花曉彬，花世群

(江蘇大學 物理與電子工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

牛頓環(huán)干涉不僅是大學物理理論課上薄膜干涉章節(jié)的重點講授內容，同時，牛頓環(huán)干涉實驗也是大學物理實驗中重要的基礎性光學實驗之一，因此，吸引了許多教師和學生對該問題的研究興趣.目前國內對牛頓環(huán)干涉的研究內容主要集中在如下3個方面：1)應用研究，如將牛頓環(huán)干涉儀用于測量透明玻璃或液體的折射率[1,2]、玻璃材料彈性模量[3]、微振動測量[4]、單色光波長測量[5]、應力測量[6]和基于牛頓環(huán)干涉原理的光軸平行性校準方法研究等[7,8]；2)測量方法研究，如曹佳妍、鄧敏和胡解生等人分別提出在牛頓環(huán)干涉實驗中最佳測量環(huán)數(shù)的選取方法和暗環(huán)直徑的自動測量方法[9-11]；3)數(shù)據(jù)處理方法研究，如趙紀平和徐紅等人分析了牛頓環(huán)干涉實驗中常用的逐差法、加權法和一元線性回歸法等方法[12,13]，比較得出不同數(shù)據(jù)處理方法的優(yōu)缺點.本文基于牛頓環(huán)干涉實驗中，移動顯微鏡所測得的干涉條紋在水平方向的位置讀數(shù)，再結合相鄰兩個干涉條紋所在位置，在豎直方向空氣層厚度差為1/2波長，巧妙獲取牛頓環(huán)裝置中平凸透鏡球面上測點的橫坐標和縱坐標，進而由擬合得到平凸透鏡球面測點所在的大圓方程，求得平凸透鏡球面的曲率半徑值.

1 測量原理

圖1所示的牛頓環(huán)干涉裝置，由一個曲率半徑較大的平凸透鏡和一塊光學平板玻璃疊合組成, 位于上方的凸球面與下方平板玻璃上表面之間形成的空氣薄層，在單色平行光自上而下垂直入射時，利用空氣薄層上、下表面對入射光的依次反射，產生如圖2所示，以平凸透鏡和光學平板玻璃接觸點為中心的一系列明暗交替排列的同心圓環(huán)，這些內疏外密的同心圓環(huán)可近似認為分布在平凸透鏡的凸球面上.

圖1 牛頓環(huán)裝置

圖2 牛頓環(huán)干涉圖樣

在圖3中，假設牛頓環(huán)平凸透鏡的球面球心位于C點，球面的曲率半徑為R.在觀測到的干涉條紋中，選取級次分別為m、n的兩個圓環(huán)，設m級圓環(huán)的直徑為A1A2，大小記為Dm，n級圓環(huán)的直徑為B1B2，大小記為Dn.則平凸透鏡球面的曲率半徑[14]

(1)

其中，λ=589.3 nm，為鈉光源波長.

圖3 平凸透鏡球面大圓平面直角坐標系

現(xiàn)在干涉圓環(huán)直徑所在的大圓平面內建立圖3所示平面直角坐標系，其中，x軸建立在干涉圓環(huán)的直徑方向(即測量干涉圓環(huán)直徑時讀數(shù)顯微鏡的水平移動方向)，y軸建立在豎直向上方向.則牛頓環(huán)中平凸透鏡球面在xoy平面內的大圓可表示為如下方程

(x-a)2+(y-b)2=R2

(2)

其中，a和b分別為大圓圓心(即牛頓環(huán)平凸透鏡球面的球心)在圖3所示平面直角坐標系中的橫坐標和縱坐標.

理論上只需要測得平凸透鏡球面位于圖3所示平面直角坐標系上的任意3點坐標，即可利用式(2)求得牛頓環(huán)的曲率半徑R.

若在實驗中沿圓環(huán)的直徑方向移動讀數(shù)顯微鏡，依次測得圖3中兩個圓環(huán)直徑A1A2和B1B2的四個端點A1、B1、B2和A2的位置讀數(shù)，并且將結果分別作為四個測點的橫坐標，分別用xm1、xn1、xn2和xm2表示.則干涉圓環(huán)直徑和大圓圓心的橫坐標可分別用式(3)和(4)表示為

Dm=xm2-xm1，Dn=xn2-xn1

(3)

(4)

令兩個圓環(huán)直徑A1A2和B1B2的四個端點A1、B1、B2和A2的縱坐標分別表示為ym1、yn1、yn2和ym2，則在圖3所示平面直角坐標系中，有

ym1=ym2=0

(5)

考慮到牛頓環(huán)實驗中入射光的垂直入射條件，相鄰兩個級次的暗環(huán)在豎直方向空氣層厚度差為1/2波長，則

(6)

由上述分析可見，通過移動讀數(shù)顯微鏡，只要依次測得兩個不同級次干涉圓環(huán)直徑的四個端點橫坐標，再由式(5)和(6)確定的端點縱坐標，結合式(4)計算到的大圓圓心的橫坐標，即可通過擬合出的式(2)求得牛頓環(huán)曲率半徑的大小.

2 實驗結果

為驗證新方法的可行性，首先從參考文獻[12]中《等厚干涉—牛頓環(huán)實驗》一文中，選取了m=50和n=25兩個級次的圓環(huán)測量數(shù)據(jù)：xm1=23.678 mm、xn1=26.901 mm、xn2=42.870 mm和xm2=46.094 mm；令ym1=ym2=0，另由式(6)計算得到：yn1=yn2=-0.00736625 mm.

基于七維高科公司提供的1stOpt軟件平臺，應用上面求到的4個測點的坐標數(shù)據(jù)，對式(2)表示的大圓進行擬合，擬合所得牛頓環(huán)曲率半徑R為4.20 m，與參考文獻[14]中由逐差法求得的曲率半徑4.22 m結果吻合，兩者相對誤差為0.47%.

為進一步驗證新的數(shù)據(jù)處理方法，按通常的實驗操作步驟對級次m=30和n=11兩級暗環(huán)進行了實際測量，實測數(shù)據(jù)見表1. 將表1測量數(shù)據(jù)帶入式(3)求出環(huán)直徑，再由式(1)求得牛頓環(huán)曲率半徑R=873.92 mm.

表1 實驗測量數(shù)據(jù)

將表1中數(shù)據(jù)和按式(4)計算得到a=25.1695 mm值一并輸入1stOpt軟件進行大圓方程擬合，擬合方程所用編寫代碼見圖4.

圖4 數(shù)據(jù)擬合軟件代碼界面

擬合結果的均方差=0.0001038，殘差和=4.3091307×10-8，相關系數(shù)=0.9999998，曲率半徑R=879.45 mm.擬合結果與式(1)的計算結果一致，兩者相對誤差0.63%.

3 結論

新方法的實驗驗證表明，將牛頓環(huán)干涉實驗中觀測到的等厚干涉圓環(huán)直徑和級次數(shù)據(jù)轉化為牛頓環(huán)中平凸透鏡球面的大圓上的測點坐標，通過擬合大圓方程, 求得牛頓環(huán)平凸透鏡球面的曲率半徑的方法不僅可行，而且結果可靠的.另外，新的數(shù)據(jù)處理方法不僅通過實驗中體現(xiàn)的物理原理和思想，強化了學生對牛頓環(huán)儀等厚干涉特點的理解，還訓練了學生學會用物理語言和基本的數(shù)學方法處理科學問題.