。GIANNAKEAS等[48]學(xué)者基于鍵基近場動力學(xué)，模擬了熱沖擊下陶瓷材料的裂紋擴展，預(yù)測熱沖擊裂紋的損傷演化，評價極端溫度變化下陶瓷材料的熱沖擊響應(yīng)，模擬裂紋成核的動態(tài)過程。但有限元與近場動力學(xué)的耦合模型不適合模擬熱沖擊裂紋擴展過程中溫度場不連續(xù)變化現(xiàn)象。WANG等[49]學(xué)者基于常規(guī)態(tài)型近場動力學(xué)，考慮應(yīng)變軟化特性，引入微觀導(dǎo)熱系數(shù)，構(gòu)建微觀與宏觀幾何條件之間的關(guān)系，建立弱耦合熱彈性模型，模擬了淬火條件下陶瓷板的裂紋擴展問題，裂紋路徑與試驗現(xiàn)象吻合較好，結(jié)果表明試件尺寸和淬火溫度對應(yīng)變能和裂紋擴展速度影響顯著。

基于含有部分微分運動控制方程的數(shù)值方法可以成功預(yù)報沖擊裂紋的分叉和擴展[50-53]，但如果不引入破壞準(zhǔn)則就不能通過偏微分方程處理裂紋引起的位移不連續(xù)問題。近場動力學(xué)以積分形式重構(gòu)了連續(xù)體的運動方程，允許位移場不連續(xù)，在處理不連續(xù)性問題方面具有強大數(shù)值優(yōu)勢。利用近場動力學(xué)方法能更加直觀地獲得沖擊荷載作用下脆性材料裂紋擴展的整個過程，為不同工況下脆性材料裂紋擴展及分叉問題研究提供新途徑。

3 結(jié)語

作為一種非局部理論，近場動力學(xué)避免了傳統(tǒng)方法在解決不連續(xù)問題時存在的奇異性，成為研究脆性材料破壞行為的一種新興理論。本文在簡單介紹了近場動力學(xué)理論的基礎(chǔ)上，綜述了近場動力學(xué)理論在脆性材料準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展、動態(tài)裂紋擴展、沖擊損傷等方面的研究近展，總結(jié)如下：

1）與經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)不同，近場動力學(xué)采用積分方程而不是位移分量的導(dǎo)數(shù)來表示。近場動力學(xué)允許材料內(nèi)部自發(fā)的裂紋萌生與擴展路徑自由，無需引入額外的裂紋擴展準(zhǔn)則。在近場動力學(xué)理論中，內(nèi)力是由連續(xù)體中任意兩個物質(zhì)點之間的本構(gòu)關(guān)系來表示的，損傷是本構(gòu)模型的一部分。

2）通過引入人工阻尼的動態(tài)松弛法，使材料點在外力作用下達到平衡狀態(tài)，也可通過隱式算法得到靜態(tài)解，證明了近場動力學(xué)方法模擬準(zhǔn)靜態(tài)裂紋擴展形態(tài)及過程的適用性。

3）近場動力學(xué)以積分形式重構(gòu)連續(xù)介質(zhì)的運動方程，允許位移場不連續(xù)，在處理不連續(xù)問題時有數(shù)值優(yōu)勢。采用近場動力學(xué)模型可以更好地展現(xiàn)脆性材料裂紋擴展的全過程，彌補試驗中難以觀測的不足。

4）近場動力學(xué)與有限元的耦合降低了近場動力學(xué)模型的表面效應(yīng)，降低了計算成本，提高了計算效率。

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（責(zé)任編輯：于慧梅）

Application Situation of Peridynamics Theory in the Study

of the Failure of Brittle Materials

WANG Lingling， CAO Junxin*， ZHAO Yinshuang， CHENG Xiang， KONG Dewen

（College of Civil Engineering， Guizhou University， Guiyang 550025， China）

Abstract：

Peridynamics assumes that there are non-local interactions between material points within a certain range， and the equations of motion of the material points are reconstructed through integral operator. The limitation of the continuity condition of displacement field of traditional finite element was eliminated. The numerical advantage of the meshless property of peridynamic in analysing strong nonlinear discontinuity problems makes it become an emerging theory for studying the failure of brittle materials. The basic content and theoretical framework of peridynamics were briefly introduced. The application situation of peridynamics theory in material failure research was summarized in terms of quasi-static crack propagation， dynamic crack propagation and impact failure.

Key words：

peridynamic; brittle material; crack propagation; numerical simulation; impact failure

收稿日期：2021-03-04

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（51968009）;貴州省科技計劃資助項目（[2020]1Y244）;貴州大學(xué)資助項目（貴大培育[2019]28號）

作者簡介：王玲玲（1985—），女，副教授，博士，研究方向：復(fù)合材料力學(xué)性能研究，E-mail：llwang1@gzu.edu.cn.

通訊作者：曹俊鑫，E-mail：1115006391@qq.com.