周群益，莫云飛，周麗麗，侯兆陽

(1. 廣州理工學(xué)院，廣東 廣州 510540；2. 長沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長沙 410022；3. 贛南醫(yī)學(xué)院 醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000；4. 長安大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710064)

當(dāng)無限長帶電薄板均勻帶電時，容易推導(dǎo)三維空間電場強度的公式.通過分析和作圖可以發(fā)現(xiàn)：均勻帶電薄板表面場強的切向分量不為零，因而這種薄板不是導(dǎo)體[1].

熊建平老師利用均勻帶電球面的電荷投影法推導(dǎo)了導(dǎo)體圓形薄板電荷分布的面密度公式[2]，白占武老師進一步推導(dǎo)了導(dǎo)體橢圓形薄板電荷分布的面密度公式[3].我們利用無限長均勻帶電圓柱面在水平面上的投影，推導(dǎo)了寬度等于圓柱直徑的無限長導(dǎo)體薄板的電荷面密度公式.根據(jù)導(dǎo)體表面是等勢面和導(dǎo)體薄板的邊界條件，證明電荷密度公式是唯一的.由此計算出了空間的電勢和場強等一系列結(jié)果并做了可視化處理.

1 無限長導(dǎo)體薄板的電荷面密度分布規(guī)律

設(shè)一個半徑為L的無限長均勻帶電圓柱面，其電荷面密度為σ0.圓柱面的截面如圖1所示，z方向垂直平面向外，代表軸線方向.圓柱面沿z方向的線電荷密度為

λ=2πLσ0

(1)

在柱內(nèi)任取一點P，過點P作直線與圓周相交于點P1和P2，直線P1P2與Ox軸的夾角是φ，與兩個半徑OP1和OP2的夾角都是α.當(dāng)直線P1P2繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)角度Δφ時，點P1和P2掃過的弧長分別為Δs1和Δs2，當(dāng)Δφ為小量時，過點P1和P2垂線與圓弧(切線)之間的夾角近似為α.弧長分別為：

其中，r1和r2分別表示點P到P1和P2的距離.圓柱面上與Δs1對應(yīng)的無限長面元上沿z方向的電荷線密度為

其在點P產(chǎn)生的電場強度的大小為

(2)

方向沿著P1P2的直線.與Δs2對應(yīng)的無限長面元上沿z方向的電荷線密度為

其在點P產(chǎn)生的電場強度的大小同樣為

(3)

方向沿著P2P1的直線.ΔE1和ΔE2在點P產(chǎn)生場強大小相等，方向相反，因而合場強為零.由推導(dǎo)過程可知：不論角φ怎么變化，上述結(jié)論均成立.因此，點P處的場強為零.與用高斯定理得到的結(jié)論一致，圓柱面是等勢面，圓柱體是等勢體.

圖1 無限長均勻帶電圓柱面的橫截面

將圓柱面上過點P1和P2的沿z方向的無限長直線投影到Oxz平面，分別與x軸交于點P′1和P′2，如果令P′1和P′2處的無限長面元的線電荷密度還是Δλ1和Δλ2，則它們在點P產(chǎn)生的場強分別為：

(4)

(5)

設(shè)P′1到原點的距離OP′1為l，那么投影的長度為Δl=Δs1sinθ, 考慮到上下兩個半柱面，因此，投影的電荷面密度為

(6)

這是等勢面(Oxz平面)上的電荷分布規(guī)律.

在Oxz平面上沿x軸取線元dl，則寬度為dl的無限長面元上電荷沿z方向的線密度為

(7)

Oxz平面上寬為2L的無限長平面電荷沿z方向的線密度為

這正好是式(1)的結(jié)果.根據(jù)上述分析，結(jié)合唯一性定理可知：無限長導(dǎo)體薄板與直徑等于薄板寬度的無限長均勻帶電圓柱面沿z方向的電荷線密度是相同的.式(6)就是無限長帶電荷導(dǎo)體薄板的面密度.等勢面上的場強只有垂直分量.

2 無限長帶電導(dǎo)體薄板的電勢和場強

線電荷密度為λ的無限長直線電荷的電勢為

(8)

其中，r0是由電勢零點確定的距離.

如圖2所示，在無限長帶電導(dǎo)體薄板的Oxy橫截面上取一個線元dl，寬度為dl的無限長面元的線電荷密度由式(7)決定，產(chǎn)生的電勢為

r是場點P(x,y)到線元的距離：

(9)

因此，導(dǎo)體薄板在空間產(chǎn)生的電勢為

(10)

這個定積分沒有精確的解析解，只能求數(shù)值解.

圖2 無限長帶電導(dǎo)體薄板的橫截面和電勢

場強的x分量為

(11)

場強的y分量為

(12)

這兩個定積分也沒有精確的解析解，只能求數(shù)值解.

當(dāng)x=0時，可得中垂線上的電勢和場強分量:

(13)

(14)

(15)

當(dāng)y=0且|x| >L時，可得板平面上板外的電勢和場強分量：

(16)

(17)

Ey(x,0)=0

(18)

當(dāng)y=0且|x|

設(shè)l=Lsint，則dl=Lcostdt，板中心的電勢為

無論是用手工還是用MATLAB都可以證明：

因此

(19)

由于導(dǎo)體是等勢體，所以U(0,0)也是薄板的電勢.板平面內(nèi)的場強為零.利用式(6)，可得導(dǎo)體板表面場強的大小：

Ex(x,0) =0

(20)

(21)

場強在導(dǎo)體上表面的方向向上，在下表面的方向向下.在x=0處，薄板兩個表面在中心處場強的大小為

Ey(0,0)=4πkσ0

(22)

各處合場強大小和方向分別為

(23)

3 電勢和場強公式的無量綱化

取L為長度單位，取σ0為面電荷密度單位，則導(dǎo)體薄板的無量綱的電荷密度，即：相對電荷面密度為

(24)

其中，l*=l/L.

取無限長均勻帶電薄板的中心為電勢零點，可得r0=L/e[1].取U0=kλ=2πLkσ0為電勢單位，由式(8)可得無限長直線電荷的無量綱電勢，即：相對電勢為

(25)

其中，r*=r/L.取無量綱的坐標(biāo)為

x*=x/L，y*=y/L

(26)

則導(dǎo)體薄板的無量綱的電勢為

(27)

設(shè)E0=2πkσ0，顯然，E0=U0/L.取E0為場強單位，則無量綱的場強分量，即相對場強的分量為

(28)

(29)

中垂線和板平面上的電勢和場強也可以做無量綱化處理.

當(dāng)定積分沒有解析解時，可以用數(shù)值積分計算其值.導(dǎo)體的無量綱的電勢為

(30)

導(dǎo)體板表面無量綱的場強為

(31)

(32)

此式與無量綱的電荷面密度在數(shù)值上是相等的.

無量綱的合場強大小和方向分別為：

(33)

將公式無量綱化就能做純數(shù)值計算.利用Matlab的指令plot和surf可畫出曲線和曲面[4].

4 電勢和電場的可視化

1) 如圖3 之上圖所示，無限長帶電導(dǎo)體薄板的電荷面密度σ(l)在圓心處最小，隨著距離|l|的增加而增加；當(dāng)l→±L時，σ(l)→+∞.這個電荷面密度是均勻分布在柱面上的電荷在板面上投影的結(jié)果，由于柱面在板面邊緣附近面積的投影趨于零，所以有σ(l)→+∞(l→±L).如圖3 之下圖所示，在板平面上，包括板內(nèi)，場強的分量Ey(x,0)為零；在板的上表面，Ey(x,0+)的分布規(guī)律與電荷面密度的分布規(guī)律是相同的；在板的下表面，Ey(x,0-)的大小與Ey(x,0+)的大小相等，方向相反.

2) 中垂線上的電勢U(0,y)如圖4之上圖所示，帶電導(dǎo)體薄板的電勢在軸線上是尖點.當(dāng)距離比較大時，中垂線上的電勢分布接近于線電荷的電勢分布.中垂線上的場強分量Ey(0,y)如圖4之下圖所示，軸線上的場強為零，在薄板兩邊的方向相反；當(dāng)距離比較大時，中垂線上的場強分布接近于線電荷的場強分布.

圖3 電荷密度和板平面場強y分量的分布規(guī)律

圖4 中垂線上的電勢和場強

3) 板平面的電勢U(x,0)的曲線如圖5之上圖所示，無限長帶電導(dǎo)體薄板在板面的電勢是常數(shù)，說明導(dǎo)體表面是等勢面.當(dāng)距離比較大時，板平面上的電勢接近于線電荷的電勢.板平面上的電場分量Ex(x,0)如圖5之下圖所示，板內(nèi)的場強為零，板外兩邊場強的方向相反.當(dāng)距離比較大時，板平面上的場強接近于線電荷的場強.

圖5 薄板平面上的電勢和場強

4) 電荷的電勢U(x,y)分布面如圖6所示，無限長帶電導(dǎo)體薄板的電勢是水平線，說明表面是等勢面；離電荷越遠，其電勢就越小.

圖6 電勢分布面

5) 電場的x分量Ex(x,y)的曲面如圖7所示，帶電導(dǎo)體薄板的Ex(x,y)在(±L,0)處的“峰”較高，而“谷”較深，這是因為電荷面密度在兩處較大.

圖7 場強的x分量的分布面

6) 電場的y分量Ey(x,y)的曲面如圖8所示，板內(nèi)的Ey為零，板前后兩面的Ey形成了弧形的“峭壁”，這是因為板兩面的Ey方向相反，而在(±L,0)處的Ey較大.

圖8 場強y分量的分布面

7) 合場強E(x,y)的曲面如圖9所示，(0,0)處是鞍點；合場強在中垂線附近比較小，在板平面附近比較大，在(±L,0)處有兩個尖銳的“峰”.

圖9 合場強的分布面

8) 合場強E(x,y)的方向角α(x,y)曲面如圖10所示，α在x>L的正軸上為零；α在y的正軸上為90°；α在y的負軸上為-90°；α在x<-L的負軸上發(fā)生從180°到-180°的跳躍，這是因為180°和-180°是同一個角度；α在-L

圖10 場強方向的分布面

9) 帶電導(dǎo)體薄板的等勢線和電場線如圖11所示，盡管薄板表面的場強不是均勻的，為了簡單起見，電場線的起點仍然均勻取在薄板的表面上；電場線垂直于薄板，等勢線包圍薄板，與電場線垂直.在較遠處，等勢線接近于圓，電場線接近直線.

圖11 無限長帶電導(dǎo)體薄板的等勢線和電場線

5 結(jié)束語

利用無限長均勻帶電圓柱面的投影計算無限長帶電導(dǎo)體薄板的電荷面密度，這是一種巧妙的幾何方法.根據(jù)曲線可以顯示電荷的分布規(guī)律，利用曲線還能顯示中垂線和板平面的電勢和場強的分布規(guī)律，利用曲面可以顯示電勢和場強的一般分布規(guī)律.利用電場線和等勢線可以驗證導(dǎo)體表面的面電荷分布的正確性.

利用本文的方法和結(jié)果可以深入討論導(dǎo)體平行板電容器的電勢和電場以及能量的分布規(guī)律.