胡 立

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

跳舞的硬幣是2018年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT2018)的一道賽題，題目翻譯為：拿一個非常冷的瓶子，把一枚硬幣放在瓶口.過一會兒你會聽到聲音，并看到硬幣運(yùn)動.本文要解釋這個現(xiàn)象，并探究相關(guān)參數(shù)是如何影響硬幣“舞蹈”的.

到目前為止，已有不少論文從熱力學(xué)的角度對該題進(jìn)行了分析[1,2].認(rèn)為硬幣“跳舞”是因?yàn)槠績?nèi)冷空氣被外界環(huán)境加熱，氣體溫度升高過程中壓強(qiáng)也升高，到一定程度可以使硬幣一端翹起，同時還研究了硬幣“跳舞”的周期性.然而，鮮有研究者從動力學(xué)角度入手，針對單次跳動過程中硬幣的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行討論.

基于力學(xué)常識，我們可以先對硬幣跳動的過程做一定性分析.硬幣有一條旋轉(zhuǎn)對稱的軸線，圓環(huán)狀的瓶口也有一條旋轉(zhuǎn)對稱的軸線，倘若我們將硬幣放置在瓶口時兩者的中心軸線是重合的，在瓶內(nèi)氣壓升高推動硬幣向上運(yùn)動的過程中硬幣應(yīng)該是被整個抬起.然而，實(shí)驗(yàn)中觀察到的硬幣跳動過程卻都是一端翹起，繞著過硬幣另一端的水平軸作定軸轉(zhuǎn)動.這是因?yàn)槲覀冊诜胖糜矌诺倪^程中并不能保證硬幣和瓶口兩者軸線完全重合，總會有一個放置誤差Δx，導(dǎo)致在瓶內(nèi)氣壓升高時硬幣更傾向于繞著遠(yuǎn)離瓶口中心的一端作定軸轉(zhuǎn)動.

本文嘗試從硬幣的放置誤差入手，對硬幣單次“跳舞”過程進(jìn)行分析，并就放置誤差對硬幣翹起高度的影響做進(jìn)一步探討.

1 理論模型與硬幣的運(yùn)動方程

如圖1所示，我們可以構(gòu)建這樣一個模型：設(shè)瓶口內(nèi)徑為2r，一元硬幣的半徑為R，過程中硬幣翹起的角度為θ，硬幣的質(zhì)量為m，水的表面張力系數(shù)為σ.

圖1 硬幣“跳舞”的示意圖

初始時刻，硬幣水平地靜止在瓶口，其邊緣與瓶口接觸區(qū)域有一層薄薄的液膜，隨后在內(nèi)部氣壓的作用下，硬幣更靠近瓶口中心的一端迅速向上翹起，翹起至特定高度時，硬幣與瓶口間的液膜破裂，瓶內(nèi)外氣體快速交換(此過程可視為絕熱膨脹)[2]，瓶內(nèi)壓強(qiáng)降低，導(dǎo)致硬幣受到的向上的支持力減小，硬幣轉(zhuǎn)動的角加速度方向變?yōu)橐耗て屏亚暗南喾捶较?

硬幣在液膜破裂前的轉(zhuǎn)動過程中受到3個力提供力矩：豎直向下的重力、垂直于硬幣表面向上的支持力以及垂直于硬幣表面向下的表面張力[3].由于放置誤差的存在，硬幣受到的向上的支持力對應(yīng)的力臂是(R+Δx)，硬幣的運(yùn)動方程為

(1)

式中I表示硬幣繞軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量，p1表示液膜破裂前硬幣翹起的短時間內(nèi)瓶內(nèi)外氣體壓差.由于硬幣可近似為薄圓盤，故其繞軸轉(zhuǎn)動慣量為[3]

(2)

在液膜破裂后的轉(zhuǎn)動過程中，硬幣的運(yùn)動方程為

(3)

式中p2表示液膜破裂，內(nèi)外氣體交換后的短時間內(nèi)瓶內(nèi)外氣體壓差(后續(xù)實(shí)驗(yàn)表明p2≠0).硬幣翹起高度可表示為H=2Rsinθ.

2 實(shí)驗(yàn)裝置與方法

圖2是主要的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖.其中有采用亞克力材料自行制作的瓶子，并在其內(nèi)部插入采樣率為2 Hz、分辨率為0.1 Pa的壓強(qiáng)傳感器(插入壓強(qiáng)傳感器是為了探測硬幣“跳舞”過程中瓶內(nèi)壓強(qiáng)的變化，尤其是瓶內(nèi)外氣體交換前后的壓強(qiáng)，為數(shù)值計算提供必要參數(shù)).

實(shí)驗(yàn)時，將冷卻后的瓶子連同壓力傳感器置于溫度均勻的室內(nèi)桌面上，按一定的放置誤差Δx放置好硬幣，并采用高速攝像機(jī)對硬幣運(yùn)動過程進(jìn)行錄制.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

實(shí)驗(yàn)裝置的參數(shù)為：R=12.5 mm,r=10.00 mm,m=6.05 g,水的表面張力系數(shù)σ≈72×10-3N/m.

實(shí)驗(yàn)主要分為兩部分，一是記錄硬幣翹起高度隨時間的變化，二是測量瓶內(nèi)的壓強(qiáng)變化，特別是硬幣運(yùn)動過程中的壓強(qiáng)變化.因?yàn)橐耗て屏押笃績?nèi)外氣體交換十分迅速，我們可以將液膜破裂前硬幣上升過程中瓶內(nèi)外壓差p1視為常量，液膜破裂后短暫時間內(nèi)瓶內(nèi)外壓差p2視為常量.

由圖3可以發(fā)現(xiàn)，內(nèi)外氣體交換后瓶內(nèi)外壓差并不為零，這與一般文章所認(rèn)為的“絕熱膨脹后內(nèi)外等壓”并不相符.另外，由于壓強(qiáng)傳感器采樣率為2 Hz的限制，我們并不能測量出硬幣舞動過程中微小時間段內(nèi)瓶內(nèi)外壓差變化的確切數(shù)值，但可以選取多次測量的極值分別作為p1和p2.顯然，測量次數(shù)越多，所得極值越逼近真實(shí)值.經(jīng)過多次測量，最終測得p1=196 Pa，p2=61 Pa.

圖3 硬幣連續(xù)跳動時瓶內(nèi)外壓差p與時間t的關(guān)系曲線

同時，多次實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，在不同的放置誤差下，硬幣翹起過程中液膜總是在同一高度H0=0.82 mm破裂，這也將成為數(shù)值計算時液膜破裂時間的重要判斷依據(jù).

3 結(jié)果與分析

如圖4所示，在給定放置誤差Δx=0.7 mm的情況下，隨著時間t的增大，硬幣翹起高度H先升高后降低，且理論與實(shí)驗(yàn)符合得較好.

圖4 硬幣翹起高度H與時間t的關(guān)系曲線

同時，實(shí)驗(yàn)所測得的全過程時間比較短，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)過程中液膜破裂并不完全，瓶口與硬幣的接觸部分仍有一部分殘留的液膜.倘若在理論模型中的液膜破裂后運(yùn)動過程也加入部分表面張力，則理論模型的全過程時間會更接近實(shí)驗(yàn)測定值.

圖5 等差地改變放置誤差Δx時H與t的理論關(guān)系曲線

在圖5中，等差地改變放置誤差Δx，發(fā)現(xiàn)硬幣所能達(dá)到的最大高度Hmax隨著Δx的增大而增大.這與我們的物理直覺是相符的，放置誤差越大，瓶內(nèi)壓強(qiáng)提供的向上支持力力臂(R+Δx)越大，硬幣翹起的角加速度就越大，硬幣更容易翹起且翹起更快，進(jìn)而在液膜破裂時積累了更大的角速度，能夠達(dá)到的最大高度Hmax也隨之增大.

3 結(jié)論

本文通過提出“放置誤差”這一重要概念，從動力學(xué)的角度，對硬幣“跳舞”的過程進(jìn)行了分析，推導(dǎo)出硬幣運(yùn)動的二階常微分方程，通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)硬幣翹起的最大高度與轉(zhuǎn)動全程時間都與放置誤差存在密不可分的聯(lián)系.放置誤差越大，硬幣翹起的最大高度就越大，轉(zhuǎn)動全程所花的時間越少，并且通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論模型的正確性.