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        電荷投影法在研究無限長導(dǎo)體薄板電荷分布規(guī)律中的應(yīng)用

        2021-07-04 07:11:52周群益莫云飛周麗麗侯兆陽
        大學(xué)物理 2021年7期
        關(guān)鍵詞:圓柱面面密度薄板

        周群益,莫云飛,周麗麗,侯兆陽

        (1. 廣州理工學(xué)院,廣東 廣州 510540;2. 長沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院,湖南 長沙 410022;3. 贛南醫(yī)學(xué)院 醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院,江西 贛州 341000;4. 長安大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系,陜西 西安 710064)

        當(dāng)無限長帶電薄板均勻帶電時,容易推導(dǎo)三維空間電場強度的公式.通過分析和作圖可以發(fā)現(xiàn):均勻帶電薄板表面場強的切向分量不為零,因而這種薄板不是導(dǎo)體[1].

        熊建平老師利用均勻帶電球面的電荷投影法推導(dǎo)了導(dǎo)體圓形薄板電荷分布的面密度公式[2],白占武老師進一步推導(dǎo)了導(dǎo)體橢圓形薄板電荷分布的面密度公式[3].我們利用無限長均勻帶電圓柱面在水平面上的投影,推導(dǎo)了寬度等于圓柱直徑的無限長導(dǎo)體薄板的電荷面密度公式.根據(jù)導(dǎo)體表面是等勢面和導(dǎo)體薄板的邊界條件,證明電荷密度公式是唯一的.由此計算出了空間的電勢和場強等一系列結(jié)果并做了可視化處理.

        1 無限長導(dǎo)體薄板的電荷面密度分布規(guī)律

        設(shè)一個半徑為L的無限長均勻帶電圓柱面,其電荷面密度為σ0.圓柱面的截面如圖1所示,z方向垂直平面向外,代表軸線方向.圓柱面沿z方向的線電荷密度為

        λ=2πLσ0

        (1)

        在柱內(nèi)任取一點P,過點P作直線與圓周相交于點P1和P2,直線P1P2與Ox軸的夾角是φ,與兩個半徑OP1和OP2的夾角都是α.當(dāng)直線P1P2繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)角度Δφ時,點P1和P2掃過的弧長分別為Δs1和Δs2,當(dāng)Δφ為小量時,過點P1和P2垂線與圓弧(切線)之間的夾角近似為α.弧長分別為:

        其中,r1和r2分別表示點P到P1和P2的距離.圓柱面上與Δs1對應(yīng)的無限長面元上沿z方向的電荷線密度為

        其在點P產(chǎn)生的電場強度的大小為

        (2)

        方向沿著P1P2的直線.與Δs2對應(yīng)的無限長面元上沿z方向的電荷線密度為

        其在點P產(chǎn)生的電場強度的大小同樣為

        (3)

        方向沿著P2P1的直線.ΔE1和ΔE2在點P產(chǎn)生場強大小相等,方向相反,因而合場強為零.由推導(dǎo)過程可知:不論角φ怎么變化,上述結(jié)論均成立.因此,點P處的場強為零.與用高斯定理得到的結(jié)論一致,圓柱面是等勢面,圓柱體是等勢體.

        圖1 無限長均勻帶電圓柱面的橫截面

        將圓柱面上過點P1和P2的沿z方向的無限長直線投影到Oxz平面,分別與x軸交于點P′1和P′2,如果令P′1和P′2處的無限長面元的線電荷密度還是Δλ1和Δλ2,則它們在點P產(chǎn)生的場強分別為:

        (4)

        (5)

        設(shè)P′1到原點的距離OP′1為l,那么投影的長度為Δl=Δs1sinθ, 考慮到上下兩個半柱面,因此,投影的電荷面密度為

        (6)

        這是等勢面(Oxz平面)上的電荷分布規(guī)律.

        在Oxz平面上沿x軸取線元dl,則寬度為dl的無限長面元上電荷沿z方向的線密度為

        (7)

        Oxz平面上寬為2L的無限長平面電荷沿z方向的線密度為

        這正好是式(1)的結(jié)果.根據(jù)上述分析,結(jié)合唯一性定理可知:無限長導(dǎo)體薄板與直徑等于薄板寬度的無限長均勻帶電圓柱面沿z方向的電荷線密度是相同的.式(6)就是無限長帶電荷導(dǎo)體薄板的面密度.等勢面上的場強只有垂直分量.

        2 無限長帶電導(dǎo)體薄板的電勢和場強

        線電荷密度為λ的無限長直線電荷的電勢為

        (8)

        其中,r0是由電勢零點確定的距離.

        如圖2所示,在無限長帶電導(dǎo)體薄板的Oxy橫截面上取一個線元dl,寬度為dl的無限長面元的線電荷密度由式(7)決定,產(chǎn)生的電勢為

        r是場點P(x,y)到線元的距離:

        (9)

        因此,導(dǎo)體薄板在空間產(chǎn)生的電勢為

        (10)

        這個定積分沒有精確的解析解,只能求數(shù)值解.

        圖2 無限長帶電導(dǎo)體薄板的橫截面和電勢

        場強的x分量為

        (11)

        場強的y分量為

        (12)

        這兩個定積分也沒有精確的解析解,只能求數(shù)值解.

        當(dāng)x=0時,可得中垂線上的電勢和場強分量:

        (13)

        (14)

        (15)

        當(dāng)y=0且|x| >L時,可得板平面上板外的電勢和場強分量:

        (16)

        (17)

        Ey(x,0)=0

        (18)

        當(dāng)y=0且|x|

        設(shè)l=Lsint,則dl=Lcostdt,板中心的電勢為

        無論是用手工還是用MATLAB都可以證明:

        因此

        (19)

        由于導(dǎo)體是等勢體,所以U(0,0)也是薄板的電勢.板平面內(nèi)的場強為零.利用式(6),可得導(dǎo)體板表面場強的大小:

        Ex(x,0) =0

        (20)

        (21)

        場強在導(dǎo)體上表面的方向向上,在下表面的方向向下.在x=0處,薄板兩個表面在中心處場強的大小為

        Ey(0,0)=4πkσ0

        (22)

        各處合場強大小和方向分別為

        (23)

        3 電勢和場強公式的無量綱化

        取L為長度單位,取σ0為面電荷密度單位,則導(dǎo)體薄板的無量綱的電荷密度,即:相對電荷面密度為

        (24)

        其中,l*=l/L.

        取無限長均勻帶電薄板的中心為電勢零點,可得r0=L/e[1].取U0=kλ=2πLkσ0為電勢單位,由式(8)可得無限長直線電荷的無量綱電勢,即:相對電勢為

        (25)

        其中,r*=r/L.取無量綱的坐標(biāo)為

        x*=x/L,y*=y/L

        (26)

        則導(dǎo)體薄板的無量綱的電勢為

        (27)

        設(shè)E0=2πkσ0,顯然,E0=U0/L.取E0為場強單位,則無量綱的場強分量,即相對場強的分量為

        (28)

        (29)

        中垂線和板平面上的電勢和場強也可以做無量綱化處理.

        當(dāng)定積分沒有解析解時,可以用數(shù)值積分計算其值.導(dǎo)體的無量綱的電勢為

        (30)

        導(dǎo)體板表面無量綱的場強為

        (31)

        (32)

        此式與無量綱的電荷面密度在數(shù)值上是相等的.

        無量綱的合場強大小和方向分別為:

        (33)

        將公式無量綱化就能做純數(shù)值計算.利用Matlab的指令plot和surf可畫出曲線和曲面[4].

        4 電勢和電場的可視化

        1) 如圖3 之上圖所示,無限長帶電導(dǎo)體薄板的電荷面密度σ(l)在圓心處最小,隨著距離|l|的增加而增加;當(dāng)l→±L時,σ(l)→+∞.這個電荷面密度是均勻分布在柱面上的電荷在板面上投影的結(jié)果,由于柱面在板面邊緣附近面積的投影趨于零,所以有σ(l)→+∞(l→±L).如圖3 之下圖所示,在板平面上,包括板內(nèi),場強的分量Ey(x,0)為零;在板的上表面,Ey(x,0+)的分布規(guī)律與電荷面密度的分布規(guī)律是相同的;在板的下表面,Ey(x,0-)的大小與Ey(x,0+)的大小相等,方向相反.

        2) 中垂線上的電勢U(0,y)如圖4之上圖所示,帶電導(dǎo)體薄板的電勢在軸線上是尖點.當(dāng)距離比較大時,中垂線上的電勢分布接近于線電荷的電勢分布.中垂線上的場強分量Ey(0,y)如圖4之下圖所示,軸線上的場強為零,在薄板兩邊的方向相反;當(dāng)距離比較大時,中垂線上的場強分布接近于線電荷的場強分布.

        圖3 電荷密度和板平面場強y分量的分布規(guī)律

        圖4 中垂線上的電勢和場強

        3) 板平面的電勢U(x,0)的曲線如圖5之上圖所示,無限長帶電導(dǎo)體薄板在板面的電勢是常數(shù),說明導(dǎo)體表面是等勢面.當(dāng)距離比較大時,板平面上的電勢接近于線電荷的電勢.板平面上的電場分量Ex(x,0)如圖5之下圖所示,板內(nèi)的場強為零,板外兩邊場強的方向相反.當(dāng)距離比較大時,板平面上的場強接近于線電荷的場強.

        圖5 薄板平面上的電勢和場強

        4) 電荷的電勢U(x,y)分布面如圖6所示,無限長帶電導(dǎo)體薄板的電勢是水平線,說明表面是等勢面;離電荷越遠,其電勢就越小.

        圖6 電勢分布面

        5) 電場的x分量Ex(x,y)的曲面如圖7所示,帶電導(dǎo)體薄板的Ex(x,y)在(±L,0)處的“峰”較高,而“谷”較深,這是因為電荷面密度在兩處較大.

        圖7 場強的x分量的分布面

        6) 電場的y分量Ey(x,y)的曲面如圖8所示,板內(nèi)的Ey為零,板前后兩面的Ey形成了弧形的“峭壁”,這是因為板兩面的Ey方向相反,而在(±L,0)處的Ey較大.

        圖8 場強y分量的分布面

        7) 合場強E(x,y)的曲面如圖9所示,(0,0)處是鞍點;合場強在中垂線附近比較小,在板平面附近比較大,在(±L,0)處有兩個尖銳的“峰”.

        圖9 合場強的分布面

        8) 合場強E(x,y)的方向角α(x,y)曲面如圖10所示,α在x>L的正軸上為零;α在y的正軸上為90°;α在y的負軸上為-90°;α在x<-L的負軸上發(fā)生從180°到-180°的跳躍,這是因為180°和-180°是同一個角度;α在-L

        圖10 場強方向的分布面

        9) 帶電導(dǎo)體薄板的等勢線和電場線如圖11所示,盡管薄板表面的場強不是均勻的,為了簡單起見,電場線的起點仍然均勻取在薄板的表面上;電場線垂直于薄板,等勢線包圍薄板,與電場線垂直.在較遠處,等勢線接近于圓,電場線接近直線.

        圖11 無限長帶電導(dǎo)體薄板的等勢線和電場線

        5 結(jié)束語

        利用無限長均勻帶電圓柱面的投影計算無限長帶電導(dǎo)體薄板的電荷面密度,這是一種巧妙的幾何方法.根據(jù)曲線可以顯示電荷的分布規(guī)律,利用曲線還能顯示中垂線和板平面的電勢和場強的分布規(guī)律,利用曲面可以顯示電勢和場強的一般分布規(guī)律.利用電場線和等勢線可以驗證導(dǎo)體表面的面電荷分布的正確性.

        利用本文的方法和結(jié)果可以深入討論導(dǎo)體平行板電容器的電勢和電場以及能量的分布規(guī)律.

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